1、 2020 届四川省成都市高三上学期第一次诊断性检测数学 （理）届四川省成都市高三上学期第一次诊断性检测数学 （理） 试题试题 一、单选题一、单选题 1若复数若复数 1 z与与 2 3zi （i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 1 z ( ) A3 i B3 i C3 i D3 i 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意得复数 z1与 2 3zi 的实部相等，虚部互为相反数，则 z1可求 【详解】 复数 z1与 2 3zi （i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， 复数 z1与 2 3zi （i 为虚数单位）的实部相等，
2、虚部互为相反数，则 z13 i 故选：B 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题 2已知集合已知集合1,0,Am ，1,2B ，若，若1,0,1,2AB ，则实数，则实数m的值为的值为 ( ) A1或或0 B0或或1 C1或或2 D1或或2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据集合并集的定义即可得到答案. 【详解】 集合1,0,Am ，1,2B ，且1,0,1,2AB ，所以1m或2m. 故选：D 【点睛】 本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题 3若若sin5cos(2)，则，则tan2( ) A 5 3 B 5 3 C 5 2 D 5 2 【答案】【答案】C 【
3、解析】【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得tan，再利用倍角公 式求得tan2的值 【详解】 sin5cos(2)，sin5cos，得tan5， 22 2tan2 55 tan2 1 tan2 15 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，倍角公式的应用，属于基础题 4某校随机抽取某校随机抽取 100 名同学进行名同学进行“垃圾分类垃圾分类“的问卷测试，测试结果发现这的问卷测试，测试结果发现这 100 名同学名同学 的得分都在的得分都在50，100内，按得分分成内，按得分分成 5 组：组：50，60） ，） ，60，70） ，） ，70，80）
4、 ，） ，80，90） ，） ， 90，100，得到如图所示的频率分布直方图，则这，得到如图所示的频率分布直方图，则这 100 名同学的得分的中位数为 名同学的得分的中位数为( ) A72.5 B75 C77.5 D80 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据频率分布直方图求得中位数即可. 【详解】 在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，中位数为： 0.50.01 100.03 10 701072.5 0.04 10 . 故选：A 【点评】 本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各 个矩形面积之和为 1，也考查了中位数，属于基础题 5设等差
5、数列设等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且，且 53 3aa，则，则 9 5 S S ( ) A 9 5 B 5 9 C 5 3 D 27 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】将 S9，S5转化为用 a5，a3表达的算式即可得到结论. 【详解】 由等差数列 n a的前n项和为 n S， 9 5 S S 19 15 9 2 5 2 aa aa 5 3 9 5 a a ，且 53 3aa， 9 5 S S 9 5 3 27 5 . 故选：D 【点睛】 本题考查了等差数列的前 n 项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题 6已知已知, 是空间中两个不同的平面，是空间中两个不同
6、的平面， ,m n是空间中两条不同的直线，则下列说法 是空间中两条不同的直线，则下列说法 正确的是正确的是( ) A若若/m， / /n，且 ，且/ /，则，则/mn B若若/m， / /n，且 ，且，则，则/mn C若若m， / /n，且 ，且/ /，则，则mn D若若m， / /n，且 ，且，则，则mn 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得 答案 【详解】 由 m，n，且 ，得 mn 或 m 与 n 异面，故 A 错误； 由 m，n，且 ，得 mn 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 B 错误； 由 m，得 m，
7、又 n，则 mn，故 C 正确； 由 m，n 且 ，得 mn 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 D 错误 故选：C 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位 置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题 7 26 1 (2)()xx x 的展开式的常数项为的展开式的常数项为( ) A25 B25 C5 D 5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用二项式定理的通项公式计算即可得出 【详解】 6 1 ()x x 的展开式的通项公式为： Tr+1 r 6 C（x） 6r r 1 x = r 6 C（x） 6r -r x= r
8、 6 C1 r 6-2r x 令 62r2，或 62r0，分别解得 r4，或 r3 所以 26 1 (2)()xx x 的展开式的常数项为 4 4 6 11C+2 3 3 6 11C 15 4025. 故选：B 【点睛】 本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 8将函数将函数sin(4) 6 yx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） ，倍（纵坐标不变） ， 再把所得图象向左平移再把所得图象向左平移 6 个单位长度，得到函数个单位长度，得到函数 ( )f x的图象，则函数 的图象，则函数 ( )f x的解析
9、式为 的解析式为 ( ) A( )sin(2) 6 f xx B( )sin(2) 3 f xx C( )sin(8) 6 f xx D( )sin(8) 3 f xx 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可. 【详解】 函数sin(4) 6 yx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到 sin(2) 6 yx 的图象， 再把所得图象向左平移 6 个单位长度，得到函数 f（x） sin 2()sin(2) 666 yxx 的图象. 故选：A 【点睛】 本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用， 主要考查学生的运算能力和转换
10、能力及 思维能力，属于基础题 9已知抛物线已知抛物线 2 4yx的焦点为的焦点为F，,M N是抛物线上两个不同的点若是抛物线上两个不同的点若 5MFNF，则线段，则线段MN的中点到的中点到y轴的距离为轴的距离为( ) A3 B 3 2 C5 D 5 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点 的横坐标，求出结果即可. 【详解】 由抛物线方程 2 4yx，得其准线方程为：1x，设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 由抛物线的性质得， 12 11=5MFNFxx ，MN中点的横坐标为 3 2 ， 线段MN的中点到y
11、轴的距离为： 3 2 . 故选：B 【点睛】 本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题 10已知已知 1 2 2a ， 1 3 3b ， 3 ln 2 c ，则，则( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得 a，b 的大小关系，利用对数函数 的单调性即可得出 c1 【详解】 1 2 2a 2 6 8，且 1 3 3b = 3 3 6 9，1ab ， 3 lnln1 2 ebac 故选：C 【点睛】 本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题 11已知定义在已知定义在R上的数上的数 ( )f
12、 x满足 满足 1 1 2n nn bb ，当，当2x时时( )(1)1 x f xxe. 若关于若关于x的方程的方程( )210f xkxke 有三个不相等的实数根，则实数有三个不相等的实数根，则实数k的取值范的取值范 围是围是( ) A( 2,0) (2,) B( 2,0)(0,2) C( ,0)( ,)ee D (,0)(0, )ee 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据 f（2x）f（2+x）可知函数 f（x）关于 x2 对称，利用当2x时 ( )(1)1 x f xxe，画出函数 yf（x）的大致图象由题意转化为 yk（x2）+e 1 与 f（x）有三个交点，直线恒过定点（2，e
13、1） ，再根据数形结合法可得 k 的取值 范围 【详解】 由题意，当 x2 时，f（x）（x1）ex1f（x）xex 令 f（x）0，解得 x0；令 f（x）0，解得 x0；令 f（x）0，解得 0x2 f（x）在（，0）上单调递减，在（0，2上单调递增， 在 x0 处取得极小值 f（0）2且 f（1）1；x，f（x）0 又函数 f（x）在 R 上满足 f（2x）f（2+x） ，函数 f（x）的图象关于 x2 对称 函数 yf（x）的大致图象如图所示： 关于 x 的方程 f（x）kx+2ke+10 可转化为 f（x）k（x2）+e1 而一次函数 yk（x2）+e1 很明显是恒过定点（2，e1）
14、 结合图象，当 k0 时， 有两个交点，不符合题意， 当 ke 时，有两个交点，其中一个是（1，1） 此时 yf（x）与 yk（x2）+e1 正好相切 当 0ke 时，有三个交点同理可得当ek0 时，也有三个交点 实数 k 的取值范围为： （e，0）（0，e） 故选：D 【点睛】 本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据 直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围，属于中档题 12如图，在边长为如图，在边长为2的正方形的正方形 123 APPP中，线段中，线段 BC 的端点的端点,B C分别在边分别在边 12 PP、 23 P P 上滑动， 且上滑动， 且 2
15、2 PBPCx， 现将， 现将 1 APB， 3 APC分别沿分别沿 AB，AC 折起使点折起使点 13 ,P P重合，重合， 重合后记为点重合后记为点P，得到三被锥，得到三被锥PABC.现有以下结论：现有以下结论： AP 平面平面PBC； 当当,B C分别为分别为 12 PP、 23 P P的中点时，三棱锥 的中点时，三棱锥PABC的外接球的表面积为的外接球的表面积为6； x的取值范围为的取值范围为(0,42 2)； 三棱锥三棱锥PABC体积的最大值为体积的最大值为 1 3 . 则正确的结论的个数为则正确的结论的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据题
16、意得,折叠成的三棱锥 PABC 的三条侧棱满足 PAPB、PAPC，由 线面垂直的判断定理得正确；三棱锥 PABC 的外接球的直径等于以 PA、PB、PC 为 长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合 AP2、BPCP1，得外接球的半径 R 6 2 ，由此得三棱锥 PABC 的外接球的体积，故正确；由题意得(0,2)x， 2BCx ， 31 2PCPBPBPCx ，在CPB中，由边长关系得(0,42 2)， 故正确；由等体积转化 P ABCA PBC VV 计算即可，故错误. 【详解】 由题意得，折叠成的三棱锥 PABC 的三条侧棱满足 PAPB、PAPC， 在中，由 PAPB，PAPC，且 P
17、B PC P，所以AP 平面PBC成立，故正 确； 在中，当,B C分别为 12 PP、 23 P P的中点时，三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直， 三棱锥 PABC 的外接球直径等于以 PA、PB、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长， 结合 AP2、BPCP1x ， 得外接球的半径 R 22 22 46xx ，所以外接球的表面积为 2 2 6 446 2 SR ，故正确； 在中，正方形 123 APPP的边长为 2，所以(0,2)x， 2BCx ， 31 2PCPBPBPCx ，在CPB中，由边长关系得2x+22xx，解得 (0,42 2)x，故正确； 在中，正方形 123 APPP的边
18、长为 2，且 22 PBPCx，则2PBPCx ， 所以 2 2 2111 sin22 3263 P ABCA PBC x VVCPBPCPBAPx 在(0,42 2)上递减，无最大值，故错误. 故选：C 【点睛】 本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积着重考查了长方体的对角线 长公式、等体积转化求三棱锥的体积最值等知识，属于中档题 二、填空题二、填空题 13已知实数已知实数 , x y满足约束条件 满足约束条件 40 220 0 xy xy y ，则，则 2zxy 的最大值为的最大值为_. 【答案】【答案】6 【解析】【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移
19、即可求 z 的最大 值 【详解】 作出实数 x，y 满足约束条件 40 220 0 xy xy y 对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 2zxy 得 y 1 2 x+ 1 2 z，平移直线 y 1 2 x+ 1 2 z， 由图象可知当直线 y 1 2 x+ 1 2 z 经过点 A 时，直线 y 1 2 x+ 1 2 z 的截距最大，此时 z 最大 由 40 220 xy xy ，解得 A（2，2） ，代入目标函数 zx+2y 得 z2 2+26. 故答案为：6 【点睛】 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数 形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于
20、基础题 14设正项等比数列设正项等比数列 n a满足满足 4 81a ， 23 36aa，则，则 n a _. 【答案】【答案】3n 【解析】【解析】将已知条件转化为基本量 a1，q 的方程组，解方程组得到 a1，q，进而可以得 到 an 【详解】 在正项等比数列 n a中， 4 81a ， 23 36aa， 得 3 1 2 11 81 36 a q a qa q ，解得 1 3 3 a q ，an 1 1 n a q 33n13n. 故答案为：3n 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题 15已知平面向量已知平面向量a，b满足满足| 2a ，|3b ，且，且()
21、bab，则，则向量向量a与与b的夹角的夹角 的大小为的大小为_. 【答案】【答案】 6 【解析】【解析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a与b的夹角 即可 【详解】 平面向量a，b满足| 2a ，|3b ， 且()bab ， 2 ()0babb ab ， 2 b ab 设向量a与b的夹角的大小为 ，则 23cos 2 3 ，求得 cos 3 2 ， 0, ，故 6 . 故答案为： 6 【点睛】 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题 16已知直线已知直线y kx 与双曲线与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 相交于不同的两
22、点相交于不同的两点,A B，F为为 双曲线双曲线C的左焦点， 且满足的左焦点， 且满足| 3|AFBF，|OAb（O为坐标原点） ， 则双曲线为坐标原点） ， 则双曲线C的的 离心率为离心率为_. 【答案】【答案】 3 【解析】【解析】取双曲线的右焦点 F，连接 A F，B F，可得四边形 A FBF 为平行四边形， 运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 以及离心率公 式可得所求值 【详解】 设|BF|m，则| 3| 3AFBFm，取双曲线的右焦点 F，连接 A F，B F，可得四 边形 A FBF 为平行四边形， 可得|A F|BF|m，设 A 在第一象限，可得
23、3mm2a，即 ma， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得 （2b） 2+ （2c）22 （a2+9a2） ， 化为 c23a2，则 e c a 3 故答案为：3 【点睛】 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质，以及化简运算能力，属 于中档题 三、解答题三、解答题 17在在ABC中，角中，角 , ,A B C的对边分别为 的对边分别为, ,a b c，且，且 222 4 2 3 bcabc . （1）求）求sin A的值；的值； （2）若）若ABC的面积为的面积为 2，且 ，且 2sin3sinBC ，求，求ABC的周长的周长. 【答案】【答案】 （1）
24、1 3 ； （2）263 2 【解析】【解析】 （1）由已知条件结合余弦定理可求 cosA 的值，进而根据同角三角函数基本关 系式可求 sinA 的值 （2）利用三角形的面积公式可求 bc 的值，由正弦定理化简已知等式可得 2b3c， 解得 b，c 的值，根据余弦定理可求 a 的值，即可求解三角形的周长 【详解】 （1） 222 4 2 3 bcabc， 由余弦定理可得 2bccosA 4 2 3 bc， cosA 2 2 3 ， 在 ABC 中，sinA 2 1 cos A 1 3 （2）ABC 的面积为 2，即 1 2 bcsinA 1 6 bc 2，bc62， 又 2sinB3sinC，
25、由正弦定理可得2b3c，b32，c2，则 a 2b2+c2 2bccosA6， 6a ，所以周长为263 2abc . 【点睛】 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在 解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18某公司有某公司有 1000 名员工，其中男性员工名员工，其中男性员工 400 名，采用分层抽样的方法随机抽取名，采用分层抽样的方法随机抽取 100 名员工进行名员工进行 5G 手机购买意向的调查， 将计划在今年购手机购买意向的调查， 将计划在今年购买买 5G 手机的员工称为手机的员工称为“追光族追光族“， 计划在明年及明年以后
26、才购买计划在明年及明年以后才购买 5G 手机的员工称为手机的员工称为“观望者观望者”，调查结果发现抽取的这，调查结果发现抽取的这 100 名员工中属于名员工中属于“追光族追光族”的女性员工和男性员工各有的女性员工和男性员工各有 20 人人. （1）完成下列）完成下列22列联表，并判断是否有列联表，并判断是否有 95%的把握认为该公司员工属于的把握认为该公司员工属于“追光族追光族“ 与与“性别性别“有关；有关； 属于属于“追光族追光族“ 属于属于“观望者观望者“ 合计合计 女性员工女性员工 男性员工男性员工 合计合计 100 （2） 已知被抽取的这） 已知被抽取的这 100 名员工中有名员工中有
27、 10 名是人事部的员工， 这名是人事部的员工， 这 10 名中有名中有 3 名属于名属于“追追 光族光族”.现从现从这这 10 名中随机抽取名中随机抽取 3 名，记被抽取的名，记被抽取的 3 名中属于名中属于“追光族追光族”的人数为随机变的人数为随机变 量量 X，求，求X的分布列及数学期望的分布列及数学期望. 附附 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中，其中na b cd 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 1
28、0.828 【答案】【答案】 （1）表见解析，没有 95%的把握认为该公司员工属于“追光族“与“性别“有关； （2）分布列见解析， 9 10 E X 【解析】【解析】 （1）根据题意，列出列联表，计算 K2，查表判断即可； （2）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求 期望即可 【详解】 （1）由题意得，2 2 列联表如下： 属于“追光族“ 属于“观望者“ 合计 女性员工 20 40 60 男性员工 20 20 40 合计 40 60 100 2 2 100 (20 2040 20)25 =2.778 40 60 40 609 K 3.841， 故没有
29、 95%的把握认为该公司 员工属于“追光族“与“性别“有关； （2）由题意得，随机变量 X 的所有可能的取值为 0，1，2，3， 3 7 3 10 7 (0) 24 C P X C ； 12 37 3 10 21 (1) 40 CC P X C ； 21 37 3 10 7 (2) 40 CC P X C ； 3 3 3 10 1 (3) 120 C P X C . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 21719 ()123. 404012010 E X 【点睛】 本题考查了独立性检验， 考查了超几何分布， 主要考查分析解决问题的能力和计算能力
30、， 属于中档题 19如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD 中，中，AP 平面平面PBC，底面，底面ABCD为菱形，且为菱形，且 60ABC ，E为为BC的中点的中点. （1）证明：）证明：BC平面平面PAE； （2）若）若2AB ，1PA ，求平面，求平面ABP与平面与平面CDP所成锐二面角的余弦值所成锐二面角的余弦值. 【答案】【答案】 （1）见解析； （2） 33 33 【解析】【解析】 （1）根据菱形基本性质得 BCAE，再由线面垂直得 BCAP，故 BC平面 PAE； （2）以 P 为坐标原点，,PE PQ PA的方向分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分 别求出平面 BAP
31、与平面 CDP 的法向量计算即可. 【详解】 （1）连接 AC，因为底面 ABCD 为菱形，且ABC60 ，所以 ABC 为正三角形， 因为 E 为 BC 的中点，所以 BCAE，又因为 AP平面 PBC，BC平面 PBC， 所以 BCAP，因为 APAEA，AP，AE平面 PAE，所以 BC平面 PAE； （2）因为 AP平面 PBC，PB平面 PBC，所以 APPB，又因为 AB2，PA1，所 以 PB 3， 由 （1） 得 BCPE， 又因为 E 为 BC 中点， 所以 PBPC 3， EC1， 所以 PE2 ， 如图，过点 P 作 BC 的平行线 PQ，则 PQ，PE，PA 两两互相垂
32、直， 以 P 为坐标原点，,PE PQ PA的方向分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系， 则 P（0，0，0） ，A（0，0，1） ，B（ 2，1，0） ，C（2，1，0） ，D（0，2，1） ， 设平面 BAP 的一个法向量m（x，y，z） ，又PA（0，0，1） ，PB（ 2，1， 0） ， 由 0 0 m PA m PB ，得 2xy0，z0，令 x1，则m（1，2，0） ， 设平面 CDP 的一个法向量n（a，b，c） ，又PC（ 2，1，0） ，PD（0，2，1） ， 由 0 0 n PC n PD ，得 2a+b0，2y+z0，令 a1，则n（1，2，22） ， 所
33、以 133 cos, 33311 m n ，即平面 ABP 与平面 CDP 所成锐二面角的余弦值 为 33 33 【点睛】 本题考查空间平面二面角问题，涉及证明线面垂直等知识点，建系是解决该类问题 的常用方法，属于中档题 20已知函数已知函数( )(1)ln a f xaxx x ，.aR （1）讨论函数）讨论函数 ( )f x的单调性； 的单调性； （2）当）当1a 时，证明：时，证明：(1,)x ， 2 ( ).f xaa 【答案】【答案】 （1）答案不唯一，见解析； （2）见解析； 【解析】【解析】 （1）求出导数，讨论 a 的取值范围，求出单调区间； （2）由（1）得函数函数 ( )f
34、 x在(1,)内的最小值为()(1)ln()1faaaa ， 根据题意转化为 2 (1)ln() 10aaa 在1a 恒成立即可. 【详解】 （1） 2 222 1(1)(1)() ( )1 aaxaxaxxa fx xxxx ,因为 0,xaR ， 当0a时，0xa，函数 ( )f x在（0，1）内单调递减，在(1,)内单调递增； 当10a 时，即01a ，函数 ( )f x在(0,)a 内单调递增，在(,1)a内单调递 减，在(1,)内单调递增； 当1a时， 2 2 (1) ( )0 x fx x ，函数 ( )f x在(0,)内单调递增； 当1a 时，即1a ，函数 ( )f x在（0，
35、1）内单调递增，在(1,)a 内单调递减，在 (,)a内单调递增； 综上：当0a时， ( )f x在（0，1）内单调递减，在(1,)内单调递增； 当10a 时， ( )f x在(0,)a 内单调递增，在(,1)a内单调递减，在(1,)内单调 递增； 当1a时， ( )f x在(0,)内单调递增； 当1a 时， ( )f x在（0，1）内单调递增，在(1,)a 内单调递减，在(,)a内单调 递增. （2）当1a 时，由（1）可得函数 ( )f x在(1,)a 内单调递减，在(,)a内单调递 增， 函数( )f x在(1,)内的最小值为()(1)ln()1faaaa， 要证：不等式 2 ( ).f
36、 xaa 成立， 即证： 2 (1)ln()1aaaaa ， 即证： 2 (1)ln()(1)1 l01naaaaaa ，1a， 即证：1 ln0aa ， 令 1(1) ( )ln1(1),( )10 x h xxxxh x xx ， 则函数( )h x在1,)内单调递减，( ) (1)0h xh ，因为1,1aa ， 则()ln()10haaa ，即当1a 时，ln()1aa 成立 则当1a 时， 2 (1,),( )xf xaa 成立. 【点睛】 本题考查利用导数求函数单调性，运用分类讨论思想是关键，涉及构造新函数求区间等 问题，属于中档题 21已知椭圆已知椭圆C: 2 2 1 2 x y
37、的右焦点为的右焦点为F，过点，过点F的直线（不与的直线（不与x轴重合）与椭圆轴重合）与椭圆C 相交于相交于A，B两点，直线两点，直线l：2x与与x轴相交于点轴相交于点H，过点，过点A作作ADl，垂足为，垂足为 D （1）求四边形）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；为坐标原点）面积的取值范围； （2）证明直线）证明直线BD过定点过定点E，并求出点，并求出点E的坐标的坐标. 【答案】【答案】 （1）(0, 2； （2）证明见解析， 3 ,0 2 E 【解析】【解析】 （1）由题意设直线 AB 的方程，代入椭圆整理得纵坐标之和与之积，将四边形 的面积分成 2 个三角形，根据底相同，列出
38、关于面积的函数式，再结合均值不等式可得 面积的取值范围； （2）由（1）得 B，D 的坐标，设直线 BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即 直线 BD 过定点 【详解】 （1）由题 F（1,0） ，设直线 AB： 1122 1(),xmymR A x yB x y， 联立 2 2 1 1 2 xmy x y ，消去 x，得 22 2210mymy ， 因为 22 4420mm ， 1212 22 21 , 22 m yyy y mm ， 则 2 1111 2 2 21 4 2 zz zzzz m yyyyyyy y m 所以四边形 OAHB 的面积 2 1212 2 12 21 | 22
39、 m SOHyyyy m ， 令 2 2 2 22 2 1,1, 1 1 t mttS t t t 因为 1 2t t （当且仅当 t=1 即 m=0 时取等号） ，所以0 2S ， 所以四边形 OAHB 的面积取值范围为(0, 2； （2） 221 ,2,B x yDy，所以直线 BD 的斜率 12 2 2 yy k x ，所以直线 BD 的方程 为 12 1 2 (2) 2 yy yyx x ， 令 y=0，可得 2121212 1212 2 , x yzymy yyy x yyyy 由（1）可得 12121212 22 21 ,2 22 m yyy yyymy y mm 化简可得 112
40、12 1212 1 2 3 22 2 z s yyyyyy x yyyy 则直线 BD 过定点 3 ,0 2 E . 【点睛】 本题考查了直线和椭圆的位置关系，四边形面积的取值范围，求直线的方程，证明直线 过定点的等问题，考查运算能力，属于中档题 22在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，已知中，已知P是曲线是曲线 1 C： 22 (2)4xy上的动点，将上的动点，将OP 绕点绕点O顺时针旋转顺时针旋转90得到得到OQ，设点，设点Q的轨迹为曲线的轨迹为曲线 2 C.以坐标原点以坐标原点O为极点，为极点，x轴轴 的正半轴为极轴建立极坐标系的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线）求曲线 1
41、 C， 2 C的极坐标方程；的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点）在极坐标系中，点(3,) 2 M ，射线，射线(0) 6 与曲线与曲线 1 C， 2 C分别相交于异于分别相交于异于 极点极点O的的,A B两点，求两点，求MAB的面积的面积. 【答案】【答案】 （1）曲线 1 C：4sin，曲线 2 C：4cos； （2） 93 3 2 【解析】【解析】 （1）由题意，点 Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆，写出其普 通方程，再结合 2x2+y2，xcos，ysin，可得曲线 C1，C2的极坐标方程； （2）在极坐标系中，设 A，B 的极径分别为 1，2，求得|AB|12|，
42、再求出 M（3， 2 ）到射线0 6 的距离 h 3 3 3sin 32 ，即可求得 MAB 的面积 【详解】 （1）由题意，点 Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆，则曲线 C2： 22 (2)4xy， 2x2+y2，xcos，ysin，曲线 C1的极坐标方程为 4sin，曲线 C2的极坐 标方程为 4cos； （2）在极坐标系中，设 A，B 的极径分别为 1，2， 12 4 sincos2( 31). 66 AB 又点(3,) 2 M 到射线(0) 6 的距离为 3 3 3sin. 32 h MAB的面积 193 3 . 22 SAB h 【点睛】 本题考查简单曲线的极坐标方
43、程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档 题 23已知函数已知函数( )3.f xx （1）解不等式）解不等式( )421f xx； （2）若）若 14 2(0,0)mn mn ，求证：，求证： 3 ( ). 2 mnxf x 【答案】【答案】 （1） 2 (,0,) 3 ； （2）见解析. 【解析】【解析】 （1）原不等式可化为：|x3|4|2x+1|，即|2x+1|+|x3|4，分段讨论求出即可； （2）由基本不等式得mn的最小值 9 2 ，转化为|x+ 3 2 |f（x） 9 2 恒成立即可 【详解】 （1）原不等式化为3421xx，即2134.xx 1 2 x 时，不等式化为2134xx ，解得 2 3 x ； 1 3 2 x时，不等式化为2134xx ，解得0x，03x ； 3x时，不等式化为2134xx ，解得2x，3x . 综上可得：原不等式解集为 2 (,0,) 3 . （2）( )3.f xx 3339 ( )3(3) 2222 xf xxxxx， 当且仅当 3
