2020届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（理）试题（解析版）.doc

1、 2020 届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（理）试题届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 A0，1，B0，1，2，则满足，则满足 ACB 的集合的集合 C 的个数为（的个数为（ ） ） A4 B3 C2 D1 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由ACB可确定集合C中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况， 得到答案. 【详解】 由ACB可知集合C中一定有元素 2，所以符合要求的集合C有 2 , 2,0 , 2,1 , 2,0,1，共 4 种情况，所以选 A 项. 【点睛】 考查集合并集运算，属于简单题. 2已知已知i为虚数单位，

2、复数为虚数单位，复数 93 2 1 i zi i ，则，则z （ ） A23 5 B 202 2 C5 D25 【答案】【答案】C 【解析】【解析】对z进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到z 【详解】 对复数z进行化简 93193 2234 12 iii ziii i 所以 22 345z 【点睛】 考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题. 3已知平面向量已知平面向量, a b的夹角为的夹角为 3 ，且，且1a ，2b ，则，则2ab与与b的夹角是（的夹角是（ ） ） A 5 6 B 2 3 C 3 D 6 【答案】【答案】D 【解析】【解析】先计算22 3ab，再计算26

3、abb，根据夹角公式得到答案. 【详解】 设2ab与b的夹角是，由题设有 22 244cos2 3 3 abaa bb 22 222cos6 3 abba bbabb 所以 2 63 cos 22 32 2 abb ab b ，所以 6 故选：D 【点睛】 本小题考查平面向量的基本运算，向量的夹角等基础知识；考查运算求解能力，应用意 识, 本小题也可利用向量的几何意义求解 4空气质量指数空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应指数与空气质量对应 如下表所示：如下表所示： AQI 050 51100 101150 151200 2

4、01300 300 以上以上 空气质量空气质量 优优 良良 轻度污染轻度污染 中度污染中度污染 重度污染重度污染 严重污染严重污染 如图是某城市如图是某城市 2018 年年 12 月全月的指月全月的指AQI数变化统计图数变化统计图 根据统计图判断，下列结论正确的是（根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A整体上看，这个月的空气质量越来越差整体上看，这个月的空气质量越来越差 B整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量 C从从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D从从AQI数据看，前半月的平均值小于后

5、半月的平均值数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据题意可得，AQI 指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大， 由此逐项判断，即可得出结果. 【详解】 从整体上看，这个月 AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故 A，B 不正确； 从 AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前 半个月的方差大于后半个月的方差，所以 C 正确； 从 AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个 月平均值，故 D 不正确 故选 C 【点睛】 本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即

6、可，属于基础题型. 5 6 2 2 x x 的展开式中，常数项为的展开式中，常数项为 A60 B15 C15 D60 【答案】【答案】D 【解析】【解析】写出二项式展开通项，整理后令x的指数为 0，得到相应的项数，然后算出常 数项. 【详解】 6 2 2 x x 的展开式的通项为 66 3 166 2 2 2 r r rrrr r TC xC x x ， 令6 30r，得到2r = 所以 6 2 2 x x 展开式中常数项为 2 2 6 260C，故选 D 项. 【点睛】 对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题. 6若数列若数列 n a的前的前n项和为项和为 n S

7、，且，且 2 1221 1,2,111 nnn aaSSS ，则，则 n S （ ） A 1 2 n n B 1 2n C2 1 n D 1 21 n 【答案】【答案】C 【解析】【解析】对已知 2 21 111 nnn SSS ，进行化简，令1 nn bS，可得 2 21nnn bbb ，即 n b为等比数列，利用 12 1,2aa可计算出 n b的首项和公比，从 而可求得 n b的通项，得到 n S的通项. 【详解】 2 21 111 nnn SSS ， 令1 nn bS 2 21nnn bbb ，可得 n b为等比数列，设其公比为q 1112212 112,114bSabSaa 2 1

8、2 b q b ， 11 1 2 22 nnn n bb q 121 n nn Sb ，故选 C 项. 【点睛】 本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题. 7已知已知 f（x）是定义在）是定义在 R 上的奇函数，若上的奇函数，若 x1，x2R，则，则“x1+x20”是是“f（x1）+f（ （x2） 0”的（的（ ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】 函数是奇函数,

9、 若，则， 则， 即成立,即充分性成立， 若，满足是奇函数，当时 满足，此时满足， 但，即必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 所以 A 选项正确. 【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键. 8已知函数已知函数的部分图象如图所示，点的部分图象如图所示，点 在图象上，若在图象上，若，且，且，则，则 ( ) A3 B C0 D 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据条件求出 A， 和 的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进 行求解即可 【详解】 由条件知函数的周期满足 T2 （）224，即4， 则 ， 由五点对应法得 +0，即0，得

10、 ， 则 f（x）Asin（ x） ， 则 f（0）Asin（）A，得 A3， 即 f（x）3sin（ x） ， 在（）内的对称轴为 x， 若（） ，且， 则关于 x对称， 则2， 则f（ ）3sin（）3sin3sin， 故选：D 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函 数的对称性是解决本题的关键 9若直线若直线 xmy+m0 与圆（与圆（x1）2+y21 相交，且两个交点位于坐标平面上不同相交，且两个交点位于坐标平面上不同 的象限，则的象限，则 m 的取值范围是（的取值范围是（ ） A （0，1） B （0，2） C （1，0） D （2，0

11、） ） 【答案】【答案】D 【解析】【解析】圆 2 2 11xy都在x轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则 在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到 12 y y，令其小于 0，可得 答案. 【详解】 圆与直线联立 2 2 11 0 xy xmym ， 整理得 222 12120mym mymm 图像有两个交点 方程有两个不同的实数根，即 2 222 41421 80 mmmmm m 得0m. 圆 2 2 11xy都在x轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标 的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限. 2 12 2 2 0 1 mm y y m ，

12、解得20m ， 故选 D 项. 【点睛】 本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题. 10在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中，四面体中，四面体ABCD各顶点坐标分别为各顶点坐标分别为 2,2,1 ,2,2, 1AB，0,2,1 ,0,0,1CD，则该四面体外接球的表面积是（，则该四面体外接球的表面积是（ ） A16 B12 C4 3 D6 【答案】【答案】B 【解析】【解析】在空间坐标系里画出, ,A B C D四个点，可以补成一个长方体，然后求出其外 接球的半径，再求外接球的表面积. 【详解】 如图，在空间坐标系里画出, ,A B C D四个点，可得BAAC,

13、DC 面ABC, 因此可以把四面体DABC补成一个长方体，其外接球的半径 222 222 3 2 R 所以，外接球的表面积为 2 412R，故选 B 项. 【点睛】 本题考查几何体的直观图画法，图形的判断，考查空间想象能力，对所画出的几何体进 行补充成常见几何体求外接球半径，属于中档题. 11 设 设P是抛物线是抛物线 2 :4C yx上的动点，上的动点，Q是是C的准线上的动点， 直线的准线上的动点， 直线l过过Q且与且与OQ （O为坐标原点）垂直，则为坐标原点）垂直，则P到到l的距离的最小值的取值范围是（的距离的最小值的取值范围是（ ） A01（ ， ） B01 （ ， C 01 ， D0

14、2（ ， 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q的坐标为 10tt， ，得到直 线l的方程，再设与直线l平行的直线方程为0xtym ，与抛物线方程联立，由判 别式为 0，得到 2 mt，最后由点到直线的距离，即可得出结果. 【详解】 抛物线 2 4yx上的准线方程是1x设点Q的坐标为 10tt， ， 则直线l的方程为 2 10xtyt 设与直线l平行的直线方程为0xtym 代入抛物线方程可得 2 440ytym， 由 2 16160tm，可得 2 mt 故与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为 2 0x tyt 则P到l的距离的最小值 2 1 01 1 d t

15、 ， 故选 A 【点睛】 本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合 直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型. 12已知函数已知函数 ln122f xxaxa 若不等式若不等式 0f x 的解集中整数的个的解集中整数的个 数为数为 3，则，则 a 的取值范围是（的取值范围是（ ） A1 ln3,0 B 1 ln3,2ln2 C1 ln3,1 ln2 D0,1 ln2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】变换得到不等式2ln2axaxx，设 ln2g xxx， 2h xaxa，判断 g x的单调性和 h x恒过点2,0，画出函数图像，解得答案. 【详解】

16、 由 0f x 得2ln2axaxx，设 ln2g xxx， 2h xaxa 由 1 1gx x ，可知 g x在0,1上为减函数，在 1,上为增函数， h x恒过点 2,0 画出 g x与 h x函数图象，如图所示： 不等式 0f x 的解集中含有三个整数，则 11 , 33 , 44 , hg hg hg 即 1, 1 ln3, 222ln2, a a a 解得1 ln31 ln2a 故选：C 【点睛】 本小题考查函数与导数等基本知识考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求 解等数学能力 二、填空题二、填空题 13中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走

17、中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走 1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为里，则该男子的第三日走的里数为 _ 【答案】【答案】120 【解析】【解析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走 的里数，即数列的第三项. 【详解】 因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为 n a， 其公差为d，前n项和为 n S. 根据题意可知， 9147 1260,390Saaa， 法一： 19 955 9 91260,140 2 aa S

18、aa 14744 3390,130aaaaa， 54 10daa， 34 120aad. 法二： 9 147 1260 390 S aaa ， 1 111 9 8 91260 2 36390 ad aadad 解得 1 100 10 a d 所以 31 2120aad 【点睛】 本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单 题. 14根据下列算法语句，当输入根据下列算法语句，当输入 x，yR 时，输出时，输出 s 的最大值的最大值为为_ 【答案】【答案】2 【解析】【解析】由算法语句可将其转化为线性规划的题目，然后用线性规划的方法解决问题. 【详解】 由算法语句

19、可知 0 0 23 y xy xy ，求x y 的最大值，并与 0 比较 画出可行域如图，AOB为可行域，所求目标函数z xy ，整理得y xz ，为 斜率为-1 的一簇平行线，在A点时得到最大值. 解方程组 0 23 xy xy ，解得 1 1 x y ，A点坐标1,1，所以x y 的最大值为 2. 故答案为 2. 15已知已知 f x是是R上的偶函数，且当上的偶函数，且当0x时，时， 2 3f xxx，则不等式，则不等式 22f x的解集为的解集为_ 【答案】【答案】 117717 ,01,34, 22 【解析】【解析】对 f x分类，找到 2f x 的解集，再求22f x的解集 【详解】

20、 0x时， 2 3f xxx， 当0 3x时， 2 3f xxx， 解 2f x ，即 2 32xx得1x或2x， 01x 或23x 当3x 时， 2 3f xxx 解 2f x 即 2 32xx得 317317 22 x 317 3 2 x 当 0x时， 2f x 解集为01x或 317 2 2 x f x是R上的偶函数， 由对称性可知当 0x时， 2f x 解集为 317 2 2 x 或10x 2f x解集为 317 2 2 x 或11x 或 317 2 2 x 22f x时， 317 22 2 x 或12 1x 或 317 22 2 x 解得1 17 0 2 x 或13x或 717 4

21、2 x 【点睛】 本题考查绝对值函数，不等式求解，偶函数的性质，题目考查知识点较多，比较综合， 属于难题. 16设设 m，n 为平面为平面 外两条直线，其在平面外两条直线，其在平面 内的射影分别是两条直线内的射影分别是两条直线 m1和 和 n1，给，给 出下列出下列 4 个命题：个命题：m1n1mn；mnm1与与 n1平行或重合；平行或重合；m1n1mn； mnm1n1其中所有假命题的序号是其中所有假命题的序号是_ 【答案】【答案】 【解析】【解析】根据空间中直线与直线的位置关系可逐项判断，得出结果. 【详解】 两条异面直线在平面的射影可能平行，则两条直线不平行，故错误， 若m n，则 1 m

22、与 1 n平行或重合或是两个点，故错误 因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角， 反之在平面内的射影垂直的两条直线 所成的角可以是锐角，故错误 两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线， 也可以是一条直线和一个 点等其他情况，故错误故假命题是， 故答案为 【点睛】 本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，熟记线线位置关系即可，属于常考题型. 三、解答题三、解答题 17在在ABC中，角中，角 , ,A B C的对边分别为 的对边分别为, ,a b c，若，若sin,sin,sinABC成等差数列，成等差数列， 且且 1 cos 3 C . 1求求 b a 的值；的值； 2若若11c，

23、求，求ABC的面积的面积. 【答案】【答案】 （1） 10 9 b a ； （2） 30 2.S 【解析】【解析】 【详解】 1因为sin ,sin ,sin ABC成等差数列，所以2sinsinsin ,BAC 由正弦定理得2,bac即2.cb a 又因为 1 cos, 3 C 根据余弦定理有： 2 22 222 231 cos2, 2223 abbaabcb C ababa 所以 10 . 9 b a 2因为 1 11,cos, 3 cC根据余弦定理有： 22 1 2?121, 3 abab 由 1知 10 9 ba，所以 22 100101 2 ?121, 8193 aaaa 解得 2

24、81a . 由 1 cos 3 C 得 2 2 sin 3 C ， 所以ABC的面积 2 1552 2 sinsin8130 2. 2993 SabCaC 【点睛】 本题考查等差数列的简单性质，正弦定理、余弦定理、面积公式的考查，难度不大，属 于简单题. 18某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A B，实验地分别用甲、乙实验地分别用甲、乙 方法培训该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各方法培训该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进株，对每株进 行综合评分， 将每株所得的综合评分制成如图所示的频率

25、分布直方图 记行综合评分， 将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图 记综合评分为综合评分为80 及以上的花苗为优质花苗及以上的花苗为优质花苗 （1）求图中）求图中a的值，并求综合评分的中位数的值，并求综合评分的中位数 （2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A B，两块试验地随机抽取两块试验地随机抽取3棵花苗，棵花苗， 求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望； （3）填写下面的列联表，并判断是否有）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与的把握认为优质花苗与培育方法有关培育

26、方法有关 优质花苗优质花苗 非优质花苗非优质花苗 合计合计 甲培育法甲培育法 20 乙培育法乙培育法 10 合计合计 附：下面的临界值表仅供参考附：下面的临界值表仅供参考 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：（参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中，其中n abcd ） ） 【答案】【答案】 （1）0.040a，中位数82.5； （2）见解析； （3）有90%的把握认为优质花苗 与培育方法有关 【解析】【解

27、析】 （1）根据频率之和为 1，可得0.005 0.0100.025 0.02010 1a，即 可求出a；设y为评分的中位数，根据题中数据可得0.4800.04 0.5y，进而 可求出结果； （2）先由题意确定优质花苗数的可能取值，求出对应概率，即可得到分布列与期望； （3）由题中数据计算出 2 K ，对照临界值表，即可得出结论. 【详解】 （1）因为0.005 0.0100.025 0.02010 1a，解得0.040a， 设y为评分的中位数，则前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.80，知 8090y ， 所以0.4800.04 0.5y，则82.5y； （2）由（1）知，树高为优

28、秀的概率为：0.4 0.2 0.6，记优质花苗数为， 由题意知的所有可能取值为0123， ， ， 3 0 3 0C0.40.064P， 2 1 3 1C0.40.6 0.288P， 2 2 3 2C0.60.40.432P， 2 3 3 3C0.60.216P， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 所以数学期望 E 3 0.6 1.8为； （3）填写列联表如下， 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 30 50 乙培育法 40 10 50 合计 60 40 100 计算 2 2 10020 1040 30 16.6672.706 60 4

29、0 50 50 K ， 所以有 90%的把握认为优质花苗与培育方法有关 【点睛】 本题主要考查频率分布直方图、二项分布以及独立性检验等问题，熟记由频率分布直方 图求中位数的方法、二项分布的分布列和期望，以及独立性检验的思想即可，属于常考 题型. 19 如图， 在边长为 如图， 在边长为 4 的正方形的正方形ABCD中， 点中， 点E,F分别是分别是AB,BC的中点， 点的中点， 点M在在AD 上，且上，且 1 4 AMAD，将，将AED, DCF分别沿分别沿DE,DF折叠，使折叠，使A,C点重合于点点重合于点P， 如图所示如图所示2 . 1试判断试判断PB与平面与平面MEF的位置关系，的位置关

30、系，并给出证明；并给出证明； 2求二面角求二面角MEFD的余弦值的余弦值. 【答案】【答案】 （1）见解析； （2） 6 . 3 【解析】【解析】(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可； （2）连接BD交EF与点N，先由题中条件得到MND为二面角MEF D的平面 角，再解三角形即可得出结果. 【详解】 （1）PB平面MEF证明如下：在图 1 中，连接BD，交EF于N，交AC于O ， 则 11 24 BNBOBD， 在图 2 中，连接BD交EF于N，连接MN，在DPB中，有 1 4 BNBD， 1 4 PMPD， MNPB PB平面MEF，MN 平面MEF，故PB平面MEF； （2）连接BD交

31、EF与点N，图 2 中的三角形PDE与三角形 PDF 分别是图 1 中的 RtADE与Rt CDF，PDPEPDPF，又PEPEP，PD平面 PEF，则PDEF，又EFBD，EF平面PBD， 则MND为二面角MEF D的平面角 可知PMPN，则在Rt MND中， 12PMPN， ，则 22 PMPN3MN 在MND中， 33 2MDDN ， ，由余弦定理，得 222 6 23 MNDNMD cos MND MN DN 二面角M EF D的余弦值为 6 3 【点睛】 本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及 二面角的概念即可，属于常考题型. 20已知椭圆已知椭圆

32、22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点为的右焦点为 2,0F，过点，过点F且垂直于且垂直于x轴轴 的直线与椭圆相交所得的弦长为的直线与椭圆相交所得的弦长为2 . 1求椭圆求椭圆C的方程；的方程； 2过椭圆内一点过椭圆内一点0,Pt，斜率为，斜率为k的直线的直线l交椭圆于交椭圆于 ,M N两点，设直线两点，设直线,OM PN （O为坐标原点）的斜率分别为为坐标原点）的斜率分别为 12 ,k k，若对任意，若对任意k，存在实数，存在实数，使得使得 12 kkk， 求实数求实数的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1） 22 1 42 xy ； （2） 2,. 【解析】【解析】 （1

33、）根据焦点和通径列出, ,a b c关系，求出椭圆方程. （2）直曲联立，得到 1212 ,xx x x，再将 12 kk用 12 ,x x表示，得到与t的关系，由t 的范围，得到的范围. 【详解】 1由题意得 2 222 2 2 2 c b a abc ，解得 2 2 a b . 所以椭圆C的方程为： 22 1, 42 xy 2设直线l的方程为 ,ykxt 由 22 1, 42 , xy ykxt 消元可得 222 214240.kxktxt 设 1122 ,M x yN x y，则 2 1212 22 424 ,. 2121 ktt xxx x kk 而 12 1212 12 22 121

34、12 4 2, 2 t xxyykxtkxtk kkk xxxxx xt 由 12 ,kkk得 2 4 . 2 k k t 因为此等式对任意的k都成立，所以 2 4 2t ，即 2 4 2.t 由题意，点0,Pt在椭圆内，故 2 4 022t ，解得2. 所以的取值范围是2,. 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，直曲联立构造等量关系.对计算能力要求较高，有一定的难 度，属于中档题. 21已知函数已知函数 f（x）ex 1 2 （xa）2+4 （1）若）若 f（x）在（）在（，+）上单调递增，求）上单调递增，求 a 的取值范围；的取值范围； （2）若）若 x0，不等式，不等式 f（x）0 恒成立

35、，求恒成立，求 a 的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1）1, ； （2）ln44, 10 【解析】【解析】 （1）对 f x在 , 上单调递增，转化为 0fx 恒成立，参变分离， 求出a的范围； （2）通过求导得到 f x的最值，而 fx 的正负需要进行分类，通过分类讨论， 1,0afx 恒成立， min 00f xf，得到a的范围，1a 时，可得到 0 min f xf x，虽然 0 x解不出来，但可以通过 0 0fx进行代换，得到 0 x范围， 再得到a的范围.最后两部分取并集，得到最终a的范围. 【详解】 1由题 x fxexa ， 由 0fx ，得 x aex . 令 x g

36、 xex，则 1 x g xe，令 0g x，得0x. 若0x， 0g x ；若0x，则 0g x . 则当0x时， g x单调递增；当0x时， g x单调递减. 所以当0x时， g x取得极大值，也即为最大值，即为 max 01g xg. 所以0a，即a的取值范围是.1, 2由 21 4 2 x f xexa，得 x fxexa ， 令 x h xexa ，则 10 x h xe . 所以 h x在0,上单调递增，且 01ha . 当1a时， 0fx ，函数 f x单调递增. 由于 0f x 恒成立，则有 2 1 050 2 fa.即 1010a . 所以110a 满足条件. 当1a时，则存

37、在 0 0,x ，使得 0 0h x，当 0 0xx时， 0h x ， 则 0,fxf x 单调递减；当 0 xx时，则 0h x ， 0,fxf x单调递增. 所以 0 2 00 min 1 40 2 x f xf xexa， 又 0 x满足 0 00 0 x h xexa，即 0 0 x xae 所以 00 2 1 40 2 xx ee，则 00 2 280 xx ee 即 00 420 xx ee，得 0 0ln4x 又 0 0 x axe.令 x u xxe，则 1 x u xe ， 可知，当0ln4x时， 0u x ，则 u x单调递减. 所以 ln44 x u xxe， 此时ln4

38、 41a 满足条件. 综上所述，a的取值范围是ln44, 10 . 【点睛】 利用导数求函数的单调区间、极值，参变分离、等量代换的方法，分类讨论的思想，对 思维要求较高，难度较大，属于难题. 22 在直角坐标系 在直角坐标系xOy中， 以坐标原点为极点，中， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 圆轴正半轴为极轴建立极坐标系， 圆M 的极坐标方程为的极坐标方程为4cos （1）求）求M的直角坐标方程；的直角坐标方程； （2）将圆）将圆M平移使其圆心为平移使其圆心为 1 0 2 N， ，设，设P是圆是圆N上的动点，点上的动点，点A与与N关于原点关于原点 O对称，线段对称，线段PA的垂

39、直平分线与的垂直平分线与PN相交于点相交于点Q，求，求Q的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程 【答案】【答案】 （1） 2 2 24xy； （2） 3 2 xcos ysin （为参数） 【解析】【解析】 （1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得出结果； （2）先由题意得到 A 点坐标为 1 0 2 ，以及圆N的半径 2r，根据题意得到 1rNPNQPQQNQANA，进而可得出结果. 【详解】 （1）将方程4cos两端同乘以，得： 2 4 cos，故 22 4xyx, 所以可得M的直角坐标方程为： 2 2 24xy， （2）依题意 A 点坐标为 1 0 2 ，且圆的半径 2r Q在线段PA的垂直平

40、分线上，PQAQ ， 1rNPNQPQQNQANA， 根据椭圆的定义，Q的轨迹为，以NA，为焦点，以 2 为长轴长的椭圆 即 1 1 2 ac ， 3 2 b， Q 的参数方程为： 3 2 xcos ysin （为参数） 【点睛】 本题主要考查直角坐标与极坐标的互化、以及曲线的参数方程，熟记极坐标与直角 坐标的互化公式、以及曲线的参数方程即可，属于常考题型. 23设设 a0，b0，且，且 a+bab （1）若不等式）若不等式|x|+|x2|a+b 恒成立，求实数恒成立，求实数 x 的取值范围的取值范围 （2）是否存在实数）是否存在实数 a，b，使得，使得 4a+b8？并说明理由？并说明理由 【

41、答案】【答案】 （1）1,3； （2）见解析 【解析】【解析】 （1）先求a b的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到x的取值 范围. （2）求出4ab的最小值，然后进行判断 【详解】 1由abab， 得 11 1, ab 111 1 2? 2?4ababab aba b ，当且仅 当2ab时“成立. 不等式2xxab即为24xx. 当0x时，不等式为224x ，此时10x ； 当02x时，不等式24成立，此时02x； 当2x时，不等式为224x，此时23x； 综上，实数x的取值范围是1,3. 2由于 0,0ab. 则 114 445 ba abab abab 4 52?9 ba a b . 当且仅当 4 , , ba ab abab ，即 3 ,3 2 ab时，4ab取得最小值9. 所以不存在实数, a b，使得48ab成立. 【点睛】 本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.