1、本章主要内容 离散傅里叶变换的定义 离散傅里叶变换的基本性质 频率域采样 离散傅里叶变换的应用举例离散傅里叶变换(DFT)DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采样(时域和频域都是离散化的有限点长的序列)。DFT变换的意义：开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进行处理，增加了数字信号处理的灵活性。DFT具有多种快速算法(FFT)，实现了信号的实时处理和设备的简化。离散傅里叶变换(DFT)3.1.1 DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为:X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT)为：3.1 离散傅里叶变换的定义10()()
2、(),k=0,1,&,N-1 (3.1.1)NknNnX kDFT x nx n W10()()(),k=0,1,&,N-1 (3.1.1)NknNnX kDFT x nx n W 旋转因子：NjNNnknNeWWnxnxDFTkX 210 1,-N0,1,.,k )()()(旋旋转转因因子子，N为变换区间的长度，NM101()()(),k=0,1,&,N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX nWN101()()(),k=0,1,&,N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX n WN101()()(),k=0,1,&,N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT
3、x nX nWN101()()(),k=0,1,&,N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX nWN101()()(),k=0,1,&,N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX nWN101()()(),k=0,1,&,N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX n WN101()()(),k=0,1,&,N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX n WNI101()()(),k=0,1,&,N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX nWN101()()(),k=0,1,&,N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x n
4、X n WNk=0IDFTX(k)唯一性的证明由于：所以，在变换区间上满足下式：IDFTX(k)=x(n),0nN-1 离散傅里叶逆变换是唯一的。3.1 离散傅里叶变换的定义110011()001()()1()NNmkknNNkmNNk m nNmkIDFT X kx m WWNx mWN 110011()001()()1()NNmkknNNkmNNk m nNmkIDFT X kx m WWNx mWN 11,()0,01Nm n MN Mk m nNm n MN MkWN M为整数 例 序列x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。解:(1)设变换区间N=8，则：(2)设变换区
5、间N=16，则3.1 离散傅里叶变换的定义273880038()()sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk273880038()()sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk273880038()()sin()2,0,1,7sin()8jknknnNjkXkx n Wekekk 3273880038()()sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk 0,1,.15k ,)16sin()4sin()16sin()4sin(11)(X(k)163168284830162150
6、16 kkekkeeeeeWnxkjkjkjkjkjnknjnkn 0,1,.15k ,)16sin()4sin()16sin()4sin(11)(X(k)16316828483016215016 kkekkeeeeeWnxkjkjkjkjkjnknjnkn 结论：离散傅立叶变换(DFT)结果与变换区间长度N有关。3.1.2 DFT和Z变换的关系设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式3.1 离散傅里叶变换的定义1010()()()()()()0kN-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n W1010()()()()()()0k
7、N-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n W22()(),0kN-1(3.1.3)()(),0kN-1(3.1.4)jkNz ejkNX kX zX kX z22()(),0kN-1(3.1.3)()(),0kN-1(3.1.4)jkNzejkNXkXzXkXz22()(),0 k N-1(3.1.3)()(),0 k N-1(3.1.4)jkNz ejkNX kX zX kX z e22()(),0 k N-1(3.1.3)()(),0 k N-1(3.1.4)jkNz ejkNX kX zX kX z DFT的物理意义：(1)x(n)的N点DFT 是x(
8、n)的Z变换在单位圆上N点等间隔采样。(2)X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejw)在区间0,2上的N点等间隔采样,采样间隔为2/N。(3)变换区间长度N不同，变换结果不同，N确定后，X(k)与x(n)是一一对应的。(4)当N足够大时，|X(k)|的包络可逼近|X(ejw)|曲线；(5)|X(k)|表示wk=2k/N频点的幅度谱线。3.1 离散傅里叶变换的定义3.1.3 DFT的隐含周期性 在DFT变换的定义对中，x(n)与X(k)均为有限长序列。(1)旋转因子WknN的周期性(周期为N)(2)X(k)隐含的周期性(周期为N)(3)序列x(n)隐含的周期性(周期为N)3.1 离散傅里叶变换的
9、定义(),kk mNNNWWk m NK,m,N均为整数1()010()()()()Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX k1()010()()()()Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX kx(n+mN)=x(n)任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 的一个周期，即:一般定义周期序列 中从n=0到N-1的第一个周期为 的主值区间，而主值区间上的序列称为 的主值序列。总结：是x(n)周期延拓序列 x(n)是 主值序列3.1 离散傅里叶变换的定义()()(3.1.7)Nx nx n()()(3
10、.1.7)Nx nx n()()(3.1.5)()()()(3.1.6)mNx nx nmNx nx nRn()()(3.1.5)()()()(3.1.6)mNx nx nmNx nx nRn 0)(nxnN-1 0n)(nxN-1()()(3.1.7)Nx nx n()()(3.1.7)Nx nx n()()(3.1.7)Nx nx n()()(3.1.7)Nx nx n()()(3.1.7)Nx nx n为了以后叙述方便，可用如下形式表示：(n)N表示n对N求余，即如果n=MN+n1，0n1N-1，M为整数，则：(n)N=n1例：设N5，则有：3.1 离散傅里叶变换的定义()()(3.1.
11、7)Nx nx nx(n)N表示：x(n)以N为周期的周期延拓序列。5)()(nxnx设55(5)(5)(0)(6)(6)(1)xxxxxx55(5)(5)(0)(6)(6)(1)xxxxxxDFT和周期序列的DFS的关系设x(n)的长度为N，且 ，则周期序列 的离散傅立叶级数表示式：上式中：说明：有限长序列x(n)的离散傅立叶变换X(k)，正好是x(n)的周期延拓序列 的离散傅立叶级数系数 的主值序列3.1 离散傅里叶变换的定义Nnxnx)()()(nx101010)()()()(NnknNNnknNNNnknNWnxWnxWnxkX1010)(1)(1)(NkknNNkknNWkXNWkX
12、Nnx注意：是一周期序列 )(kX kenxkXNnknNj,)()(102)()()(kRkXkXNNnx)()(kX总结()()()()()()NNXkD FTx nD FTx n RnXk Rk()()()()()()NNX kDFT x nDFT x n RnX k RkDFT()()jjz eX eX zFT()()jjzeXeXzZT单位圆上的N点等间隔采样0,2上的N点等间隔采样单位圆上的Z变换,Z=ejw()x n =DFS =DFSx(n)N21022()()()()()()()jkNjknNnX eFT x nX kkNNX kDFS x nx n e 21022()()(
13、)()()()()jkNjknNnX eFT x nX kkNNX kDFS x nx n e X(k)=RN(n)21022()()()()()()()jkNjknNnX eFT x nX kkNNX kDFS x nx n e=X(k)N例1：若N=5，x(n)=R4(n)，画出x(n)N图形。3.1 离散傅里叶变换的定义nx(n)10 1 2 3 4nx(n)510 1 2 3 4 5 6 7 8 9-3-2-4-5例2：已知长度为N的一个有限长序列x(n)，其N点DFT为X(k)。另一个长度为2N的序列 y(n)定义为：y(n)=x(0.5n)，n为偶数；0，n为奇数；试用X(k)表示
14、y(n)的2N点离散傅立叶变换Y(k)。解：已知3.1 离散傅里叶变换的定义1-2N0,1,2,.,k (k),RX(k)1-0,1,.,2Nk),()()(,2nn,n0.5n1-0,1,.,2Nk ,0)5.0()()(1-N0,1,.,k ,)()(2NN101022122120210 kXWnxWnxWnxWnykYWnxkXNnknNNnknNNnknNNnknNNnknN代代入入则则令令已已知知偶偶数数1-2N0,1,2,.,k (k),RX(k)1-0,1,.,2Nk),()()(,2nn,n0.5n1-0,1,.,2Nk ,0)5.0()()(1-N0,1,.,k ,)()(2
15、NN101022122120210 kXWnxWnxWnxWnykYWnxkXNnknNNnknNNnknNNnknNNnknN代代入入则则令令已已知知偶偶数数1-2N0,1,2,.,k (k),RX(k)1-0,1,.,2Nk),()()(,2nn,n0.5n1-0,1,.,2Nk ,0)5.0()()(1-N0,1,.,k ,)()(2NN101022122120210 kXWnxWnxWnxWnykYWnxkXNnknNNnknNNnknNNnknNNnknN代代入入则则令令已已知知偶偶数数1-2N0,1,2,.,k (k),RX(k)1-0,1,.,2Nk),()()(,2nn,n0.
16、5n1-0,1,.,2Nk ,0)5.0()()(1-N0,1,.,k ,)()(2NN101022122120210 kXWnxWnxWnxWnykYWnxkXNnknNNnknNNnknNNnknNNnknN代代入入则则令令已已知知偶偶数数1-2N0,1,2,.,k (k),RX(k)1-0,1,.,2Nk),()()(,2nn,n0.5n1-0,1,.,2Nk ,0)5.0()()(1-N0,1,.,k ,)()(2NN101022122120210 kXWnxWnxWnxWnykYWnxkXNnknNNnknNNnknNNnknNNnknN代代入入则则令令已已知知偶偶数数1-2N0,1
17、,2,.,k (k),RX(k)1-0,1,.,2Nk),()()(,2nn,n0.5n1-0,1,.,2Nk ,0)5.0()()(1-N0,1,.,k ,)()(2NN101022122120210 kXWnxWnxWnxWnykYWnxkXNnknNNnknNNnknNNnknNNnknN代代入入则则令令已已知知偶偶数数令：则：1-2N0,1,2,.,k (k),RX(k)1-0,1,.,2Nk),()()(,2nn,n0.5n1-0,1,.,2Nk ,0)5.0()()(1-N0,1,.,k ,)()(2NN101022122120210 kXWnxWnxWnxWnykYWnxkXNn
18、knNNnknNNnknNNnknNNnknN代代入入则则令令已已知知偶偶数数3.2.1 线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，取：N=maxN1,N2，则y(n)的N点DFT为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bx2(k）,0kN-1 其中：X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质3.2.2 循环移位性质 1.序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(N)(1)序列
19、y(n)由x(n)以N为周期进行周期延拓而得到 (n)=x(n)N(2)再将 (n)左移m位，得到：(nm);(3)取 (nm)的主值区间得到有限长序列x(n)的循环移位y(n)3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质 0 N-1n)(nx)(nxn 0 N-1xxxx从左侧移出主值区的序列值依次从右侧进入主值区)()()(kXWnRmnxDFTkmNNNn 0 N-1)()(nRmnxNN)()()(kXWnRmnxDFTkmNNNn 0 N-12.时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即：y(n)=x(n+m)NRN(n)则:Y(k)=DFTy
20、(n)=W-kmNX(k)其中:X(k)=DFTx(n),0kN-1 3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质1010()()()()()NknNNNnNknNNnY kDFT y nx nmRn Wx nmW1010()()()()()NknNNNnNknNNnY kDFT y nx nmRn Wx nmW1()1()()()Nmk nmNNnmNmknknNNNnmY kx nWWx nW 1()1()()()Nmk nmNNnmNmknknNNNnmY kx nWWx nW 证证毕毕右右边边,)()(10 kXWWnxWkmNNnknNNkmN1()1()()()Nmk nmNNnmN
21、mknknNNNnmY kx nWWx nW 110()()()()NkmknNNNnNkmknNNnkmNY kWx nWWx n WWX k提示：x(n)N和 均以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同110()()()()NkmknNNNnNkmknNNnkmNY kWx nWWx n WWX k令n+m=n，则有 证明：3.频域循环移位定理如果：X(k)=DFTx(n),0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)则 y(n)=IDFTY(k)=WnlNx(n)3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质3.2.3 循环卷积定理1、时域循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n
22、)，长度分别为N1和N2，N=max N1,N2。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)如果：X(k)=X1(k)X2(k)3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质110()()()()()NNNmx nIDFT X kx mnmRnx2110()()()()()NNNmx nIDFT X kx mnmRn)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121120()()()()()NNNmx nIDFT X kx mnmRnx1110()()()(
23、)()NNNmx nIDFT X kx mnmRn)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121注意：对于x1(n)或x2(n)不足N点，则分别在其尾部补零，使长度为N。)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121
24、)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121 则：x(n)证明：直接对上式两边进行DFT令n-m=n，则有3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质110()()()()()NNNmx nIDFT X kx mnmRnx2110()()()()()NNNmx nIDFT X kx mnmRn111200111200()()()()()()()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 111200111200()()()()()()()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnm
25、W 111200111200()()()()()()()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 111200111200()()()()()()()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 111200111200()()()()()()()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 111200111200()()()()()()()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 1112001112
26、00()()()()()()()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 11()12011120()()()()()NNmk nmNNmnmNNmkmknNNNmnmX kx mxnWx m WxnW 11()12011120()()()()()NNmk nmNNmnmNNmkmknNNNmnmX kx mxnWx m WxnW 11012()()()(),01NknNmX kx mWX k X kkN 两个有限长序列循环卷积的过程：(1)上式中求和变量为m，n为参变量；(2)将x2(m)以N为周期作周期延拓得到x2(m)N；(3)翻转x2(
27、m)N 形成x2(-m)N(4)对x2(-m)N进行循环移位x2(n-m)N，取主值序列，形成x2(n-m)N RN(m);(5)n=0,1,N-1时，x1(m)和x2(n-m)N R N(m)对应相乘，并对m在0N-1区间求和。3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质110()()()()()NNNmx nIDFT X kx mnmRnx2110()()()()()NNNmx nIDFT X kx mnmRn110()()()()()NNNmx nIDFT X kx mnmRnn，m01234567x2(n)n0711x2(m)NRN(m)071x2(1 m)NRN(m)071mmx2(2
28、 m)NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123456123456n，m01234567x2(n)n0711x2(m)NRN(m)071x2(1 m)NRN(m)071mmx2(2 m)NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123456123456n，m01234567x2(n)n0711x2(m)NRN(m)071x2(1 m)NRN(m)071mmx2(2 m)NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123456123456n，m01234567x2(n)n0711x2(
29、m)NRN(m)071x2(1 m)NRN(m)071mmx2(2 m)NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123456123456n，m01234567x2(n)n0711x2(m)NRN(m)071x2(1 m)NRN(m)071mmx2(2 m)NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123456123456n，m01234567x2(n)n0711x2(m)NRN(m)071x2(1 m)NRN(m)071mmx2(2 m)NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123
30、456123456【例】：已知x1(n)=1，0n3；x2(n)=1，2n5；0，其它n;0，其它n;求y(n)=x1(n)x2(n)，循环卷积区间长度N为8。y(0)=x1(m)x2(-m)8R8(n)=1;y(1)=x1(m)x2(1-m)8R8(n)=0;y(2)=x1(m)x2(2-m)8R8(n)=1;y(3)=x1(m)x2(3-m)8R8(n)=2;y(4)=x1(m)x2(4-m)8R8(n)=3;y(5)=x1(m)x2(5-m)8R8(n)=4;y(6)=x1(m)x2(6-m)8R8(n)=3;y(7)=x1(m)x2(7-m)8R8(n)=2;3.2 离散傅立叶变换（D
31、FT）的基本性质mx1(m)10 1 2 3 4mx2(m)11 204 53my(n)1014232 3 4 5 6 72、频域循环卷积定理如果：x(n)=x1(n)x2(n)则：3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质1211202112101()()()()1()()()1()()()1()()()NNNlNNNlX kDFT x nX kX kNX l XklR kNX kX kX kNX l XklR kN1211202112101()()()()1()()()1()()()1()()()NNNlNNNlX kDFT x nX kX kNX l XklR kNX kX kX kNX
32、 l XklR kN1211202112101()()()()1()()()1()()()1()()()NNNlNNNlX kDFT x nX kX kNX l XklRkNX kX kX kNX l XklRkN1211202112101()()()()1()()()1()()()1()()()NNNlNNNlX kDFT x nX kXkNX l XklRkNX kXkX kNXl XklRkN其中：X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)0kN-1证明：令：k-m=k，代入得到3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质1-0,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-
33、k )()(1)(1)()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得得令令1-0,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-k )()(1)(1)()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得得令令1-0,1,.Nn ),()(
34、)()(1)(1,km-k )()(1)(1)()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得得令令1-0,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-k )()(1)(1)()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得得令令1-0
35、,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-k )()(1)(1)()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得得令令1-0,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-k )()(1)(1)()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNN
36、m代代入入得得令令1-0,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-k )()(1)(1)()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得得令令3.2.4 复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N X(k)=DFTx(n)则:DFTx*(n)=X*(N-k),0kN-1 且:X(N)=X(0)证明：根据DFT的唯一性，只要证明上式右边等于左边即可。又由X(k)的隐含周期性有：X(N)=X
37、(0)用同样的方法可以证明：DFTx*(N-n)=X*(k)3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质1()01()010()()()()()nnNN kNnNN kNnNknNnXNkx n Wx n Wx n WDFT x n1()01()010()()()()()nnNNkNnNNkNnNknNnXNkx n Wxn Wxn WDFT xnn1()01()010()()()()()nnNN kNnNN kNnNknNnXNkx n Wx n Wx n WDFT x nn1()01()010()()()()()nnNN kNnNN kNnNknNnXNkx n Wx n Wx n WDFT
38、 x n1()01()010()()()()()nnNN kNnNN kNnNknNnXNkx n Wx n Wx n WDFT x n3.2.5 DFT的共轭对称性序列的傅里叶的对称性是关于坐标原点的纵坐标的对称性，DFT的对称性关于N/2点的对称性。1、有限长共轭对称序列和共轭反对称序列用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则二者满足如下定义式：xep(n)=x*ep(N-n),0nN-1 xop(n)=-x*op(N-n),0nN-1 当N为偶数时，将上式中的n换成N/2-n可得到 xep(N/2n)=x*ep(N/2n),0nN/2-1 xop(N/2
39、n)=-x*op(N/2n),0nN/2-13.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质共轭对称序列示意图共轭反对称序列示意图2、任何一有限长序列都可表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和 x(n)=xep(n)+xop(n),0nN-1 将上式中的n换成N-n，并取复共轭：x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)由上两式可得：xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n)xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n)同理可以确定有限长序列X(k)的Xep(k)和Xop(k)Xep(k)=1/2X(k)+X*(N-
40、k)；Xop(k)=1/2X(k)-X*(N-k)；3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质3、DFT的共轭对称性(1)如果x(n)=xr(n)+jxi(n)其中：xr(n)=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n)jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n)DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n)=1/2X(k)+X*(N-k)=Xep(k)DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n)=1/2X(k)-X*(N-k)=Xop(k)3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质)()()(njxnxnxir)()()(kXkXkXopep共轭对称分量共轭反对称分量(
41、2)如果x(n)=xep(n)+xop(n)，0nN-1 其中：xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n),x(n)的共轭对称分量 xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n),x(n)的共轭反对称分量 那么:DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n)=1/2X(k)+X*(k)=ReX(k)DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n)=1/2X(k)-X*(k)=jImX(k)3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质)()()(nxnxnxopep)(Im)(Re)(kXjkXkX虚部实部3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质4、有限长实序列DFT的共轭对称
42、性 设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n)，则 (1)X(k)共轭对称，即：X(k)=X*(N-k),0kN-1 (2)如果 x(n)=x(N-n)则：X(k)实偶对称，即：X(k)=X(N-k)(3)如果 x(n)=-x(N-n)则：X(k)纯虚奇对称，即：X(k)=-X(N-k)(4)有限长实序列DFT共轭对称性的应用 当N=偶数时，只需计算前N/2+1点的DFT;当N=奇数时，只需计算前(N+1)/2点的DFT;序列x(n)实偶对称序列x(n)实奇对称可减少运算量，提高运算效率3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质 通过计算一个N点DFT，可得到两个不同实序列的N点
43、DFT。设：x1(n)和x2(n)为两个实序列，构成新序列x(n)如下：x(n)=x1(n)+jx2(n)对x(n)进行DFT 得到:X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k)Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k)所以:X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k)X2(k)=DFTx2(n)=j1/2X(k)-X*(N-k)3.3 频率域采样时域采样定理 在一定条件下，时域离散采样信号可以恢复出原来的连续信号；问题 在频域进行离散采样，得到的离散采样值能否恢复出原来的信号(或原频域
44、函数)。条件是什么？内插公式？3.3 频率域采样 设任意序列x(n)的Z变换为：设：X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在FT)。在单位圆上对X(z)等N点间隔采样，得到：()()nnX zx n z22()()(),0kN-1(3.3.1)jkNjknNz enX kX zx n e序列x(n)的FT在区间0,2上的N点等间隔采样je0k=0k=2k=1N2ImzjRezk=3k=N-1设离散序列x(k)是长度为N的有限长序列xN(n)的DFT，即问题：xN(n)与原序列x(n)之间是怎样的关系？xN(n)=IDFTX(k)，0nN-13.3 频率域采样 X(k)是xN(n)以N为周期的周
45、期延拓序列 的离散傅里叶级数系数 的主值序列，即:1010()()()()()()()()()1()1()NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxnIDFS X kX k WNX k WNX(n)1010()()()()()()()()()1()1()NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxnIDFS X kX k WNX k WN X(k)N=DFS ,X(n)1010()()()()()()()()()1()1()NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxnIDFS X k
46、X k WNX k WN1010()()()()()()()()()1()1()NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxnIDFS X kX k WNX k WNX(n)1010()()()()()()()()()1()1()NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxnIDFS X kX k WNX k WN101()()(),k=0,1,&,N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX n WN1010()()()()()()()()()1()1()NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX
47、 kX k RkX nxnIDFS X kX k WNX k WN101()01()()1()NkmknNNkmNk m nNmkx nx m WWNx mWN 101()01()()1()NkmknNNkmNk m nNmkx nx m WWNx mWN 11,()001NmnrN rkmnNkWN为整数 其它m 11,()001Nm n rN rk m nNkWN 因为：3.3 频率域采样由上面推导可得：结论：X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的IDFT，为原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列。频域采样定理：假设 x(n)的长度为M，频域采样点数为N 若 N M，则xN
48、(n)=IDFTX(k)=x(n)时域无混叠 若 NM，则xN(n)=IDFTX(k)x(n)产生时域混叠 故频率抽样(不失真)条件为:N M10()()()()()()()NkNNNrx nx nrNxnx n Rnx nrN Rn10()()()()()()()NkNNNrx nx nrNxnx n Rnx nrN Rnr=10()()()()()()()NkNNNrx nx nrNxnx n Rnx nrN Rn=x(n)N RN(n)3.3 频率域采样例：已知x(n)=R4(n)，X(ejw)=FTx(n)，对X(ejw)在区间0,2进行6点的等间隔采样，求：X6(k)，k=0,1,.
49、5 及相应的x6(n)=IDFTX6(k)，n=0,1,.5。解：0 3n1)(nx je0k=0k=2k=1ImzjRezk=3k=4k=50 1 2 3 4 5 4.001.731.00)(jeX6sin32sin)(230623066kkeeWkXkjnnkjnnkK=X(k)=0-j1.734.0001.00j1.731.00132452sin)2sin()(2330kjNnjjeeeX2sin)2sin()(2330kjNnjjeeeXn=02sin)2sin()(2330kjNnjjeeeX2sin)2sin()(2330kjNnjjeeeX2sin)2sin()(2330kjNn
50、jjeeeX3.3 频率域采样直接由频域采样定理得:2,对X(ejw)在一个周期内进行3点采样,求 及相应的x3(n)=IDFTX3(k)，n=0、1、2。rrrnRrnxnx)6()6()(465,4,03,2,1,0,1)()()(666nnnRnxnx（时域无混叠）5,4,03,2,1,0,1)()()(666nnnRnxnx5,4,03,2,1,0,1)()()(666nnnRnxnxn 01 6-6)(6nx-3392,1,0,)()(323keXkXkj3.3 频率域采样解：直接由频域采样定义得2,1.,10.,4)(3kkkX2,1;10;2)()3()()3()(3433nnn
