1、2022-12-112022-12-12本章内容：本章内容：.周期信号的频域分析周期信号的频域分析.LTI系统的频域分析系统的频域分析.傅立叶级数的性质傅立叶级数的性质2022-12-133.0 引言引言 Introduction v时域分析方法的基础：时域分析方法的基础：1)1)信号在时域的分解。信号在时域的分解。2)LTI系统满足线性、时不变性。系统满足线性、时不变性。2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。1.本身简单，且本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。系统对它的响应能简便得到。v 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满从分解信号
2、的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：足两个要求：2022-12-143.1历史的回顾历史的回顾 （A Historical Perspective）任何科学理论任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而得来的人不懈的努力而得来的,其中有争论其中有争论,还有人为还有人为之献出了生命。之献出了生命。历史的经验告诉我们历史的经验告诉我们,要想在要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人
3、折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。2022-12-15v17681768年生于法国年生于法国v18071807年提出年提出“任何周任何周期信号都可以用正弦期信号都可以用正弦函数的级数来表示函数的级数来表示”v拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表v18221822年首次发表年首次发表“热热的分析理论的分析理论”v18291829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件傅里叶生平傅里叶生平176818302022-12-16
4、傅里叶的两个最重要的贡献傅里叶的两个最重要的贡献v“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和号的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点v“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点2022-12-17由时域分析方法有，由时域分析方法有，()()()()()s tstssty tehdehedH s e()()()()()nknknkky nzh kzh k zH z z3.2 LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应The Respon
5、se of LTI Systems to Complex Exponentialsstenz()h n()h tste()y tnz()y nv 考查考查LTI系统对复指数信号系统对复指数信号 和和 的响应的响应2022-12-18 可见可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明的。这说明 和和 符合对单元信号的第一项要符合对单元信号的第一项要求。求。stenz特征函数特征函数 (Eigenfunction)v 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的以一个常数，则称该信号是
6、这个系统的特征函数特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的应的特征值特征值。2022-12-19结论：结论：v 只有复指数函数才能成为一切只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征系统的特征函函数。数。v 复指数函数复指数函数 、是一切是一切LTI系统的特征函系统的特征函数。数。、分别是分别是LTI系统与复指数信号相对系统与复指数信号相对应的特征值。应的特征值。()()stH sh t edt()()nkH zh n zstenz()H s()H z对时域的任何一个信号对时域的任何一个信号 或者或者 ,若能将若能将其表示为下列形式：
7、其表示为下列形式：()x t()x ntststseaeaeatx321321)(2022-12-110利用系统的齐次性与叠加性利用系统的齐次性与叠加性nkkkZanx)(nkkkkZZHany)()(tskkkkesHaty)()(tskkkeatx)(即：即：*问题：问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？线性组合来表示？tststsesHaesHaesHatytx321)()()()()(332211所以有所以有111()s ts teH s e222()s ts teH s e333()s ts teH s e由于由于2022-
8、12-111Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，一一.连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数0()jktkte02k02 成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集:，其中每个信号都是以，其中每个信号都是以 为周期的，它们的公共周期为为周期的，它们的公共周期为 ，且该集合，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。中所有的信号都是彼此独立的。0,1,2,
9、k 2022-12-112例例1 1：0()cosx tt001122jtjtee 显然显然 也是以也是以 为周期的。该级数就是为周期的。该级数就是傅里傅里叶级数叶级数，称称为傅立叶级数的系数。为傅立叶级数的系数。这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即即:连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量谐波分量。02()x tka0(),0,1,2jktkkx ta ek有有2022-12-113例例2 2：00()cos2cos3x ttt00003312jtjtjtjteeee显然该信号中，有两个谐
10、波分量，显然该信号中，有两个谐波分量，为相应为相应分量的加权因子分量的加权因子即傅立叶系数即傅立叶系数112a在该信号中，有四个谐波分量，即在该信号中，有四个谐波分量，即,3,1 k时对应的谐波分量。时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。2022-12-114二二.频谱频谱（Spectral）的概念的概念 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。间的区别也
11、仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。线段的位置表示相应的频率。t()kt 信号集信号集 中的每一个信号，除了成谐波关中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间系外，每个信号随时间 的变化规律都是一样的，的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。差别仅仅是频率不同。2022-12-11501分量分量 可表示为可表示为0jte 因此，当把周期信号因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 时时，就可以将就可以将 表示为表示为()x t()x t0()jktkkx ta
12、e这样绘出的图这样绘出的图称为称为频谱图频谱图1212000000a1a2a3a3a2a1agggggggg0001cos()2jtjttee表示为表示为2022-12-116 频谱图其实就是将频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，随频率的分布表示出来，即即 的关系。由于的关系。由于信号的频谱完全代表了信信号的频谱完全代表了信号号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为种表示信号的方法称为频域表示法频域表示法。kaka三.傅里叶级数的其它形式傅里叶级数的其它形式 0000*()jktjktjktjktkkkkkkkkx ta e
13、a ea ea ekkaa或或*kkaa 若若 是实信号是实信号,则有则有)()(txtx，于是，于是()x t2022-12-117若令若令kjkkaA e，则，则 为实数。于是为实数。于是0a0001kkjktjjktjkkkaA eeA ee0001()()01()kkkjjktj ktj ktkkkkkkx tA eeaA eA e*kkjjkkkkaaA eA eQ即即：kkAAkk 表明表明 的的模关于模关于 偶对称偶对称，幅角关于幅角关于 奇对称奇对称。kakk2022-12-1180001()kkjktjjktjkkkx taA eeA ee0012cos()kkkaAkt 傅
14、里叶级数的三角函数表示式傅里叶级数的三角函数表示式kkkaBjC 若令若令则则00101()()()jktjktkkkkkkx taBjC eBjC e0001()()jktjktkkkkkaBjCeBjCe2022-12-119*kkaaQkkkkBjCBjC因此因此kkBBkkCC即即 的的实部关于实部关于 偶对称偶对称，虚部关于虚部关于 奇对称奇对称。kakk0001()()()jktjktkkkkkx taBjCeBjCe00012cossinkkkaBktCkt 傅里叶级数的另一种三角函数形式傅里叶级数的另一种三角函数形式将此关系代入，可得到将此关系代入，可得到2022-12-120
15、四四.连续时间傅里叶级数系数的确定连续时间傅里叶级数系数的确定00()()jntj k ntkkx t ea e对两边同时在一个周期内积分，有对两边同时在一个周期内积分，有0000()00()TTjntj kntkkx t edtaedt0(),jktkkx ta e002T()x t则有则有如果周期信号如果周期信号 可以表示为傅里叶级数可以表示为傅里叶级数2022-12-1210000()00000cos()sin()TTTj k ntedtkntdtjkntdt0000()Tjntnx t edta T00001()Tjntnax t edtT即即00,Tknkn 在确定此积分时，只要积分
16、区间是一个周期即可，在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为0001()jktkTax t edtT0001()Tax t dtT是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a2022-12-122五五.周期性矩形脉冲信号的频谱周期性矩形脉冲信号的频谱1001110 100 00 02sin11Tjktjkt TkTTkTaedteTjkTkT 101111010010002sin222Sa()sinc()TkTTTTkTkTkTTTTsinSa()xxxsinsi
17、nc()xxx其中其中10T0Tt()x t2022-12-123 根据根据 可绘出可绘出 的频谱图。的频谱图。称为占空比称为占空比ka()x t102TT0()Sa x1x0121sin()c x1x12022-12-12410212TT10214TT10218TT不变不变 时时0T1T 2022-12-12510212TT10214TT10218TT1T不变不变 时时0T 2022-12-126周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征：1.1.离散性离散性 2.2.谐波性谐波性 3.3.收敛性收敛性 考查周期考查周期 和脉冲宽度和脉冲宽度 改变时频谱的变化：改变时频谱的变
18、化：0T12T1.1.当当 不变，改变不变，改变 时，随时，随 使占空比减小，使占空比减小，谱谱线间隔变小，幅度下降线间隔变小，幅度下降。但。但频谱包络的形状不变频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.2.当当 改变，改变，不变时，随不变时，随 使占空比减小，使占空比减小，谱谱线间隔不变，幅度下降线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变频谱的包络改变，包络包络主瓣变宽主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。主瓣内包含的谐波数量也增加。1T1T 0T0T 1T0T2022-12-127当当 时，有时，有()()x txt0000220020012()()
19、cosTTjktTkax t edtx tktdtTT当当 时，有时，有()()x txt 0000220020012()()sinTTjktTkax t edtjx tktdtTT 表明：表明：奇信号的奇信号的 是关于是关于 的奇函数、虚函数。的奇函数、虚函数。kak表明：表明：偶信号的偶信号的 是关于是关于 的偶函数、实函数。的偶函数、实函数。kak信号对称性与频谱的关系：信号对称性与频谱的关系：2022-12-1283.4 连续时间傅里叶级数的收敛连续时间傅里叶级数的收敛 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以
20、表示为性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。傅里叶级数。一一.傅里叶级数是对信号的最佳近似傅里叶级数是对信号的最佳近似若若 以以 为周期为周期0()jktkkx ta e002T()x t0T用有限个谐波分量近似用有限个谐波分量近似 时，有时，有()x t0()NjktNkkNxta eConvergence of the Fourier series2022-12-129误差为误差为()()()NNetx txt 以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为00220011()()()()NNNTTEtetdtx txtdtTT000*
21、01()()NNjktjktkkTkNkNx ta ex ta edtT于是：于是：0220012)()cos()NNNkkkkkTkNkNEtx tdtAABTT（2022-12-130结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对是对周期信号的最佳近似。周期信号的最佳近似。在均方误差最小的准则下，可以证明，此时在均方误差最小的准则下，可以证明，此时应满足：应满足：ka0001()jktkTax t edtT这就是傅氏级数的系数这就是傅氏级数的系数其中其中kjkkaA e00(),kjktjkTx t edtB e00()kjktjkTx t edtB
22、e2022-12-131二二.傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛傅里叶级数收敛的两层含义傅里叶级数收敛的两层含义：是否存在是否存在?级数是否收敛于级数是否收敛于?()x tka 两组条件：两组条件：1.平方可积条件：平方可积条件：如果如果 则则 必存在。必存在。在一个周期内能量有限，在一个周期内能量有限，一定存在。一定存在。ka02()Tx tdt ka()x tQ2022-12-132 2.Dirichlet条件：条件：，在任何周期内信号绝对可积。，在任何周期内信号绝对可积。在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。为有限值。在任何有限区间内
23、，只有有限个第一类间断点。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。0()Tx tdt 0000011()()jktkTTax t edtx t dtTT 因此，信号绝对可积就保证了因此，信号绝对可积就保证了 的存在。的存在。ka2022-12-133这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的收敛的充分条件充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性有相当的普遍适用性。几个不满足几个不满足Dirichlet条件的信号条
24、件的信号2022-12-134三三.Gibbs现象现象 满足满足 Dirichlet 条件条件的信号，其傅里叶级数是如的信号，其傅里叶级数是如何收敛于何收敛于 的。特别当的。特别当 具有间断点时，在间具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于断点附近，如何收敛于?()x t()x t()x t2022-12-1351N 3N 7N 19N 2022-12-136100N 2022-12-137 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的在间断点附近不可避免的会会出现振荡和超量。超出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随
25、量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少缩，从而使它所占有的能量减少。Gibbs现象表明：现象表明：2022-12-138Properties of Continuous-Time Fourier Series3.5 连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。行级数展开。一一.线性：线性：若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且()Fkx ta()Fky tb()
26、x t()y tT则则()()FkkAx tBy tAaBb 2022-12-139二二.时移时移:三三.反转反转:0 00()jktFkx tta e()Fkx ta 若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且()x tT则则02T若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且()x tT()Fkx ta 则则()Fkxta 四四.尺度变换尺度变换:若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且()x tT()Fkx ta 则则 以以 为周期，于是为周期，于是()x at/T a0/()()jkatFkTaax atbx at edtT 2022-12-140令令 ，当，当 在在
27、变化时，变化时，从从 变化，变化，att0/T a0T于是有：于是有：01()jkkkTbxedaT()Fkkx atba 五五.相乘相乘:若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且()Fkx ta()Fky tb()x t()y tT则则01()()()()jktFkTx ty tCx t y t edtT g001()jltjktklTlCa ey t edtTg也即也即2022-12-1410()1()j k ltkllk lTllCay t edta bT()()Flk lkklx t y ta bab 六六.共轭对称性共轭对称性:若若 是以是以 为周期的信号，且为周期
28、的信号，且()x tT()Fkx ta 则则katx)(由此可推得，由此可推得，对实信号有对实信号有：或或kkaakkaakjkkaA e时有：时有：kkkkAA 当当2022-12-142七七.Parseval 定理：定理：kkTadttxT22)(1表明：表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和分量的平均功率之和.*掌握表掌握表3.1对实信号，对实信号，当当 时，时，()()x txtkkaa（实偶函数）（实偶函数）当当 时，时，()()x txt kkaa（虚奇函数）（虚奇函数）kkkaBjC时有：时有：kkkkBBCC 当当2
29、022-12-143例例1：kkTttx)()(-T1tT0)(tx0/2/211()TjktkTat edtTT01()jktkx teT02T)(tg101T1T-TTt例例2：周期性矩形脉冲：周期性矩形脉冲)()()(11TtxTtxtg将其微分后，可利用例将其微分后，可利用例1表示为表示为2022-12-144设设()()FFkkg tcg tb 由时域微分性质有由时域微分性质有0kkbjkc根据时移特性，有根据时移特性，有0 10 10 12sinjkTjkTkkkbaeejakT由例由例1知知1/kaT02/T0 10 11000 12sinsin2kkbkTkTTcjkkTTkT
30、()g t 1t01T1T1TT1TT2022-12-145Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic Signals一一.离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数（DFS）Discrete-Time Fourier Series 考察成谐波关系的复指数信号集考察成谐波关系的复指数信号集:该信号集中每一个信号都以该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中为周期，且该集合中只有只有 个信号是彼此独立的。个信号是彼此独立的。2()jknNkneNN3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示2022-12
31、-146 这个级数就称为这个级数就称为离散时间傅里叶级数（离散时间傅里叶级数（DFS），其中其中 也称为周期信号也称为周期信号 的频谱。的频谱。ka()x n二二.傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定给给 两边同乘以两边同乘以 ，得：，得：2()jknNkkNx na e2jrnNe 将这将这 个独立的信号线性组合起来，一定能表个独立的信号线性组合起来，一定能表 示一个以示一个以 为周期的序列。即：为周期的序列。即：2()jknNkkNx na e其中其中 为为 个相连的整数个相连的整数NNNk2022-12-14722()()jrnjk r nNNkkNx n ea e222()()()
32、jrnjk r njk r nNNNkknNnN kNkNnNx n ea eae 2()jrnNrnNx n eNa22()21()()0,2()011j k rNjk r njk r nNNNj k rnNnNeeee而而 krkr显然显然 仍是以仍是以 为周期的，对两边求和为周期的，对两边求和2()jrnNx n eN2022-12-14821()jrnNrnNax n eN21()jknNknNax n eN即即或或对实信号同样有对实信号同样有：kkaakkaakkaa RRReRekkaaImImkkaa 显然上式满足显然上式满足 ，即，即 也是以也是以 为周为周期的，或者说期的，或
33、者说 中只有中只有 个是独立的个是独立的。kNkaakakaNN2022-12-149三三.周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱112121()()221jkjkNjkNNNNjkjkjkNNNeeeNeee211112(1)22111jkNNjNkNNjknNkjknNNeeaeNNe2022-12-150 显然显然 的包络具有的包络具有 的形状。的形状。kasinsinxx121kNaNkrN时时1sin(21)1sinkNNNkN0,2,kNN2022-12-151kkk1220NN1110NN1210NN周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱2022-12-152u 当当 不变、
34、不变、时，频谱的时，频谱的包络形状不变包络形状不变，只是只是幅度减小，谱线间隔变小幅度减小，谱线间隔变小。u 当当 改变、改变、不变时，由于不变时，由于 的包络具有的包络具有 的形状，而的形状，而 ，可知其包络可知其包络形状一定形状一定发生变化。当发生变化。当 时，包络的第一个时，包络的第一个零点会远离零点会远离原点从而使原点从而使频谱主瓣变宽频谱主瓣变宽。这一点。这一点也与连续时间周期矩形也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。脉冲的情况类似。1N1NNN kasinsinxx121N1N 2022-12-153三三.DFS的收敛的收敛 DFS 是一个有限项的级数，确定是一个有限项的级数，确定
35、的关系的关系式也是有限项的和式，因而式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题不存在收敛问题，也，也不会产生不会产生Gibbs现象现象。ka 周期序列的频谱也具有周期序列的频谱也具有离散性、谐波性离散性、谐波性，当在，当在 区间区间 考查时考查时，也具有具有收敛性收敛性。不同的是，。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有离散时间周期信号的频谱具有周期性周期性。2022-12-1541.相乘相乘 2.差分差分周期卷积周期卷积Properties of Discrete-Time Fourier Series 3.7 DFS的性质的性质DFS有许多性质，这里只选几个加以讨论。有许多性质，这里只选几个加以
36、讨论。()DFSkx na()DFSky nb()()DFSklk llNx n y ncab()DFSkx na 00()()(1)j nDFSkx nx nnea 2022-12-1553.时域内插时域内插()mx n(/)x n m0nrmnrm若若 以以N为周期，为周期，()x n则则 以以mN为周期。为周期。()mxn()Fmkxnh 令令21()jknmNkmnmNhxn emN令令 ，则有，则有nrm时时0 nmN0 rN22111()()jkrmjkrmNNkkrNrNhx r ex r eamNmNm2022-12-1564.Paseval定理定理左边是信号在一个周期内的平均
37、功率，右边是左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。信号的各次谐波的总功率。这表明：这表明：一个周期信号的平均功率等于它的所一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。有谐波分量的功率之和。也表明：也表明：周期信号的功周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。率既可以由时域求得，也可以由频域求得。221|()|knNkNx naN()DFSkx na 2022-12-1573.8 傅里叶级数与傅里叶级数与LTI系统系统Fourier Series and LTI Systems LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信系统对复指数信号所起的作用只是
38、给输入信号加权了一个相应的特征值。号加权了一个相应的特征值。()()stH sh t edt对连续时间系统对连续时间系统对离散时间系统对离散时间系统()()nnH zh n z、被被称称为系统的为系统的系统函数系统函数。()H s()H z2022-12-158如果如果sj则则()()j tH jh t edt()H j被称为连续时间被称为连续时间LTI系统的系统的频率响应频率响应如果如果jze则则()()jj nnH eh n e()jH e称为离散时间称为离散时间LTI系统的系统的频率响应频率响应()jH e对对 而言，是以而言，是以 为周期的。为周期的。2如果一个如果一个LTI系统系统输
39、入周期性信号输入周期性信号 或或 ()x t()x n0()jktkkx ta e02T2022-12-15900()()jktkky ta Hjke22()()jkjknNNkkNy na H ee则则2()jknNkkNx na e*可见，可见，LTI系统对周期信号的响应仍是一个周系统对周期信号的响应仍是一个周期信号，期信号，LTI系统的作用是对各个谐波频率的信系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权处理。号分量进行不同的加权处理。2022-12-16021)(22nNjnNjeenx例：例：某离散时间某离散时间LTI系统，系统，输入为输入为 ，求输出，求输出 。11),()(n
40、unhn)2cos()(nNnx()y n22()()jkjknNNnH eh n e20jknnNne211jkNe2111aa即：即：2022-12-16121()jknNkky nb e2()jkNkkba H e由由121/21jNbe121/21jNbe得得221()1jNjNH ee221()1jNjNH ee2022-12-1623.9 滤波滤波1.1.频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）2.2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）频率选择性滤波器（去除某些频率分量）The Ideal Frequency-Selective Filte
41、rs一一.滤波滤波 通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波滤波。滤波器可分为两大类：滤波器可分为两大类：2022-12-163二二.理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性 理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。频率响应等于零。理想滤波器可分为理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。低通、高通、带通、带
42、阻。滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（通带（pass band），完全不允许信号通过的频，完全不允许信号通过的频段称为段称为阻带（阻带（stop band）。2022-12-164连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性低通低通cc01高通高通cc01带阻带阻011122带通带通0111222022-12-165离散时间离散时间理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性高通高通-1cc2c 低通低通2 2 1-cc2c 带通带通-0 011122带阻带阻-111222022-12-166
43、各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。离散时间理想滤波器的特性在离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相区间上，与相应的连续时间滤波器特性完全相似。应的连续时间滤波器特性完全相似。三三.理想滤波器的时域特性理想滤波器的时域特性以理想低通滤波器为例以理想低通滤波器为例()H jcc1,0,连续时间理想低通滤波器连续时间理想低通滤波器1 1()H jcc2022-12-167 各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。离散时间理想滤波器的特性在离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相区间上，与相应的连续时间滤波
44、器特性完全相似。应的连续时间滤波器特性完全相似。三三.理想滤波器的时域特性理想滤波器的时域特性以理想低通滤波器为例以理想低通滤波器为例()H jcc1,0,连续时间理想低通滤波器连续时间理想低通滤波器1 1()H jcc2022-12-168由傅里叶变换可得由傅里叶变换可得:1sin()Sa()2ccj tcccth tedtt2022-12-169对离散时间理想低通滤波器有：对离散时间理想低通滤波器有：sin()Sa()cccnh nnn2022-12-170如果理想低通滤波器具有线性相位特性如果理想低通滤波器具有线性相位特性则则sin()()Sa()()cccth ttt()H j,|jc
45、e0,|c()h tt/c 2022-12-171理想低通滤波器的单位阶跃响应理想低通滤波器的单位阶跃响应()()*()s th tu tsin1sincttccctxdtdxtx001sin1sinctxxdxdxxx0sinSi()xdx令令正弦积分正弦积分2022-12-172,Si();,Si()22Si(0)0 xxxx由于由于1111()Si(0)Si()Si()Si()2ccs tttt()s t2022-12-173对离散时间理想低通滤波器，相应有：对离散时间理想低通滤波器，相应有：11()Si()2cs nn从理想滤波器的时域特性可以看出：从理想滤波器的时域特性可以看出：20
46、22-12-1743.在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必须在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必须对对时域特性和频域特性作出恰当的折中时域特性和频域特性作出恰当的折中。1.理想滤波器理想滤波器是非因果系统是非因果系统。因而是。因而是物理不可实物理不可实现现的；的；2.尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最佳的。特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最佳的。h(t)或或h(n)都有起伏、旁瓣、主瓣，这表明理想滤都有起伏、旁瓣、主瓣，这表明理想滤波器的波器的时域特性与频域特性并不兼容时域特性与频域特性并不兼容。202
47、2-12-175非理想滤波器非理想滤波器 The Nonideal Filters 对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价越大，系统的复杂程度也越高。越大，系统的复杂程度也越高。由于由于理想滤波器是物理不可实现的理想滤波器是物理不可实现的，工程应用，工程应用中就必须寻找中就必须寻找一个物理可实现的频率特性去逼近一个物理可实现的频率特性去逼近理想特性，这种物理可实现的系统就称为理想特性，这种物理可实现的系统就称为非理想非理想滤波器。滤波器。非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。2022-12-17612非理想滤波器特
48、性非理想滤波器特性1.1.通带绝对平坦，通带通带绝对平坦，通带内衰减为零。内衰减为零。理想滤波器特性理想滤波器特性2.2.阻带绝对平坦，阻带阻带绝对平坦，阻带内衰减为内衰减为 。通带内允许有起伏，通带内允许有起伏，有一定衰减范围有一定衰减范围3.3.无过渡带。无过渡带。阻带内允许有起伏，阻带内允许有起伏，有一定衰减范围有一定衰减范围有一定的过渡带宽度有一定的过渡带宽度2022-12-177 通常将偏离单位增益的通常将偏离单位增益的 称为称为通带起伏通带起伏（或（或波纹），波纹），称为称为阻带起伏阻带起伏（或波纹），（或波纹），称为称为通通带边缘带边缘，为为阻带边缘阻带边缘，为为过渡带过渡带。1
49、2spsp非理想低通滤波器的容限非理想低通滤波器的容限2022-12-178它们都从幅频特性出发逼近理想低通的模特性。它们都从幅频特性出发逼近理想低通的模特性。工程实际中常用的逼近方式有：工程实际中常用的逼近方式有：1.Butterworth滤波器：滤波器：通带、阻带均呈单调衰减，也称通带最平伏逼近；通带、阻带均呈单调衰减，也称通带最平伏逼近；2.Chebyshev滤波器：滤波器：通带等起伏阻带单调，或通带单调阻带等起伏；通带等起伏阻带单调，或通带单调阻带等起伏；3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器）滤波器：（椭圆函数滤波器）通带、阻带均等起伏。通带、阻带均等起伏。2022-12-1792.
50、包络时延包络时延Chebyshev滤波器：滤波器：包络时延等起伏逼近；包络时延等起伏逼近；对同一种滤波器，阶数越高，对理想特性逼近得对同一种滤波器，阶数越高，对理想特性逼近得越好，过渡带越窄，但付出的代价是系统越复杂。越好，过渡带越窄，但付出的代价是系统越复杂。从相位特性出发，逼近理想的线性相位特性有从相位特性出发，逼近理想的线性相位特性有1.Bassel滤波器滤波器：群时延最平伏逼近；群时延最平伏逼近；3.Gauss滤波器。滤波器。2022-12-180 对对同样阶数的滤波器同样阶数的滤波器，从，从 Butterworth Chebyshev Cauer，其幅频特性逼近得越来越其幅频特性逼近
