1、.周期信号的频域分析周期信号的频域分析.LTI系统的频域分析系统的频域分析.傅立叶级数的性质傅立叶级数的性质Fourier Series Representation of Periodic Signals第第3章章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示.周期信号的频域分析周期信号的频域分析.LTI系统的频域分析系统的频域分析.傅立叶级数的性质傅立叶级数的性质Fourier Series Representation of Periodic Signals第第3章章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示时域分析方法的基础：时域分析方法的基础：信号在时域的分解；信号在时域
2、的分解；LTI系统：满足线性、时不变系统：满足线性、时不变性性 从分解信号的角度出发，从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足基本信号单元必须满足：本身简单，且本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。系统对它的响应能简便得到。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。傅立叶分析方法傅立叶分析方法：出发点：将信号表示成一组基本信号的线性组合；出发点：将信号表示成一组基本信号的线性组合；基本信号为复指数信号；基本信号为复指数信号；信号表示为连续时间和离散时间的傅立叶级数与傅立叶变换。信号表示为连续时间和离散时间的傅立叶级数与傅立叶变换。任何科学理论任何科
3、学理论,科学方法的建立都是经过许多人科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而得来的不懈的努力而得来的,其中有争论其中有争论,还有人为之献还有人为之献出了生命。出了生命。历史的经验告诉我们历史的经验告诉我们,要想在科学的要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。在许
4、多领域已发挥了巨大的作用。傅立叶傅立叶 1768-1830(Fourier,Jean Baptiste Joseph)法国数学家、物理学家法国数学家、物理学家最早使用定积分符号最早使用定积分符号改进符号法则、根数判别方法改进符号法则、根数判别方法傅立叶级数创始人傅立叶级数创始人 1807 热的传播热的传播1822 热的分析理论热的分析理论傅立叶级数、分析等理论傅立叶级数、分析等理论“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和号的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来非周期信号都可以用正弦信号的加权
5、积分来表示表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点傅立叶分析方法的历史傅立叶分析方法的历史l古巴比伦人古巴比伦人 “三角函数和三角函数和”描述周期性过程、预测天体运描述周期性过程、预测天体运动动l 1748年年 欧拉欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合振动弦的形状是振荡模的线性组合l1753年年 D伯努利伯努利 弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示l17591759年年 拉格朗日拉格朗日 不能用三角级数来表示具有间断点的函数不能用三角级数来表示具有间断点的函数 l 1822年年 傅立叶傅立叶“热的分析理论热的分析理论”中提出并证明周期函
6、数的正弦中提出并证明周期函数的正弦级数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础级数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础l 1829年年 P.L狄里赫利狄里赫利周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件l 19-20世纪世纪两种傅立叶分析方法两种傅立叶分析方法-连续与离散连续与离散l 1965年年 Cooley&Tukey(IBM)发明发明FFT 算法算法由时域分析方法有，由时域分析方法有，()()()()()s tstssty tehdehedH s e()()()()nknknkky nzh kzh k zH z z3.2 LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信
7、号的响应stenz()h n()h tste()y tnz()y nv 考查考查LTI系统对复指数信号系统对复指数信号 和和 的响应的响应易求易求LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应这说明这说明 和和 符合对单元信号的第一项要求符合对单元信号的第一项要求stenzv 如果系统对某一输入信号的响应只是该输入信号如果系统对某一输入信号的响应只是该输入信号乘以一个常数，则称该输入信号是这个系统的乘以一个常数，则称该输入信号是这个系统的特征特征函数函数，该常数称为与该信号有关，该常数称为与该信号有关(相对应相对应)的的特征值特征值系统对某一输入信号的响应：系统对某一输入信号的响应：一个常
8、数一个常数输入信号输入信号()()sty tH s e()()ny nH z z()()stH sh t edt()()nkH zh n zv 系统的特征值系统的特征值结论：结论：复指数函数是一切复指数函数是一切LTI系统的特征函数系统的特征函数()()()()()s tstssty tehdehedH s e()()()()nknknkky nzh kzh k zH z znkkkZanx)(nkkkkZZHany)()(tskkkkesHaty)()(tskkkeatx)(即：即：tststsesHaesHaesHatytx321)()()()()(332211利用齐次性与可加性，有利用齐
9、次性与可加性，有111()s ts teH s e222()s ts teH s e333()s ts teH s e由于由于对时域的任何一个信号对时域的任何一个信号 或者或者 ,若能将其若能将其表示为下列形式：表示为下列形式：()x t()x ntststseaeaeatx321321)(例：例：()(3)y tx tv 系统输入为系统输入为2()j tx te 系统系统()?H s()?y t v 系统输入为系统输入为()cos(4)cos(7)x ttt 系统系统()?y t*问题：问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？线性组合
10、来表示？tje0T)2,1,0(k10Tje02Tk对一个复指数信号对一个复指数信号 ，要成为具有周期为，要成为具有周期为 的周的周期信号的必要条件：期信号的必要条件：002T定义定义0k有有3.3 3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示,0,1,2k 002T02kTk0()jktkte基波频率基波频率0jkte0()jktkkx ta e02T0()cosx tt001122jtjtee该信号中，有两个谐波分量，该信号中，有两个谐波分量，为相应为相应分量的加权因子分量的加权因子112a00()cos2cos3x ttt00003312jtjtjtjteee
11、e在在该信号中，有四个谐波分量，即该信号中，有四个谐波分量，即,3,1 k时对应的谐波分量。时对应的谐波分量。连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合个复指数谐波分量的线性组合?如果周期信号如果周期信号 可以表示为傅里叶级数可以表示为傅里叶级数()x t则有则有00()()jntj k ntkkx t ea e对两边同时在一个周期内积分，有对两边同时在一个周期内积分，有0000()00()TTjntj kntkkx t edtaedt0()jktkkx ta e0000()Tjntnx t edta T00001()
12、Tjntnax t edtT即即 在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为01()jktkTax t edtT01()Tax t dtT是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a 信号集信号集 中的每一个信号，除了成谐波关系中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间外，每个信号随时间 的变化规律都是一样的，的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。差别仅仅是频率不同。在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）在傅里
13、叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率度，用线段的位置表示相应的频率t()kt121200001分量分量 可表示为可表示为0jte 因此，当把周期信号因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 时时，就可以将就可以将 表示为表示为()x t()x t0()jktkkx ta e这样绘出的图这样绘出的图称为称为频谱图频谱图0001cos()2jtjttee 频谱图其实就是将频谱图其实就是将 随频
14、率的分布表示出来，随频率的分布表示出来，即即 关系。由于关系。由于信号的频谱完全代表了信号信号的频谱完全代表了信号，研，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为信号的方法称为频域表示法频域表示法。ka四四.傅里叶级数的其它形式傅里叶级数的其它形式 0000*()jktjktjktjktkkkkkkkkx ta ea ea ea ekkaa或或*kkaa 若若 是实信号是实信号,则有则有)()(txtx，于是于是()x t 傅里叶级数的三角函数表示式傅里叶级数的三角函数表示式 傅里叶级数的另一种三角函数形式傅里叶级数的另一种三角函数
15、形式幅度谱、相位谱幅度谱、相位谱 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。傅里叶级数。一一.傅里叶级数是对信号的最佳近似傅里叶级数是对信号的最佳近似Convergence of the Fourier seriesConvergence of the Fourier series01()jktkTax t edtT对任何周期信号对任何周期信号 代入左式都可代入左式都可求得傅里叶系数求得傅里叶系数 。某些情况下，。某些情况下，左式的积分可能不收敛，即求得的左式的
16、积分可能不收敛，即求得的 无穷大。无穷大。0()jktkkx ta e 求得的全部求得的全部 都是有限值，代都是有限值，代入左式所得的无限项级数也可能不入左式所得的无限项级数也可能不收敛于收敛于 。二二.傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛傅里叶级数收敛的两层含义傅里叶级数收敛的两层含义：是否存在是否存在?级数是否收敛于级数是否收敛于?ka2.周期信号周期信号 在一个周期内具有有限的能量，在一个周期内具有有限的能量，可以用傅里叶级数表示（平方可积条件）可以用傅里叶级数表示（平方可积条件）即即02()Tx tdt 1.对于全部连续的周期信号都有一个傅里叶级数表示对于全部连续的周期信号都有一个傅里叶级
17、数表示三组条件：三组条件：3.周期信号周期信号 满足满足Dirichlet条件，条件，可以可以 用傅里叶级数表示。用傅里叶级数表示。Dirichlet条件：条件：在任何周期内信号绝对可积，即在任何周期内信号绝对可积，即 在任何单个周期内，只有有限个极值点，且极在任何单个周期内，只有有限个极值点，且极值为有限值。（最大值和最小值数目有限）值为有限值。（最大值和最小值数目有限）在任何单个周期内，只有有限个第一类间断点，在任何单个周期内，只有有限个第一类间断点，且在间断点上的函数值为有限值。且在间断点上的函数值为有限值。0()Tx tdt 0000011()()jktkTTax t edtx t d
18、tTT 因此，信号绝对可积就保证了因此，信号绝对可积就保证了 的存在。的存在。ka后两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数后两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的收敛的充分条件充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性有相当的普遍适用性。几个不满足几个不满足Dirichlet条件的信号条件的信号三三.Gibbs现象现象 满足满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于何收敛于 的。特别当的。特别当 具有间断点
19、时，在间具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于断点附近，如何收敛于?()x t()x t()x t1N 3N 7N 19N 100N 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少使它所占有的能量减少。Gibbs现象表明：现象表明：例例1 1：周期信号：周期信号)cos(cos
20、sin)(4323231ttttx)()()()()(432432333321211tjtjtjtjtjtjeeeeeejtxtjjtjjtjtjeeeeejej3243243321212112111)()()()(试确定试确定 的傅里叶级数系数。的傅里叶级数系数。解：解：由题由题 的基波周期为的基波周期为 jjajjaa2112112112111110，kajeajeakjj，其余，014221142214242)()(21212501111100arctgarctgaaa，；，44212222，aa例例2 2：对称周期方波信号：对称周期方波信号1001110 100 00 02sin11T
21、jktjkt TkTTkTaedteTjkTkT 10T0Tt()x t确定确定 的傅里叶级数系数。的傅里叶级数系数。110100211TTTTdtTa 根据根据 可绘出可绘出 的频谱图。的频谱图。称为占空比称为占空比ka()x t102TT0()Sa x1xsinSa()xxx其中其中10212TT10214TT10218TT不变不变 时时0T1T 10212TT10214TT10218TT1T不变不变 时时0T 周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征：1.1.离散性离散性 2.2.谐波性谐波性 3.3.收敛性收敛性 考查周期考查周期 和脉冲宽度和脉冲宽度 改变时频谱的变
22、化：改变时频谱的变化：1.1.当当 不变，改变不变，改变 时，随时，随 使占空比减小，使占空比减小，谱谱线间隔变小，幅度下降线间隔变小，幅度下降。但。但频谱包络的形状不变频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.2.2.2.当当 改变，改变，不变时，随不变时，随 使占空比减小，使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变频谱的包络改变，包，包络络主瓣变宽主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。主瓣内包含的谐波数量也增加。0T12T1T1T 0T0T 1T0T3.5 连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质学习这些
23、性质，有助于对概念的理解和对信号学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。进行级数展开。一一.线性：线性：若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且()x t()y tT则则二二.时移时移:若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且()x tT则则02T三三.反转反转:若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且()x tT则则四四.尺度变换尺度变换:若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且()x tT则则 以以 为周期，于是为周期，于是()x at/T a令令 ，当，当 在在 变化时，变化时，从从 变化，变化，att0/T a0T于是有：于是有：
24、01()jkkkTbxedaT 五五.相乘相乘:若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且()x t()y tT则则也即也即0()1()j k ltkllk lTllCay t edtabT六六.共轭对称性共轭对称性:若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且()x tT则则由此可推得，由此可推得，对实信号有对实信号有：或或kkaakkaa七七.Parseval 定理：定理：kkTadttxT22)(1表明：表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和分量的平均功率之和.*掌握表掌握表3.1对实信号对实信号()()x
25、 txtkkaa（实偶函数）实偶函数）当当 时，时，()()x txt kkaa（虚奇函数）虚奇函数）当当 时，时，例例1：如图周期为：如图周期为 的冲激串的冲激串kkTttx)()(-T1tT0)(tx0/2/211()TjktkTat edtTT01()jktkx teT02TT求其傅里叶级数表示。求其傅里叶级数表示。解：解：例例2：周期性矩形脉冲：周期性矩形脉冲)(tg101T1T-TTt求其傅里叶级数系数求其傅里叶级数系数解：将其微分后可利用例解：将其微分后可利用例1 1表示为表示为)()()(11TtxTtxtg)(tg1t01T1T设设由由时域微分性质有时域微分性质有0kkbjkc
26、由例由例1 1知知1/kaT根据时移特性，有根据时移特性，有0 10 10 12sinjkTjkTkkkbaeejakT0 10 11000 12sinsin2kkbkTkTTcjkkTTkT02/T0k 考察成谐波关系的复指数信号集考察成谐波关系的复指数信号集:该信号集中每一个信号都以该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中为周期，且该集合中只有只有 个信号是彼此独立的个信号是彼此独立的 N一一.离散时间傅里叶级数（离散时间傅里叶级数（DFS）Discrete-Time Fourier SeriesN3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示 将这将这 个独
27、立的信号线性组合起来，一定能表个独立的信号线性组合起来，一定能表 示一个以示一个以 为周期的序列。即：为周期的序列。即：其中其中 为为 个相连的整数个相连的整数 这个级数就称为这个级数就称为离散时间傅里叶级数（离散时间傅里叶级数（DFS），），其中其中 也称为周期信号也称为周期信号 的频谱。的频谱。ka二二.傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定给给 两边同乘以两边同乘以 ，得，得2jrnNeNNNk22()21()()0,2()011j k rNjk r njk r nNNNj k rnNnNeeee显然显然 仍是以仍是以 为周期的为周期的而而 krkrN 显然上式满足显然上式满足 即即
28、也是以也是以 为周期为周期的，或者说的，或者说 中只有中只有 个是独立的个是独立的。即即或或kNkaakaka对实信号同样有对实信号同样有：kkaakkaaReRekkaaImImkkaa NN例例1：考虑信号：考虑信号nnx52sin555221kkkN)(njnjeejnx525221基波周期基波周期0212111kakjaja，在一个周期内其余，的频谱图的频谱图三三.周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱112121()()221jkjkNjkNNNNjkjkjkNNNeeeNeee211112(1)22111jkNNjNkNNjknNkjknNNeeaeNNe121kNaNkrN 显
29、然显然 的包络具有的包络具有 的形状。的形状。kasinsinxx时时1sin(21)1sinkNNNkN0,2,kNNkkk1220NN1110NN1210NN周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱u 当当 不变不变、时，频谱的包络形状不变时，频谱的包络形状不变，只是幅度减小，谱线间隔变小。只是幅度减小，谱线间隔变小。u 当当 改变改变、不变时不变时，由于由于 的包络具有的包络具有 的形状，而的形状，而 ，可知其包络可知其包络形状一定形状一定发生变化。当发生变化。当 时时，包络的第一个包络的第一个零点会远离零点会远离原点从而使原点从而使频谱主瓣变宽频谱主瓣变宽。这一点。这一点也与连续时间周
30、期矩形也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。脉冲的情况类似。1N1NNN kasinsinxx121N1N 四四.DFS的收敛的收敛 DFS 是一个有限项的级数，确定是一个有限项的级数，确定 的关系的关系式也是有限项的和式，因而式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题不存在收敛问题，也不，也不会产生会产生Gibbs现象现象。ka 周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，当在周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，当在 区间区间 考查时，也具有收敛性。不同的是，考查时，也具有收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性。离散时间周期信号的频谱具有周期性。1.相乘相乘 2.差分差分周期卷积周期卷积Pro
31、perties of Discrete-Time Fourier Series 3.7 DFS的性质的性质DFS有许多性质，这里只选几个加以讨论。有许多性质，这里只选几个加以讨论。knNjkFSaennxnx)1(0203.Paseval定理定理左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。号的各次谐波的总功率。上式表明：上式表明：一个周期信号的平均功率等于它的所一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。有谐波分量的功率之和。也表明：也表明：周期信号的功周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。率既可以由时域求得，
32、也可以由频域求得。3.9 滤波滤波 Filtering本节移至第本节移至第6章讲授章讲授3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例用微分方程描述的连续时间滤波器举例3.11用差分方程描述的离散时间滤波器举例用差分方程描述的离散时间滤波器举例第二章中已介绍第二章中已介绍 本章主要讨论了：本章主要讨论了：v 复指数函数是一切复指数函数是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。v 建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，实现了对周期信号的频域分解。实现了对周期信号的频域分解。v 以周期性矩形脉冲信号为典型例子，研究了以周期性矩形脉冲信号为典型例子，研究了连续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱连续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱特点及信号参量改变对频谱的影响。特点及信号参量改变对频谱的影响。v 通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级数的讨论，既看到它们的基本思想与讨论方法数的讨论，既看到它们的基本思想与讨论方法完全类似，又研究了它们之间的重大区别。完全类似，又研究了它们之间的重大区别。v 在对信号分析的基础上，研究了在对信号分析的基础上，研究了LTI系统的频系统的频率响应及率响应及LTI系统对周期信号的响应。系统对周期信号的响应。作业见黑板作业见黑板
