1、8 8.1 .1 引言引言第八章第八章 变换、离散时间系统的变换、离散时间系统的 域分析域分析zzzz8 8.2 .2 变换变换定义、定义、典型序列的典型序列的 变换变换z8 8.3 .3 变换的收敛域变换的收敛域z8.48.4 逆逆 变换变换z8 8.5 .5 变换的基本性质变换的基本性质z8 8.6 .6 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系z8 8.7 .7 利用利用 变换解差分方程变换解差分方程8 8.8 .8 离散系统的系统函数离散系统的系统函数8 8.9 .9 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（DTFT）8 8.10.10 离散时间系统的频率响应特性离散时间系统的频率响应特性
2、8 8.1.1 引言引言 变换在离散时间系统中的地位和作用，类似于连续时间变换在离散时间系统中的地位和作用，类似于连续时间系统中的拉氏变换；系统中的拉氏变换；zz 变换变换将差分方程将差分方程转化为代数方程。转化为代数方程。zz8 8.2 .2 变换变换定义、定义、典型序列的典型序列的 变换变换z（一）（一）变换的变换的定义定义()()X zx n Z序列序列 的的双边双边 变换变换:()x nz()nnx n z21012(2)(1)(0)(1)(2)xzxzxzxzxz以以 为系数的为系数的 的幂级数的幂级数()x n1z 变换的变换的收敛域收敛域zReImzzjzz（二）（二）典型序列的
3、典型序列的 变换变换()()()X zx n u n Z序列序列 的的单边单边 变换变换:()x nz0()nnx n z12(0)(1)(2)xxzxz-2 -1 0 1 2 n()n1()1nZ（1 1）收敛域：收敛域：整个整个 平面平面z0()nnu nzZ（2 2）,1z.-2 -1 0 1 2 3 n1()u n111z1zz0 1 2 3 n()nu n123.()1dznu nzdzz Z（3 3）,1z 变换的变换的 域微分特性：域微分特性：zz若若则则()()x nX z()()dX znx nzdz 2(1)zz（4 4）()na u n112345n00()nnnna u
4、 na zZ10nnaz111zazza,za（5 5）00()jnjzeu nze0cos()()n u nZ00,()jnjzeu nze,1z 020(cos)2 cos1z zzz0012jjzzzeze020sin2 cos1zzz0cos()()n u nZ,1z 020(cos)2 cos1z zzz0sin()()n u nZ,1z 1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,cos()()2n u n124n0168sin()()2n u n113n015722cos()21zn u nz,1z 2sin()21zn u nz,1z z8 8.3 .3 变换的收敛域变换的
5、收敛域()nza u nzaZ,za(1)na un Z,za1(1)nnnna una z Z1nnnaz 11()nna z 111a za z zza()()x nX z,收敛域收敛域zza下面讨论各种类型序列下面讨论各种类型序列的的 变换的收敛域变换的收敛域。z,za（1 1）有限长序列有限长序列12()nnn序列仅在有限的区间序列仅在有限的区间 具有具有非零的有限值非零的有限值21()()nnnnX zx n z0z 收敛域：收敛域：)(zX()x nn1n2n0,021nn（a）时时()1,2,3,2,3x n例：例：223232)(zzzzzXz 收敛域：收敛域：)(zX20n（
6、b）时时0z 收敛域：收敛域：)(zX10n（c）时时1()()nnnX zx n z()x nn1n1()()()x nx n u nn（2 2）右边序列右边序列1xzR收敛域：收敛域：)(zX10n（a）时时1xRz 收敛域：收敛域：)(zX10n（b）时时ImjzRez1xR2()()()x nx n u nn（3 3）左边序列左边序列()x nn2n2()()nnnX zx n z2xzR收敛域：收敛域：)(zX20n（a）时时20 xzR收敛域：收敛域：)(zX20n（b）时时ImjzRez2xRImjzRez2xR()()nnX zx n z10()()nnnnx n zx n z
7、12xxRzRImjzRez2xR1xR（4 4）双边序列双边序列()x nn02xzR1xzR,12xxRR若若收敛域：收敛域：)(zX21,xxRR若若不收敛。不收敛。)(zX例：例：()()(1)nnx na u nb un()()X zx n Zzzzazb解：解：(0)ba求求 并确定收敛域，其中并确定收敛域，其中 。()X z,azbabImjzRez 由于由于 在收敛域内是解析的，因此收敛域内不应该包含在收敛域内是解析的，因此收敛域内不应该包含任何极点。任何极点。()X z()X zz()X z()X z0z 0 通常，通常，的收敛域以极点为边界。对于多个极点的情况，右的收敛域以
8、极点为边界。对于多个极点的情况，右边序列之收敛域是从边序列之收敛域是从 最外面有限极点延伸至最外面有限极点延伸至 （可能包（可能包含含 ）；左边序列之收敛域是从）；左边序列之收敛域是从 最里面非零极点延伸至最里面非零极点延伸至 （可能包含（可能包含 ）。）。()(1)nna u nb un ZZ1()()x nX z Z11()2nCX z zdzj CzjImzRez8.48.4 逆逆 变换变换()()X zx n Z()nnx n z 是位于是位于 收敛域之内的围绕坐标原点的逆时针的闭合收敛域之内的围绕坐标原点的逆时针的闭合积分路线。积分路线。()X zC围线积分法（留数法）：围线积分法（
9、留数法）：z逆逆 变变换换方法方法幂级数展开法：幂级数展开法：部分分式展开法：部分分式展开法：()X z仅适用于仅适用于 为有理分式的情况为有理分式的情况P433 例例8-2P434 例例8-3、8-4部分分式展开法部分分式展开法()nza u nzaZ,za(1)nza unza Z,za()mmmA zX zzz()mmmAX zzzzImjzRez010.50.51z(2)(1)1z 0.5z(3)()(20.5)(1)nx nun ()(20.5)()nx nu n()2(1)0.5()nx nunu n 例例1：讨论讨论 可能的收敛域，并求对应的序列。可能的收敛域，并求对应的序列。2
10、2()1.50.5zX zzz解：解：2()1.50.5X zzzzz2110.5zz2()10.5zzX zzz解：解：极点极点12,31,2ppj 32()6(1)(4)X zzzz zz326(),2(1)(4)zX zzzz例例2：，求，求 。()x n3 11121121214242jjzzzjzj31212()214242zjzjzX zzzjzjImjzRez12j2j2231212()()(1)()22()244nnjjnjjx nnu neeu n 31()(1)()2 cos()sin()()2222nnnnnu nu n zza()X zza,右序列右序列za,左序列左序
11、列()na u n(1)na un 22()zza(1)()nna u n(1)(1)nna un 2()zza1()nnau n1(1)nnaun 1zz()u n(1)un 2(1)zz()nu n(1)nun z常用常用 变换对：变换对：（一）线性（一）线性()()()()ax nby nax nby nZZZz8 8.5 .5 变换的基本性质变换的基本性质（二）位移性（二）位移性（1 1）双边）双边 变换的位移特性变换的位移特性z()()x nX zZ若若()()mx nmzX zZ则则()()mx nmz X zZ()1zu nz例：例：(1)u n11z,1z（2 2）单边）单边
12、变换的位移特性变换的位移特性z()()()x n u nX zZ若若()()?x nm u nZ则则()()?x nm u nZ()x n0n(1)x n0n(1)x n0n()()x n u nn0(1)()x nu nn0(1)()x nu nn0(1)(1)(1)()x nu nxn(1)(1)(0)(1)x nu nxn(1)()(1)(1)(1)()x nu nx nu nxn()()()x n u nX zZ若若1(1)()()(1)x nu nz X zxZ则则(1)()(1)(1)(0)(1)x nu nx nu nxn(1)()()(0)x nu nzX zzxZ(2)()(
13、2)(2)(2)()(1)(1)x nu nx nu nxnxn(2)()(2)(2)(0)(2)(1)(1)x nu nx nu nxnxn21(2)()()(2)(1)x nu nz X zxz xZ22(2)()()(0)(1)x nu nz X zz xzxZ()0.9(1)0.05()(1)1y ny nu ny例：例：，求，求 。()y n解：解：对差分方程两边同时取对差分方程两边同时取单边单边 变换变换，得，得z10.05()0.9()(1)1zY zz Y zyz20.050.9(1)()(1)(0.9)0.9zyzY zzzz0.450.50.91zzzz()0.45(0.9
14、)0.5()ny nu n（三）序列线性加权（三）序列线性加权（域微分）域微分）z()()x nX zZ若若()()dnx nzX zdz Z则则2(1)1()()()()22n nx nu nnu nn u n例：例：，求，求 。(1)()()2n nx nu n()X z2()1(1)dzznu nzdzzz223(1)()(1)(1)dzz zn u nzdzzz22331(1)()2(1)(1)(1)zz zzX zzzz,1z 解：解：12,xxRzR12,xxzRRa（四）序列指数加权（四）序列指数加权（域尺度变换）域尺度变换）z()()x nX zZ若若()()nza x nXa
15、Z则则12(1)()(),nxxx nXzRzRZ特别地特别地0cos()()n u nZ,1z 020(cos)2 cos1z zzz例：例：0cos()()nn u nZ020(cos)()2cos1zzzz 0220(cos)2cosz zzz,z(0)lim()zxX z（五）初值定理（五）初值定理 若若 为因果序列，则为因果序列，则()x n211()(0)(1)(2)X zxxxzz（六）终值定理（六）终值定理 1lim()lim(1)()nzx nzX z若若 为因果序列，则为因果序列，则()x n的极点全部在单位圆内，允许在的极点全部在单位圆内，允许在 处有一阶极点。处有一阶极
16、点。()X z1z 条件：条件：存在，即：存在，即：()x（七）时域卷积定理（七）时域卷积定理 ()()()()x nh nX z H zZ12,xxRzR()()x nX zZ若若12(1)()(),nxxx nXzRzRZ则则1211()(),xxxnXRRzzZ（八）序列反褶（八）序列反褶 ()1zu nzZ,1z 例：例：11()1zunzZ11z,1z 1()()2nunZ112zz11 2z2()2nzu nzZ,2z 1,2z 2()nunZ)()()(ttxtxTs()()nx nTtnT()()ssXsx t L()()stnx nTtnT edtz8 8.6 .6 变换与拉
17、氏变换的关系变换与拉氏变换的关系z（一）（一）平面和平面和 平面的映射关系平面的映射关系s)(txstT3T2T0()x tt0()x nTtT3T2T0()()stnx nTtnT edt()snTnx nT e()()()nnX zx nTx nT zZ()sx tL()x nTZsTze2sT 抽样角频率抽样角频率sjsTzejzreTre2sT 抽样间隔，抽样间隔，Tz 平面和平面和 平面的映射关系平面的映射关系：s1,0TreT)0,0(1.平面原点平面原点sj0ImjzRez01j0ImjzRez012.平面虚轴平面虚轴s,0(任意）任意）1,Tre任意任意T1Ter（单位圆内）（
18、单位圆内）)0(3.左半左半平面平面sj0ImjzRez011Tre（单位圆外）（单位圆外）(0)4.右半右半平面平面sImjzRez01j05.平行于虚轴的直线平行于虚轴的直线)(0ImjzRez01（圆）（圆）01Tre01Tre（圆）（圆）j0000,Tr任意任意(正实轴正实轴)6.实轴实轴(0,任意）任意）j0ImjzRez010T0T 7.平行于实轴的直线平行于实轴的直线)(0j0j0j0T0T0ImjzRez0121()()(1)2()(1)(2)Y zz Y zyz Y zyzy2211zzzzzz8 8.7.7 利用利用 变换解差分方程变换解差分方程例例1 1：()(1)2(2
19、)()2(2)y ny ny nx nx n1(1)2,(2),()()2yyx nu n，求，求 。()y n解：解：对差分方程两边同时取对差分方程两边同时取单边单边 变换变换，得，得z22(232)()(1)(2)zzzY zzzz41322121zzzzzz13()4 2(1)()22nny nu n 121()()(1)2()(1)(2)0ziziziY zz Y zyz Y zyzy例例2 2：()(1)2(2)()2(2)y ny ny nx nx n1(1)2,(2),()()2yyx nu n，求，求 。()ziyn解：解：112(1)2(1)2(2)()12ziyyzyYzz
20、z221zzzz1()2(1)()nnziynu n 1121412zzz2(4)2z zzz令令 ，对差分方程两边同时取，对差分方程两边同时取单边单边 变换变换，得，得z()0 x n 122()()2()()2()zszszsYzz Yzz YzX zz X z例例3 3：()(1)2(2)()2(2)y ny ny nx nx n1(1)2,(2),()()2yyx nu n，求，求 。()zsyn解：解：22221zzzzz21322121zzzzzz13()2 2(1)()22nnzsynu n 122(12)()(1 2)()zszzYzzX z2121 2()()12zszYzX
21、 zzz系统函数系统函数()H z令令 ，对差分方程两边同时取，对差分方程两边同时取单边单边 变换变换，得，得z(1)(2)0yy离散时间系统离散时间系统的的系统函数系统函数8 8.8.8 离散系统的系统函数离散系统的系统函数()()()zsynh nx n()H z（一）（一）系统函数系统函数 的的定义和求法定义和求法()()()zsynh nx nZZZ()()()()zsynH zh nx nZZZ)()(zHnh12111(1)()(12)()66zszzYzzX z()()()zsYzH zX z例例1 1：11()(1)(2)()2(1)66y ny ny nx nx n求求 、。
22、()H z()h n解：解：312213zzzz11()3()2()()23nnh nu n 1121211166zzz2221166zzzz()(2)(1)(3)y ny nx nx n1z1z1z()y n()x n例例2 2：已知已知 ，求，求 。()zsyn()()x nu n解：解：132()1zzH zz221(1)zz z221()()()(1)1zszzYzH z X zz zz221(1)(1)zzz211121(1)21zzzzzz 11()()(1)()22nzsynnnu n 21111121(1)21zzz11(1)(1)22nnu n 21293142123)(zz
23、zzzzzYzs)21)(31)(21(223zzzzz解：解：1()()()2nx nu n 某某LTILTI离散系统，已知激励离散系统，已知激励 产生的零状态产生的零状态31191()()4()()()22322nnnzsynu n 例例3 3：()h n响应响应 ，求，求 。()12zX zz321()22()111()()()()232zszYzzzH zX zzzzz2211()()23zzzz312213zzzz11()3()2()()23nnh nu n（二）（二）系统函数的系统函数的零极点分布对系统特性的影响零极点分布对系统特性的影响（1 1）由系统函数的零极点分布确定单位样值
24、响应由系统函数的零极点分布确定单位样值响应 连续时间系统连续时间系统 的极点位置与的极点位置与 的关系：的关系：()H s()h tj01()()h nH z Z10NkkkA zzpZ0()()NnkkkApu n1,2jpre112()njnnjnh nC r eC r ecos()nArn1r 时，时，衰减；衰减；1()h n1r 时，时，等幅；等幅；1()h n1r 时，时，增长。增长。1()h n0时，时，单调变化；单调变化；1()h n4时，时，8 8个序号个序号为一个振荡周期；为一个振荡周期；2时，时，4 4个序号个序号为一个振荡周期；为一个振荡周期；时，时，2 2个序号个序号为
25、一个振荡周期。为一个振荡周期。单位圆上的二阶极单位圆上的二阶极点，点，增长。增长。1()h n（2 2）离散时间系统的稳定性和因果性离散时间系统的稳定性和因果性离散离散LTI系统系统BIBO稳定稳定()Mnh n的收敛域包含单位圆。的收敛域包含单位圆。()H z对对因果因果LTI系统：系统：()()()h nh n u n离散离散因果因果LTI系统系统稳定稳定的极点的极点全部在单位圆内全部在单位圆内。()H z系统稳定；系统稳定；()H z 由由 的极点分布判断的极点分布判断因果因果LTI 系统系统的稳定性：的稳定性：（1 1）极点全部在单位圆内极点全部在单位圆内()h n衰减，衰减，系统临界
26、稳定；系统临界稳定；（2 2）单位圆上有一阶极点，其他极点全部在单位圆内单位圆上有一阶极点，其他极点全部在单位圆内系统不稳定。系统不稳定。（3 3）有极点在单位圆外，或单位圆上有二阶或二阶以上极点有极点在单位圆外，或单位圆上有二阶或二阶以上极点等幅，等幅，()h n增长，增长，()h n因果、稳定因果、稳定因果、非稳定因果、非稳定例：例：判断判断系统的因果性和稳定性。系统的因果性和稳定性。(),0.50.5zH zzz（1 1）(),22zH zzz（2 2）(),22zH zzz（3 3）(),0.52(0.5)(2)zH zzzz（4 4）非因果、稳定非因果、稳定非因果、稳定非因果、稳定P
27、86 P86 例例8-19:8-19:()()nnX zx n z111()IDTFT()()2jnzx nX eX z zdzj()()()jjjnz enX zX ex n e序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换8 8.9.9 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（DTFT）（一）定义、收敛条件（一）定义、收敛条件()DTFT()()jjnnX ex nx n e也称为离散时间傅里叶变换（也称为离散时间傅里叶变换（DTFT）1()IDTFT()()2jjjnx nX eX eed(1)11()()2jj njzX eed ej 11()2jjnzX eed()nx n 充分条件：充分条件：()(
28、)()jjjX eX ee()x n()jX e序列序列 的幅度频谱的幅度频谱()()x n序列序列 的相位频谱的相位频谱例例1 1：求求 的的DTFT，并画出幅度频谱。，并画出幅度频谱。()()(5)x nu nu n解：解：40()DTFT()jjnnX ex ne511jjee25sin()2sin()2je5sin()2()sin()2jX e()jX e022525以以 为周期为周期的周期函数的周期函数2解：解：()jH ec21c2例例2 2：离散时间理想低通滤波器的频率特性离散时间理想低通滤波器的频率特性 如图示，截止频如图示，截止频 率率 ，求它的傅里叶逆变换，求它的傅里叶逆变
29、换 （即单位样值响应）。（即单位样值响应）。()h n()jH e4c1()IDTFT()()2jjjnh nH eH eed12ccjned1()44nSa()h n14044n1()44t ntSa()()()snx tx nTtnT（二）序列的（二）序列的DTFT和抽样信号的傅里叶变换的关系和抽样信号的傅里叶变换的关系)(txstT3T2T0()x tt0()x nTtT3T2T0()sx tL()x nTZsTze()()t nTx nTx t=DTFT()x nT()sx tF()j Tz ex nT Z()x nT()sx t序列序列 的的DTFT也就是抽样信号也就是抽样信号 的的
30、FT。()ssjx t LDTFT()x n1()()44tx tSa14044t()Xc1c4c()sx t1()4044t1T()x n14044nc21c2()sx tF（1 1）线性）线性（2 2）时移）时移（三）（三）DTFT的基本性质的基本性质DTFT()()jx nX e00DTFT()()j njx nnX ee（3 3）频移）频移00()DTFT()jnjx n eX e（4 4）频域微分（序列线性加权）频域微分（序列线性加权）DTFT()()jdnx njX ed（5 5）序列反褶）序列反褶DTFT()()jxnX e00()()01DTFT()cos()2jjx nnX
31、eX e 调制定理调制定理DTFT()Re()jex nX eDTFT()Im()jox njX e()jX e 若若 为为实偶实偶序列，则序列，则 为为 的的实偶实偶函数。函数。()x n（6 6）奇偶虚实性）奇偶虚实性 若若 为实序列，则为实序列，则()x n的实部是的实部是 的偶函数，虚部是的偶函数，虚部是 的奇函数；的奇函数；()jX e是是 的偶函数，的偶函数，是是 的奇函数。的奇函数。()()jX e（7 7）时域卷积定理）时域卷积定理（8 8）频域卷积定理）频域卷积定理DTFT()()()()jjx nh nX eH e1DTFT()()()()2jjx nh nX eH e（9
32、 9）帕塞瓦尔定理）帕塞瓦尔定理DTFT()()jx nX e若若221()()2jnx nX ed则则离散系统频响特性的意义？离散系统频响特性的意义？8 8.10.10 离散时间系统的频率响应特性离散时间系统的频率响应特性 稳定稳定系统在系统在正弦序列正弦序列激励下，激励下，稳态响应稳态响应随激励信号频率的随激励信号频率的变化情况。变化情况。幅度随频率的变化情况幅度随频率的变化情况 幅频响应特性幅频响应特性相位随频率的变化情况相位随频率的变化情况 相频响应特性相频响应特性()H z0()sin()x nn0()?sin(?)y nn0()()jn mmh m e00()jmjnmh m ee
33、设设01()jnx ne11()()()y nh nx n则则00()jjnH ee设设02()jnx ne则则002()()jjny nH ee000()()jjjnH eee 000()()jjjnH eee 则则 产生的响应产生的响应120()()sin()2x nx nnj12()()()2y ny ny nj000()sin()jH en 0000()()()()jjjjz eH eeH eH z（一）频响特性和系统函数（一）频响特性和系统函数 的关系的关系()H z解：解：例：例：因果因果LTI离散时间系统离散时间系统()12zH zz求求 通过系统产生的响应通过系统产生的响应 。
34、()sin()3x nn()y n3()jz eH z3312jjee623je2()sin()363y nn1 20ImjzRez1AB3330()12jjjeH eejjAeBe()jAeB 1,33,22AB623je()()()jjjH eH ee()jH e：幅频响应特性：幅频响应特性离散时间系统的频率响应特性离散时间系统的频率响应特性：相频响应特性：相频响应特性()（二）频响特性的几何确定（二）频响特性的几何确定例例1 1：求图示一阶离散系求图示一阶离散系 统的频率响应。统的频率响应。1z()x n()y n1a1111()1zH za zza解：解：10()jjjeH eeajj
35、AeBe()jAeB1a0ImjzRez1AB（1）101 a系统具有系统具有低通低通滤波特性滤波特性1a0ImjzRez1AB()()jjAH eeB1(),jH eB()0()jH e2111a111a20()（2）110a 系统具有系统具有高通高通滤波特性滤波特性()()jjAH eeB1(),jH eB()ImjzRez1AB1a00()jH e2111a111a20()()0.9(1)0.81(2)(1)y ny ny nx n112()1 0.90.81zH zzz解解:例例2 2：求图示二阶离散系统求图示二阶离散系统 的频率响应。的频率响应。20.90.81zzz1B2B0()j
36、H e2353112()()()jjjjezH eepep121()jH eB B10z 31,20.9jpe带通带通滤波网络滤波网络ImjzRez10（三）离散时间系统的各种理想滤波特性（三）离散时间系统的各种理想滤波特性（a）低通）低通（b）带通）带通（c）高通）高通2()2s0()jH e()s()2s2()2s0()jH e()s()2s2()2s0()jH e()s()2s（d）带阻）带阻（e）全通）全通2()2s0()jH e()s()2s2()2s0()jH e()s()2s例例3 3：证明以下系统具有全通滤波特性。证明以下系统具有全通滤波特性。221121121)(zbzbzz
37、bbzH证明：证明：1,2,jpre1,21jzer2212121()b zb zH zzb zb21211,242bjbbp21211,2242bjbbzb1,22pb1,221zbrr11p1zRezImjz02p2z1zbzbzbbzzbzbzzbbzH112211221121121)(1221()()jjjjjjz eebb eH eH zb ebe122122(coscos)(sinsin)(coscos)(sinsin)bbj bbbj b()1jH e具有全通特性的因果离散系统零、极点分布特征：具有全通特性的因果离散系统零、极点分布特征：（1 1）极点全部在单位圆内，零点全部在单
38、位圆外；）极点全部在单位圆内，零点全部在单位圆外；（2 2）零点与极点的模互为倒数，辐角相等。）零点与极点的模互为倒数，辐角相等。2z1z0j001p2pj00jrr11p1zRezImjz02p2z1sTze001,2TjTpee 1,200pj jresTze001,2TjTzee 1,200zj1jer例例4 4：某因果离散时间系统的系统函数为某因果离散时间系统的系统函数为22(2)()()()(0.5)zzazbH zzc zz求使得系统为稳定的三阶全通系统的求使得系统为稳定的三阶全通系统的 a a、b b、c c 之值。之值。1pc 2,31122pj 极点：极点：零点：零点：解：解：342,32jze1j 12,z(1)(1)zjzj 2(1)1z222zz1,23412je则：则：12c 2,ab22(2)(22)1()(0.5)2zzzzzz()jH e0()jH e1()zH z4
