1、第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 通信与信息工程学院通信与信息工程学院数字信号处理教学团队数字信号处理教学团队Jean Baptiste Joseph Fourier生于1768年3月21日法国奥克斯雷（Allxerre）。Jean Baptiste Joseph Fourier 与傅立叶变换与傅立叶变换傅立叶级数的提出和完善 1807年 1829年傅立叶级数到傅立叶积分的推广 周期信号表示傅立叶级数 非周期信号表示傅立叶积分应用广泛：数学、物理学内容提要2.1 2.1 傅立叶变换的复习傅立叶变换的复习2.2 2.2 时域离散信号的傅立叶变换与性质时域离散信
2、号的傅立叶变换与性质2.3 2.3 序列的序列的Z Z变换变换2.4 2.4 时域离散系统的频域分析时域离散系统的频域分析2.1 傅立叶变换的复习傅立叶变换的复习rad0Hz,10),2cos()(00ccftftx010203040020406080100absfftx(n)f(Hz)0501001502002500204060phasefftx(n)f(Hz)00.10.20.3-1.5-1-0.500.511.5x(n)t(s)rad3/Hz,15;rad0Hz,10),2cos(5.2)2cos()(22112211fftftfty00.10.20.30.4-4-3-2-101234y
3、(n)t(s)0102030405060050100150200250absffty(n)f(Hz)0501001502002500102030405060phaseffty(n)f(Hz)-50050050010001500absfty(t)f(Hz)-50050-40-200204060phasefty(t)f(Hz)rad3/Hz,15;rad0Hz,10),()2cos(5.2)2cos()()()(22112211fftntftftntxtyHz10),2cos(111ftfHz15),2cos(222ftfx与y比较：80)()(nnynxx与z比较：56)()(nnznx傅立叶基
4、傅立叶基 信号信号x(t)(或或x(n)在某个傅立叶基上的分量在某个傅立叶基上的分量 (或或 ）该量表征了信号与该傅立叶基的相似程度该量表征了信号与该傅立叶基的相似程度信号的傅立叶变换为信号的傅立叶变换为从数学角度来看：积分与求和从数学角度来看：积分与求和 tjedtetxtj)(nnjenx)(dtetxjXtj)()(nnjjenxeX)()(或dttx)()(nx或2.1 傅立叶变换的复习傅立叶变换的复习2.2 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：序列的傅立叶变换：反变换：反变换：示例：示例：nnjjenxeX)()(4),()(1NnRnxN024681 01 21 41
5、 61 82 000.51x(n)-3-2-10123024absfftx(n)-3-2-10123-505phasefftx(n)deeXnxjj)(21)(序列的傅立叶变换性质：序列的傅立叶变换性质：1.序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换 是数字频率是数字频率 的连续函数的连续函数2.是频率是频率 的周期函数，周期的周期函数，周期为为 ；或者说，；或者说，是其主是其主值函数的周期延拓；（周期性）值函数的周期延拓；（周期性）3.线性线性4.时移时移 频移频移)(jeX)(jeX2)(jeXnnMjMjjenxeXeX)2()2()()()(0000()()()()j njjnjFT x nne
6、X eFT ex nX e)()()()(2121jjebXeaXnbxnaxFT1.共轭对称序列共轭对称序列)()(*nxnxee)()(*nxnxee或l某些特殊序列：某些特殊序列：)()()()()()(*njxnxnxnjxnxnxeiereeiere)()()()(nxnxnxnxeieierer实部是偶函数，而虚部是奇函数实部是偶函数，而虚部是奇函数2.共轭反对称序列共轭反对称序列)()(*nxnxoo)()(*nxnxoo或)()()()()()(*njxnxnxnjxnxnxoiorooioro)()()()(nxnxnxnxoioioror实部是奇函数，而虚部是偶函数实部是奇
7、函数，而虚部是偶函数p 对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即)()()(nxnxnxoe)()()(*nxnxnxoe)()(nxnxoe)()(21)()()(21)(*nxnxnxnxnxnxoe2.2 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换)()(21)()()(21)(*nxnxnxnxnxnxoe)()()(nxnxnxoennjenxnxFT)()(*)(nnjenx*)(mmjemx)(*jeX)()(21?*1jjeXeX)()(21?*2jjeXeX)(jReX)(jIejX)(jeX21?)()()(nxnxnx
8、oe)()()(jIjRjejXeXeX2.2 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换)()()(jojejeXeXeX)(nx43?*)()(mmjjemxeX*)()(mmjjemxeXmmjemx)(*)(*nxFT)()(21)(*jjjeeXeXeX)()(21)(*jjjoeXeXeX3?)()(21*nxnx)(nxr)(njxi4?)()(21*nxnx)()()(njxnxnxir)()()(jojejeXeXeX2.2 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换性质：5.共轭对称性)()()(njxnxnxir)()()(jojejeXeXeX)()()(nxnxnxoe)
9、()()(jIjRjejXeXeXl实因果序列实因果序列:0)(;0)(,0nhnhni)()()(*jjejeHeHeH奇函数偶函数；)()()()(IIjjjRjReHeHeHeH)()(21)()()(21)(*nxnxnxnxnxnxoe0,2/)(0,2/)(0,0)(0,2/)(0,2/)(0),0()(nnhnnhnnhnnhnnhnhnhoe0,00),0(0),(20,00),0(0),(2)(nnhnnhnnhnnhnhoee例例2.2.32.2 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换 序列的傅立叶变换性质：序列的傅立叶变换性质：6.频域卷积定理频域卷积定理)()()(nhnxn
10、ydeHeXeHeXeYjjjjj)()(21)(21)()(8.帕斯维尔（帕斯维尔（Parseval）定理）定理deXnxj22)(21)(7.时域卷积定理时域卷积定理)(*)()(nhnxnyjjjeHeXeY)()(2.2.1 周期序列的傅立叶变换成谐波关系的复指数信号的线性组合,)42()32()22(2)02(nNjnNjnNjnNjnNjeeeee)(0nx)(1nx)(2nx一组复正弦序列：一组复正弦序列：,2,1,0,)()2(kenxnkNjkkNkN)222/(nrNkNjkrNenx)(2()(nrNNjnkNjee)2()2(nkNje)2()(nxk周期均为周期均为N
11、nNNjnNjnNjnNjnNjeeeee)1(2)22()22(2)02(,)(0nx)(1nx)(2nx)(nxk)(1nxN基波基波N201.各次谐波周期均为各次谐波周期均为N；2.各次谐波的角频率均为各次谐波的角频率均为基波频率的整数倍。基波频率的整数倍。K次谐波次谐波比较该组复正弦序列中的任意两个谐波比较该组复正弦序列中的任意两个谐波 与与 ：)(nxk)(nxm谐波序列组：谐波序列组：10)(210)()(NnnmkNjNnmkenxnx,3,2,1,0mk1010)(2sin)(2cosNnNnnmkNjnmkNk-m非零时，上式的三角函数的周期均为非零时，上式的三角函数的周期均
12、为N即，求和始终在周期函数的一个周期内进行即，求和始终在周期函数的一个周期内进行k-m非零时非零时,求和为零求和为零k-m=0,求和的每一项均为求和的每一项均为1，故和式为，故和式为NmkmkN,0,0)()(nnynx序列序列x(n)与与y(n)正交正交nmNjnkNjenyenx22)()(0)()(10)(210NnnmkNjNnenynxx(n)与与y(n)具有相同的周期具有相同的周期N0)()(nnynx该组序列中任意两个谐波序列均为正交关系该组序列中任意两个谐波序列均为正交关系加权系数，序列加权系数，序列 的频谱系数的频谱系数)(nx)(nx102)(NkknNjkeanx)()(
13、)()()(1122110010nxanxanxanxanxaNNNkkk利用谐波序列的线性叠加来表示一个周期为利用谐波序列的线性叠加来表示一个周期为N的周期序列：的周期序列：2101()NjkmNknax n eNka为周期序列为周期序列为求系数为求系数 ，将上式两边乘以将上式两边乘以 ，并对并对n在一个周期在一个周期N中求和：中求和：kamnNje2 1010)(2)(NkNnknmkNjaemkmkNeNnnmkNj,0,10)(2mnNjNnNkknNjkmnNjNneeaenx210102210)(nmkNjNnNkkea)(21010 2.2.1 周期序列的傅立叶变换成谐波关系的复
14、指数信号的线性组合令令 ，则周期序列的傅里叶级数展开及其系数可表示成：，则周期序列的傅里叶级数展开及其系数可表示成：2.2.1 周期序列的傅立叶变换kNakX)(knNjNkNkknNjenxkXekXNnx210102)()()(1)(1,1,0,2NkeknNjN次谐波次谐波周期序列可分解为周期序列可分解为N次谐波，次谐波，或者说，或者说，N次谐波可叠加成周期序列次谐波可叠加成周期序列)(jXa)(jeX00204060l序列序列 的的FT：nje00()jtax te00()2(2)jnjrX eFT er nje02.2.1 周期序列的傅立叶变换102)(1)(NkknNjekXNnx
15、10)22()(2)(NkrjrkNNkXeXkkNkXN)2()(2l一般周期序列一般周期序列:knNjNkenxkX210)()(102)(1NkknNjekXN2.2.1 周期序列的傅立叶变换nNNjNnNjnNjNkknNjeaeaeaaekXNnx)1)(2(12)2(2210102)(1)()(jeXkkNkXN)2()(2l一般周期序列一般周期序列:周期序列的傅立叶变换是一组离散谱线，谱线间隔为周期序列的傅立叶变换是一组离散谱线，谱线间隔为N/2102)(1)(NkknNjekXNnx10)22()(2)(NkrjrkNNkXeXknNjNkenxkX210)()(102)(1N
16、kknNjekXN2.2.1 周期序列的傅立叶变换-60-40-200204060-1012)(nx-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5050100150200f(Hz)absfftx例例2.2.22.2.2 时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号傅立叶变换之间的关系模拟信号模拟信号xa(t)：()()()aanx tx nTtnTl 采样信号：采样信号：l采样定理：对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样定理：对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延
17、拓形成的。行周期性的延拓形成的。ksaajkjXTjX)(1)(如果时域离散序列如果时域离散序列x(n)是由对模拟信号是由对模拟信号xa(t)采样产生的，采样产生的，即在数值上有下面关系式成立：即在数值上有下面关系式成立：x(n)=xa(nT)1()()2jnTaaxnTXjedlX(e j)和和 Xa(j)之间有什么关系？数字频率之间有什么关系？数字频率与模拟频率与模拟频率(f)之间之间有什么关系？有什么关系？t=nT(21)/(21)/1()()2rTjnTaarTrxnTXjed 2rT 2.2.2 时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号傅立叶变换之间的关系e-j2r n=1=T序列的傅里叶
18、变换序列的傅里叶变换X(ej)是模是模拟信号的傅里叶变换拟信号的傅里叶变换Xa(j)的的周期延拓，延拓周期为周期延拓，延拓周期为s=2/T2.2.2 时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号傅立叶变换之间的关系 0.5 100.51 0.5 100.51 0.5 100.51 fsfsff 000l模拟与数字频率轴上取值的对应关系：模拟与数字频率轴上取值的对应关系：sfT/模拟频率模拟频率f2数字频率数字频率sssfff/2.2.2 时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号傅立叶变换之间的关系Xa(j)00 s sXa(j)0（a）（b）（c）X(ej)例例 2.4.1设设xa(t)=cos(2f0t)，
19、f0=50 Hz以采样频率以采样频率 fs=200Hz 对对xa(t)进行采样，得到采样信号进行采样，得到采样信号 和时域离散信号和时域离散信号x(n)，求，求xa(t)和和 的傅里叶变换以及的傅里叶变换以及x(n)的的FT。()axt()axt2.2.2 时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号傅立叶变换之间的关系Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，要求级数绝对可和，即即2.3序列的序列的Z Z变换变换()()nnX zx n zl Z变换的定义变换的定义序列序列x(n)的的Z变换定义为：变换定义为：式中式中z是一个复变量，即为任意复数。是一个复
20、变量，即为任意复数。信号信号 与与 复指数信复指数信号的比较号的比较)(nxnzjerz1rjez 傅立叶变换是傅立叶变换是Z变换的特例变换的特例Z变换是傅立叶变换的推广变换是傅立叶变换的推广傅立叶变换是单位圆上的傅立叶变换是单位圆上的Z变换变换 ()()jjz eX eX z收敛问题收敛问题Z变换的收敛域：变换的收敛域：常用的常用的Z变换是一个有理函数，变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：用两个多项式之比表示：()()()P zX zQ z序列序列x(n)的的Z变换存在时，仅当变换存在时，仅当Z变换收敛域变换收敛域包含单位圆时，其傅立叶变换才同时存在包含单位圆时，其傅立叶变换才同时存在
21、2.3序列的序列的Z Z变换变换0)(21nxnnn21()()nnn nX zx n z序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响1.有限长序列：有限长序列：-2024681 000.511.522.533.544.55nx(n)0,021nn)(zX仅包含仅包含z的正幂次项的正幂次项 z00,021nn)(zX仅包含仅包含z的负幂次项的负幂次项 z00,021nn)(zX包含包含z的正负幂次项的正负幂次项 z02.3序列的序列的Z Z变换变换21()()nnn nX zx n z2n2.右序列：右序列：u(n)01231n01n01)()()(1nnnnnznxznxzX包含包含z的正负
22、幂次项的正负幂次项 z01)()(nnnznxzX仅包含仅包含z的负幂次项的负幂次项 z001n因果序列因果序列2.3序列的序列的Z Z变换变换3.左序列：左序列：21()()nnn nX zx n z1n02n2)()(nnnznxzX仅包含仅包含z的正幂次项的正幂次项 z0201)()()(nnnnnznxznxzX包含包含z的正负幂次项的正负幂次项 z002n2.3序列的序列的Z Z变换变换21()()nnn nX zx n z1n2n4.双边序列：双边序列：01)()()()(nnnnnnznxznxznxzX包含包含z的正负幂次项的正负幂次项 z02.3序列的序列的Z Z变换变换)(
23、)(00zXznnxZTnZ变换的性质和定理变换的性质和定理1.线性线性)()()(nbynaxnm)()()(zbYzaXzM M(z)的收敛域是的收敛域是X(z)与与Y(z)收敛域的公共部分收敛域的公共部分2.序列的移位序列的移位3.乘以指数序列乘以指数序列)()(1zaXnxaZTn4.序列乘以序列乘以ndzzdXznnxZT)()(5.复序列取共轭复序列取共轭)()(*zXnxZT2.3序列的序列的Z Z变换变换7.序列卷积序列卷积)(*)(nynx)()(zYzX8.复卷积定理复卷积定理)()(nynxcvdvvzYvXj)()(21对于因果序列对于因果序列 ，有，有 和和)(nx)
24、(lim)0(zXxz)()1(lim)(lim1zXznxzn6.初值定理与终值定理初值定理与终值定理9.帕斯维尔（帕斯维尔（Parseval）定理）定理cndvvvYvXjnynx1*)1()(21)()(2.3序列的序列的Z Z变换变换2.4时域离散系统的频域分析)(zH)()()(zXzYzHLTI系统稳定性：传输函数系统稳定性：传输函数H(z)的的收敛域包括单位圆收敛域包括单位圆LTI系统因果性：传输函数系统因果性：传输函数H(z)的的收敛域在某个圆外且包括无限远点收敛域在某个圆外且包括无限远点因果且稳定因果且稳定)()()(zXzYzH)()()1()1(111111rNrrMrMNrNrrMrdzczzAzdzcA对于稳定系统，对于稳定系统，H(z)的收敛域包括单位圆的收敛域包括单位圆jezjzHeH)()()()(11)(rjNrrjMrMNjdeceeANM 2.4时域离散系统的频域分析3B1B2B
