1、12.2 12.2 三角形全等的判定三角形全等的判定ABCDEF 1、什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫能够重合的两个三角形叫 全等三角形。全等三角形。2、已知已知ABC DEF，找出其中相等的边与角，找出其中相等的边与角AB=DE CA=FD BC=EF A=D B=E C=FABCDEFAB=DE CA=FD BC=EF A=D B=E C=F1.满足这六个条件可以保证满足这六个条件可以保证ABC DEF吗？吗？2.如果只满足这些条件中的一部分如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证那么能保证ABC DEF吗吗?思考：思考：1.1.只给一条边时；只给一条边时；331
2、.只给一个条件只给一个条件452.只给一个角时；只给一个角时；45结论结论:只有一条边或一个角对应相等只有一条边或一个角对应相等的的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等.两边；两边；两角。两角。一边一角；一边一角；2.如果满足如果满足两个两个条件，你能说出条件，你能说出有哪几种可能的情况？有哪几种可能的情况？如果三角形的两边分别为如果三角形的两边分别为4cm4cm，6cm 6cm 时时6cm6cm4cm4cm结论结论:两条边对应相等的两条边对应相等的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等.三角形的一条边为三角形的一条边为4cm,4cm,一个内角为一个内角为3030时时:4cm4cm303
3、0结论结论:一条边一个角对应相等的一条边一个角对应相等的两个两个三角形不一定全等三角形不一定全等.45304530如果三角形的两个内角分别是如果三角形的两个内角分别是3030，4545时时结论结论:两个角对应相等的两个角对应相等的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等.两个条件两个条件两角；两角；两边；两边；一边一角一边一角。结论：只给出一个或两个条件时，都不结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。能保证所画的三角形一定全等。一个条件一个条件一角；一角；一边；一边；三角三角；三边；三边；两边一角；两边一角；两角一边。两角一边。3.如果满足如果满足三个三个条件，你能说出有
4、条件，你能说出有哪几种可能的情况？哪几种可能的情况？探索三角形全等的条件探索三角形全等的条件已知两个三角形的三个内角分别为已知两个三角形的三个内角分别为3030，6060 ，9090 它们一定全等吗？它们一定全等吗？这说明有三个角对应相等的两个三角形这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等不一定全等三个角三个角已知两个三角形的三条边都分别为已知两个三角形的三条边都分别为3cm3cm、4cm4cm、6cm 6cm。它们一定全等吗？。它们一定全等吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm三条边三条边在在ABC 与与 ABC中，中，ABC ABC（SSS）AB=AB AC=AC
5、BC=BC 用符号语言表达用符号语言表达:1.1.边边边公理边边边公理(SSS)(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等简写为三边对应相等的两个三角形全等简写为“边边边边边边”或或“SSS”.”.ABCA BC 证明：证明：D 是是BC 中点，中点，BD=DC 在在ABD 与与ACD 中，中，ABD ACD（SSS）例例1.1.如图，有一个三角形钢架，如图，有一个三角形钢架，AB=AC，AD 是是连接点连接点A 与与BC 中点中点D 的支架的支架求证：求证：ABD ACD CBDAAB=AC，BD=CD，AD=AD，准备条件：证全等时要用的条件要先证好；准备条件：证全等时要用的条件要先证好；三
6、角形全等书写三步骤：三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论写出全等结论证明的书写步骤：证明的书写步骤：三步走：三步走：准备条件准备条件摆齐条件摆齐条件得结论得结论注重书写格式注重书写格式练习练习:已知：如图，已知：如图，AB=AD，BC=DC，求证求证：ABC ADCABCDACAC ()AB=AD ()BC=DC ()ABC ADC（SSS）证明：在证明：在ABC和和ADC中中=已知已知已知已知 公共边公共边如图，如图，ABC 和和EFD 中，中，AB=EF，AC=ED，点点B，D，C，F 在一条直线上在
7、一条直线上.（1）添加一个条件，由）添加一个条件，由“SSS”判定判定ABC EFD；（2）在（）在（1）的基础上，）的基础上，求证：求证：ABEFABCDEFBCBCCBCBDCBBF=CDABCD1 1、填空题：、填空题：解：解：ABCDCB理由如下：理由如下：AB=CDAC=BD=ABC z （）（SSS SSS （1 1）如图，）如图，AB=CDAB=CD，AC=BDAC=BD，ABCABC和和DCBDCB是否全等？是否全等？试说明理由。试说明理由。（2 2）如图，）如图，D D、F F是线段是线段BCBC上的两点，上的两点，AB=CEAB=CE，AF=DEAF=DE，要使，要使ABF
8、ABFECD ECD，还需要条件还需要条件 AE B D F CB D F C=或或 BD=FC已知已知:如图如图,四边形四边形ABCDABCD中，中，AD=CB,AB=CDAD=CB,AB=CD求证：求证：A A C C。A C D B分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。构造公共边是常添的辅助线构造公共边是常添的辅助线1234除了除了SSS外外,还有其他情况吗？继续探索三角形全还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件等的条件.(2)三条边三条边(1)
9、三个角三个角(3)两边一角两边一角(4)两角一边两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况情况:SSS不能不能!?继续探讨三角形全等的条件：继续探讨三角形全等的条件：两边一角两边一角思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC图一图一图二图二在图一中，在图一中，A A是是ABAB和和ACAC的的夹角，夹角，符合图一的条件，符合图一的条件，它它可称为可称为“两边夹角两边夹角”。符合图二的条件，符合图二的条件
10、，通常通常说成说成“两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角”几何语言：几何语言：在在ABC 和和 AB C中，中，ABC AB C（SAS）AB=ABA=AAC=AC 2.2.边角边边角边公理公理(SAS)(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.简简写成写成“边角边边角边”或或“SAS”ABCA BC 1.1.在下列图中找出全等三角形在下列图中找出全等三角形?308 cm9 cm?308 cm8 cm8 cm5 cm30?8 cm5 cm308 cm?5 cm8 cm5 cm?308 cm9 cm?308 cm8 cmA4545 探索边边
11、角探索边边角BBC10cm10cm 8cm8cm 8cm8cm 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?已知：已知：AC=10cm,BC=8cm,AC=10cm,BC=8cm,A=45.ABCABC的形状与大小是唯的形状与大小是唯一确定的吗一确定的吗?10cm10cm ABC4545 8cm8cm 探索边边角探索边边角BA8cm8cm 4545 10cm10cm CSSASSA不存在不存在显然：显然：ABCABC与与ABABC C不全等不全等 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或
12、或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD知识梳理知识梳理:在在ABC与与DEF中中ABC DEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或知识梳理知识梳理:FEDCBAAC=DFC=FBC=EF知识梳理知识梳理:DCBAABDABC两边及一角对应相等的两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？两个三角形全等吗？两边及夹角对应相等的两边及夹角对应相等的两个三角形全等（两个三角形全等（SAS)SAS)；两边及其中一边的的对角对应相两边及
13、其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等等的两个三角形不一定全等 现在你知道哪些三角形全等的现在你知道哪些三角形全等的判定方法？判定方法？SSS,SAS例例.如图，如图，AC=BDAC=BD，CAB=DBACAB=DBA，你，你能判断能判断BC=ADBC=AD吗？说明理由。吗？说明理由。ABCD证明证明:在在ABCABC与与BADBAD中中 AC=BD CAB=DBA AB=BAABC BAD（SAS）(已知已知)(已知已知)(公共边公共边)BC=AD(全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）例例如图，有一池塘，要测池塘两端如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，的距离，可先在
14、平地上取一个不经过池塘可以直接到达点可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和和B的点的点C，连接，连接AC并延长至并延长至D，使，使CD=CA，连接，连接BC 并延并延长至长至E，使，使CE=CB，连接，连接ED，那么量出，那么量出DE的长就是的长就是A，B的距离为什么？的距离为什么？ABCDE12AC=DC（已知），（已知），1=2（对顶角相等），（对顶角相等），BC=EC（已知）（已知），证明：证明：在在ABC 和和DEC 中，中，ABCDE12ABC DEC（SAS）AB=DE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）除了除了SSS外外,还有其他情况吗？继续探索三角形全
15、还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件等的条件.(2)三条边三条边(1)三个角三个角(3)两边一角两边一角(4)两角一边两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况情况:SSS不能不能!SAS?几何语言：几何语言：在在ABC 和和 AB C中，中，ABC AB C（ASA）A=AAB=ABB=B3.3.角边角公理角边角公理(ASA)(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简简写写成成“角边角角边角”或或“ASA”ABCA BC 证明：证明：在在ABE 和和ACD 中，中，ABE ACD
16、（ASA）AE=ADB=C，AB=AC，A=A，例例1如图，点如图，点D 在在AB上，点上，点E 在在AC上，上，BA=AC，B=C求证：求证：AD=AE ABCDE几何语言：几何语言：在在ABC 和和 AB C中，中，ABC AB C（AAS）A=AB=BAC=AC4.4.角角边公理角角边公理(AAS)(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等全等.简简写成写成“角角边角角边”或或“AAS”ABCA BC 除了除了SSS外外,还有其他情况吗？继续探索三角形全还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件等的条件.(2)三条边三条边(1)三个
17、角三个角(3)两边一角两边一角(4)两角一边两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况情况:SSS不能不能!SASASA、AAS证明：证明：DAB=EAC，DAC=EAB.AEBE，ADDC，D=E=90.在在ADC 和和AEB 中中,ABCDE例例2如图，如图，AEBE，ADDC，CD=BE，DAB =EAC求证：求证：AB=AC DAC=EAB，D=E，CD=BE，ADC AEB（AAS）AC=AB例例2如图，如图，AEBE，ADDC，CD=BE，DAB =EAC求证：求证：AB=AC 证明：证明：ABCDE练习如图，练习如图，E，F
18、 在线段在线段AC上，上，ADCB，AE=CF若若B=D，求证：，求证：DF=BEABCDEF证明：证明：ADCB，A=C.AE=CF，AF=CE.在在ADF 和和CBE 中中,练习如图，练习如图，E，F 在线段在线段AC上，上，ADCB，AE=CF若若B=D，求证：，求证：DF=BEA=C，D=B，AF=CE，ADF CBE（AAS）DF=BE证明：证明：ABCDEFA BCA BC几何语言：几何语言：在在RtABC 和和 RtABC中，中，AB=AB，BC=BC，RtABC RtABC（HL）4.“4.“斜边、直角边斜边、直角边”公理公理(HL)(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角
19、三角形全等。斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简写为简写为“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”练习练习1如图，如图，C 是路段是路段AB 的中点，两人从的中点，两人从C 同时同时 出发，以相同的速度分别沿出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达两条直线行走，并同时到达D，E 两地两地DAAB，EBAB D，E 与路段与路段AB的距离的距离相等吗？为什么？相等吗？为什么？ABCDE如图，如图，AB=CD，AEBC，DFBC，垂足分别为垂足分别为E，F，CE=BF求证：求证：AE=DFABCDEF如图如图,D,D是是ABCABC的的BCBC边上的中点边上的中点,DEAC,D
20、FAB,DEAC,DFAB,垂足分别为垂足分别为E,F,E,F,且且DE=DF.DE=DF.求证求证:ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.DBCAFE经验总结经验总结三角形全等判定方法的灵活运用：三角形全等判定方法的灵活运用：证明三角形全等时，一般需要证明三角形全等时，一般需要3 3个条件：个条件：如果已知如果已知两组边相等两组边相等，就试着去找，就试着去找第三边第三边或或两边的夹角两边的夹角，利用，利用“SSS”“SSS”，“SAS”“SAS”来证明。来证明。如果已知如果已知两组角相等两组角相等，就试着去找，就试着去找一组边一组边，利用，利用“AAS”“AAS”，“ASA”“ASA”来证明
21、。来证明。除了除了SSS外外,还有其他情况吗？继续探索三角形全还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件等的条件.(2)三条边三条边(1)三个角三个角(3)两边一角两边一角(4)两角一边两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况情况:SSS不能不能!SAS （HL）ASA、AAS课堂练习课堂练习1 1、已知：如图，、已知：如图，ABAD，ACAE，112.2.求证：求证：ABCADE.122、已知：如图，、已知：如图，AE是是ABC的中的中线，线，D是是 BC延长线上一点，且延长线上一点，且CDAB，BCABAC.求证：求证：AD2AE.A
22、BCDE【点评】这里【点评】这里1和和2不是所证三角形中的角，不是所证三角形中的角，BAC和和DAE才是三角形的内角才是三角形的内角.所以须证所以须证BACDAE，才能满足、三个条件，才能满足、三个条件.【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形是【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形是一种常用的思考方法一种常用的思考方法.若已知条件中有中线，若已知条件中有中线，常延长中线成两倍关系，构成全等三角形常延长中线成两倍关系，构成全等三角形.F证明题：证明题：3已知已知:如图，如图，ADBC，ADCB.求证求证:ABCD.【提示】连结【提示】连结AC，由由 ABC CDA，故故 ABCD.4已知已知:如
23、图，如图，12，BDCA.求证求证:AD.【提示】【提示】先证先证ABC ADC求证求证:(1)AECF；(2)AECF；(3)AFECEF.5已知已知:如图，如图，B、F、E、D在一条直线上，在一条直线上，ABCD，BFED，BD.【提示】【提示】先证先证ABE DCF6已知：如图，已知：如图，ABC为直线，为直线，EBAC，BDBC，ABBE.求证：求证：AFEC.【提示】求证【提示】求证ABD EBC，得得AE，因为因为ADBEDF，AADB90，所以所以EEDF90，AFEC.已知：如图，点已知：如图，点A A、B B、C C、D D在同一条直线上，在同一条直线上，AC=DBAC=DB
24、，AE=DFAE=DF，EAADEAAD，FDADFDAD，垂足分别是，垂足分别是A A，D D。求证：求证：EABEABFDCFDCA AE EB BC CD DF F已知：如图，已知：如图，AB=ACAB=AC，AD=AEAD=AE，1=21=2，求证：求证：ABDABDACEACE证明：证明：1=21=2，1+EAB=2+EAB1+EAB=2+EAB 即即 DAB=EACDAB=EAC 在在ABDABD和和ACEACE中，中，AB=ACAB=AC DAB=EACDAB=EAC AD=AEAD=AE ABD ABD ACEACE（SASSAS）A AC CB BE ED D1 12 2人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
