1、高中数学选修 2-3 串讲 知识点汇总 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第 1 类方案中有 m 种不同的方法， 在第 2 类方案中有 n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件 事共有 Nmn 种不同的方法 3两个计数原理的比较 名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 运用加法运算 运用乘法运算 不同点 分类完成一件事， 并且每类办法中的每 种方法都能独立完成这件事情， 要注意 “类”
2、 与“类”之间的独立性和并列性 分类计数原理可利用“并联”电路来理解 分步完成一件事， 并且只有各个步骤都 完成才算完成这件事情， 要注意 “步” 与 “步” 之间的连续性 分步计数原理可利用“串联”电路来理解 4排列与排列数 排列 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 排列数 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A m n 5组合与组合数 组合 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组， 叫做从 n 个不同元素中取出
3、 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 C m n 6排列数、组合数的公式及性质 排列数 组合数 公式 A n(n1)(n2)(nm1) m n n！ nm！ C m n Am n Am m nn1nm1 m！ n！ m！nm！ 性质 A n！；0！1 n n C 1；C C_；C CC 0 nm nnmnm nm1nmn1 备注 n，mN*且 mn 7排列与组合的区别 排列 组合 排列与顺序有关 组合与顺序无关 两个排列相同，当且仅当这两个排列的 元素及其排列顺序完全相同 两个组
4、合相同，当且仅当这两个组合的 元素完全相同 8二项式定理 二项展开式 公式(ab)nC anC an1bC ankbkC bn(nN*)叫做二项式定 0 n1 nk nn n 理 二项式的通项 Tk1C ankbk为展开式的第 k1 项 k n 9二项式系数与项的系数 二项式系数 二项展开式中各项的系数 C (r0，1，n)叫做第 r1 项的二项式系数 r n 项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的 概念如(abx)n的展开式中，第 r1 项的系数是 C anrbr r n 10，二项式系数的性质 (1)对称性：当 0kn 时，C . k n Cnk n
5、 (2)二项式系数的最值：二项式系数先增后减， 当 n 为偶数时，第 1 项的二项式系数最大，最大值为 C n； n 2 n 2 当 n 为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值为. n1 2 n3 2 (3)二项式系数和：C C C C 2n，C C C C C C 2n1. 0 n1 n2 nn n0 n2 n4 n1 n3 n5 n （二）第二章随机变量及其分布列 1离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn， X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，则表 X x1 x2 xi xn P p1 p2
6、 pi pn 称为离散型随机变量 X 的_概率分布列_，简称为 X 的分布列 (2)离散型随机变量的分布列的性质 pi0(i1,2，n)；pi_p1p2pn_1. n i1 2两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1p p 其中 pP(X1)称为成功概率 3超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk)， Ck MC nkNM Cn N k0,1,2，m，其中 mminM，n，且 nN、MN，n、M、NN，称随机变量 X 服从超几何分 布. X 0 1 m P C0 MC n0NM Cn N C1 MC n1NM
7、 Cn N Cm MCnm NM Cn N 4条件概率 定义 设 A，B 为两个事件，且 P(A)0， 称 P(B|A)为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率 PAB PA 性质 0P(B|A)1； 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 5.事件的相互独立性 定义 设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立 性质 若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)，P(AB)P(A)P(B)； 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与，与 B，与也都相互独立 B A A B 6独立重
8、复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验Ai(i1,2，n)表示第 i 次试验结果， 则 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An) 7二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率是 p，此时称 随机变量 X 服从二项分布，记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发 生 k 次的概率为 P(Xk)C pk(1p)nk(k0,1,2，n) k n 8正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数 ，(x)e，x(，)(其中实数 和 (0)为参数)的图象为正态分布密度
9、1 2 x2 22 曲线，简称正态曲线 (2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方与 x 轴不相交；曲线是单峰的，曲线是单峰的，它关于直线它关于直线 x 对称；对称； 曲线在 x 处达到峰值； 曲线与 x 轴之间的面积为 1； 1 2 当 一定时， 曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移； 当 一定时，曲线的形状由 确定：Error!Error! 9正态分布 定义及表示 如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 X 满足 P(aXb)， b a dxx)( , 则称随机变量 X 服从正态分布，记作 XN(，2) 三个常用数据 P(X)0.682_6； P(2X2)0.954_4
10、； P(3X3)0.997_4 （三）统计案例 1回归方程： x ，其中 ， _ _，它主要用来估计和预测取值，从而获得对y b a b n i1xiyinxy n i1x2 inx2 a yb x 这两个变量之间整体关系的了解 2相关系数：r n i1xiyinxy n i1x2 inx2 n i1y2 iny2 它主要用于相关量的显著性检验，以衡量它们之间的线性相关程度当 r0 时表示两个变量正相关， 当 r0 时表示两个变量负相关|r|越接近 1，表明两个变量的线性相关性_越强_；当|r|接近 0 时，表明 两个变量间几乎不存在相关关系，相关性_越弱_. 3，独立性检验 （1） 22 列
11、联表 设 X，Y 为两个分类变量，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(22 列联表)如下 ： y1 y2 总计 x1 a b ab x2 c d cd 总计 ac bd abcd （2）.独立性检验 利用随机变量 K2(也可表示为 X2)(其中 nabcd 为样本容量)来判断 nadbc2 abcdacbd “两个变量有关系”的方法称为独立性检验 1.有 4 件不同颜色的衬衣，3 件不同花样的裙子，另有 2 套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服 装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式( ) A.24 B.14 C.10 D.9 2.用 10 元、5 元和 1 元来支
12、付 20 元钱的书款，不同的支付方法的种数为( ) A.3 B.5 C.9 D.12 3.(2016全国卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓 参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 4.用 0，1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279 5六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A192 种 B216 种 C240 种 D288 种 6为发展国外孔子学院，教育部选派 6 名
13、中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少 去一人，则不同的选派方案种数为( ) A180 B240 C540 D630 7，大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市关 系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个孩子共 8 人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车 出去游玩，每车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 个孩子不考虑位置)，其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则 乘坐甲车的 4 个孩子恰有 2 个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( ) A18 种 B24 种 C36 种 D48 种 8，把 5 件不同的产品摆成一排，若产品
14、A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻， 则不同的摆法有_种 9，(2017全国)，(1x)6的展开式中 x2的系数为( ) ) 1 1 ( 2 x A15 B20 C30 D35 10，(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_. 11，若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239， 则实数 m 的值为_ 12，已知 X 的分布列为 X 1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 设 Y2X3，则 E(Y)的值为( ) A. B4 C1 D1 7 3 13一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个
15、新的、3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒 中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X4)的值为_ 14， 【相互独立事件】设某人有 5 发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为 .若他连续 2 3 两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完 (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数 X 的分布列 15【分布列、均值（数学期望） 、方差】 某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且
16、这两种 情况发生的概率分别为 和 ； 7 9 2 9 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，也可能不赔不 赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和. 3 5 1 3 1 15 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 16， 【超几何分布】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如 下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这 两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5， A6和
17、4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与均值 E(X) 17已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5 个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任 取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A. B. C. D. 3 10 1 3 3 8 2 9 18，设随机变量 服从正态分布 N(，2)，函数 f(x)x24x 没有零点的概率是 ，则 等于( ) 1
18、 2 A1 B2 C4 D不能确定 19， 【二项分布】某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后第 2 位)： (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率； (3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率 20， 【正态分布】 “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019 年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下： (1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ； x
19、 (2)由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布 N(，2)，利用该正态分布，求 Z 落 在(14.55,38.45内的概率； 将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标 值位于(10,30)内的包数为 X，求 X 的分布列和均值 附：计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标值的标准差为 11.95； 142.75 若 N(，2)，则 P()0.682 6，P(2R 2 1e c x c 2 1 y b a 2 22 1 ； 2 2 x，y 之间不能建立线性回归方程 23， 【独立性检验】 微信是现代生活进行信息
20、交流的重要工具，某公司 200 名员工中 90%的人使用微信，其中每天使用微 信时间在一小时以内的有 60 人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄 小于 40 岁)和中年(年龄不小于 40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中 75%是青年人若规定：每天使用微 信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中有 是青年人 2 3 (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出 22 列联表： 青年人 中年人 总计 经常使用微信 不经常使用微信 总计 (2)根据 22 列表中的数据利用独立性检验的方法判断是否有 99.9%的把握认为“经常使用
21、微信与年龄有 关”？ 附：K2. nadbc2 abcdacbd P(K2k0) 0.010 0.001 k0 6.635 10.828 参考答案 17 BCBBB CB 8，36 9，C 10，3 11，3 或 1 12，A 13， 220 27 14，解 记“第 k 发子弹命中目标”为事件 Ak，则 A1，A2，A3，A4，A5相互独立， 且 P(Ak) ，P( k) ，k1,2,3,4,5. 2 3 A 1 3 (1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为 P(A1 2)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2) . AAAA 2 3 1 3 1 3 2 3 4 9 方法二 由独立
22、重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为PC . 1 2 2 3 1 3 4 9 (2)X 的所有可能值为 2,3,4,5. P(X2)P(A1A2)P( 1 2) ， A A 2 3 2 3 1 3 1 3 5 9 P(X3)P(A1 2 3)P(1A2A3) （ ）2 （ ）2 ， A AA 2 3 1 3 1 3 2 3 2 9 P(X4)P(A1 2A3A4)P(1A23 4)（ ）3 （ ）3 ， AAA A 2 3 1 3 1 3 2 3 10 81 P(X5)P(A1 2A34)P(1A23A4)（ ）2（ ）2（ ）2（ ）2 . AAAA 2 3 1 3 1
23、3 2 3 8 81 故 X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 5 9 2 9 10 81 8 81 15，解 若按“项目一”投资，设获利为 X1万元，则 X1的分布列为 X1 300 150 P 7 9 2 9 若按“项目二”投资，设获利为 X2万元，则 X2的分布列为 X2 500 300 0 P 3 5 1 3 1 15 E(X1)300 (150) 200. E(X2)500 (300) 0200. 7 9 2 9 3 5 1 3 1 15 D(X1)(300200)2 (150200)2 35 000， 7 9 2 9 D(X2)(500200)2 (300200)2 (0200)
24、2140 000. 3 5 1 3 1 15 E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 16，解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M，则 P(M). C4 8 C 5 10 5 18 (2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4，则 P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4) C5 6 C 5 10 1 42 C4 6C1 4 C 5 10 5 21 C3 6C2 4 C 5 10 10 21 C2 6C3 4 C 5 10 5 21 C1 6
25、C4 4 C 5 10 1 42 . 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 所以 X 的均值 E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4) 012342. 5 21 10 21 5 21 1 42 17，B 18，C 19，解 令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数，则 XB. (5，0.8) (1)“5 次预报中恰有 2 次准确”的概率为 P(X2)C 0.82 3100.640.0080.05. 2 5 (10.8) (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率为 P(X2)1P(X0)P(X1) 1C 0.80 5C 0.8410.000 320.006 40.99. 0 5 (10.8) 1 5 (10.8) (3)“5 次预报中恰有2 次准确，且其中第3 次预报准确”的概率为C 0.8 30.80.02. 1 4 (10.8) 20，解 (1)所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的平均数 50.1150.2250.3350.25450.1526.5. x (2)Z 服从正态分布 N(，2)，且 26.5，11.95， P(14.55Z38.45)P(26.511.9510.828，所以有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”
