1、第第7节节 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 一一、全概率公式、全概率公式 二、二、贝叶斯公式贝叶斯公式A1A2A3An一、全概率公式一、全概率公式 引例：引例：设甲盒有设甲盒有3个白球，个白球，2个红球，乙盒有个红球，乙盒有4个白球，个白球，1个红球，个红球，现从甲盒任取现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出球，求从乙盒取出2个红球的概率个红球的概率 影响从乙盒中取影响从乙盒中取2个红球概率的关键因素是什么？个红球概率的关键因素是什么？解解 设设A1从甲盒取出个红球从甲盒取出个红球;A2 从甲盒取出个白球从甲盒取出个白球;A3从甲盒取出从
2、甲盒取出1个白球个白球1个红球个红球；B=从乙盒取出个红球从乙盒取出个红球;则则 A1,A2,A3 两两互斥，且两两互斥，且A1A2A3 ,所以所以 B=B(A1A2A3)B A1B A2BA3B,P(B)=P(A1BA2BA3B)=P(A1B)P(A2B)P(A3B)=P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)22112233322222222257575703.70CCC CCCCCCCCC思考：这种解法是否可一般化？思考：这种解法是否可一般化？定义定义1 设事件设事件1，2，n为样为样本空间本空间 的一组事件。的一组事件。如果如果(1)Ai Aj=（ij）;
3、则称则称1，2，n为样本空间为样本空间 的一个划分。的一个划分。1.完备事件组（样本空间的一个划分）完备事件组（样本空间的一个划分）niiA1(2)A1A2A3An 例如上例中的例如上例中的 1从甲盒取出个白球，从甲盒取出个白球，2从甲盒取出个红球，从甲盒取出个红球，3从甲盒取出从甲盒取出1个白球个白球1个红球，个红球，就构成了一个完备事件组。就构成了一个完备事件组。2.全概率公式全概率公式 定理定理 设试验的样本空间为设试验的样本空间为，设事件设事件A1，A2，An为为样本空间样本空间的一个划分，且的一个划分，且P(i)0(i=1,2,n)则对任意事则对任意事件件B，有，有1()()(|).
4、niiiP BP A P B AA1A2A3AnB121()(),niniBBA BABA BA B 111()()()()(|).nnniiiiiiiP BPABP ABP A P B A 证明证明 因为因为Ai Aj=（ij）按概率的可加性及乘法公式有按概率的可加性及乘法公式有,().ijABA Bij 1,niiA 3.全概率公式的应用全概率公式的应用 如果试验如果试验E有两个相关的试验有两个相关的试验E1，E2复合而成，复合而成，E1有若干种可能的结果，有若干种可能的结果，E2在在E1的基础上也有若干种的基础上也有若干种可能的结果，如果求与可能的结果，如果求与E2的结果有关事件的概率，
5、可的结果有关事件的概率，可以用全概率公式试验以用全概率公式试验E的几种可能的结果就构成了的几种可能的结果就构成了完备事件组完备事件组 例例1 播种用的一等小麦种子中混有播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，的二等种子，1.5%的三的三等种子等种子,1%的四等种子的四等种子,用一等、二等、三等、四等种子长出的用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含穗含50颗以上麦粒的概率分别为颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所求这批种子所结的穗含有结的穗含有50颗以上麦粒的概率。颗以上麦粒的概率。解解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子设从这批种子中任选一颗
6、是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为的事件分别为B1,B2,B3,B4，则它们构成样本空间的一个划分，则它们构成样本空间的一个划分，用用A表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒的事件，则由全概率公式粒以上麦粒的事件，则由全概率公式 41()()(|)iiiP AP B P A B 95.5%0.52%0.15 1.5%0.1 1%0.050.4825.练习练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为，迟到的概
7、率分别为0.25，0.3，0.1，0；求；求他迟到的概率他迟到的概率 解解 设设A1他乘火车来，他乘火车来，A2他乘船来，他乘船来，A3他乘汽车来，他乘汽车来，A4他乘飞机来，他乘飞机来，B他迟到。他迟到。易见：易见：A1,A2,A3,A4构成一个完备事件组，由全概率公式得构成一个完备事件组，由全概率公式得41)|()()(iiiABPAPBP=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40=0.145。练习练习2 两台机床加工同样的零件，加工出来的零件混放，并设两台机床加工同样的零件，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，第一台的
8、废品率为倍，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为，第二台的废品率为0.07，现任取一零件，问是合格品的概，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？率为多少？解解 令令B=取到的零件为合格品，取到的零件为合格品，Ai=零件为第零件为第i台机床的产品台机床的产品,i=1,2.此时此时,全部的零件构成样本空间全部的零件构成样本空间，A1,A2构成构成的一个划的一个划分。由全概率公式得分。由全概率公式得:)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP210.960.930.95.33二、二、贝叶斯公式贝叶斯公式 1.引例引例 设甲盒有设甲盒有3个白球，个白球，2个红球，乙盒有个红球，乙盒
9、有4个白球，个白球，1个红个红球，现从甲盒任取球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求 (1)从乙盒取出从乙盒取出2个红球的概率个红球的概率;(2)已知从乙盒取出已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。解解 (1)设设A1=从甲盒取出从甲盒取出2个红球，个红球，A2=从甲盒取出从甲盒取出2个白球；个白球；A3从甲盒取出从甲盒取出1个白球个白球1个红球个红球；B=从乙盒取出从乙盒取出2个红球；个红球；则则A1,A2,A3 两两互斥，且两两互斥，且A1+A2+A3=,所以所以 P(B)=P(A1)P(B|A1
10、)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)22112233322222222257575703.70CCC CCCCCCCCC(2)P(A1|B)31111)|()()|()()()(iiiABPAPABPAPBPBAP1/701.3/703 2.贝叶斯公式贝叶斯公式 定理定理 设设A1，A2，An为样本空间为样本空间的一个划分，且的一个划分，且P(Ai)0（i=1,2,n），则对于任何一事件），则对于任何一事件B(P(B)0),有有于是于是 （j=1，2，n）。）。niiijjjABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(事实上，由条件概率的定义及全概率公式事实上，由条
11、件概率的定义及全概率公式()()(|)(|),()()jjjjP ABP A P B AP ABP BP B1()()(|).niiiP BP A P B A3.3.贝叶斯公式的应用贝叶斯公式的应用 (1)如果试验如果试验E有两个相关的试验有两个相关的试验E1，E2复合而成，复合而成，E1有若干种可能的结果，有若干种可能的结果，E2在在E1的基础上也有若干种的基础上也有若干种可能的结果，如果已知和可能的结果，如果已知和E2的结果有关某事件发生了，的结果有关某事件发生了，求和试验求和试验E1的结果有关事件的概率，可以用贝叶斯公的结果有关事件的概率，可以用贝叶斯公式试验式试验E1的几种可能的结果就
12、构成了完备事件组。的几种可能的结果就构成了完备事件组。(2)如果把样本空间的一个划分如果把样本空间的一个划分A1,A2,An看作看作是导致事件是导致事件B发生的各种原因，如果发生的各种原因，如果B发生了，求发生了，求P(Aj|B)可以用贝叶斯公式。可以用贝叶斯公式。例例2 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格；若第一次不及格则第二次及格的概率为则第二次及格的概率为p/2若已知他第二次已经及格，求他第一若已知他第二次已经及格，求他第一次及
13、格的概率次及格的概率 121121(),(|),()1,(|).2pP Ap P AApP Ap P AA 于是，由全概率公式得于是，由全概率公式得 21211211()()(|)()(|)(1),2P AP A P AAP A P AApp由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 121122()(|)2(|).()1P A P AApP AAP Ap 解解 记记Ai=该学生第该学生第i次考试及格次考试及格，i=1,2显然显然 为样本空为样本空间的一个划分，且已知间的一个划分，且已知 11,A A 例例3 某种疾病某种疾病的发病率为的发病率为0.4%某医院对这种疾病有一种看某医院对这种疾病有一种看起来很
14、有效的检验方法，起来很有效的检验方法，97%的患者检验结果为阳性，的患者检验结果为阳性，5%的未的未患病者检验结果为阳性，现有某人的检验结果为阳性，问他确实患病者检验结果为阳性，现有某人的检验结果为阳性，问他确实患病的概率是多少？患病的概率是多少？()0.004,()0.996,(|)0.97,(|)0.95,P AP AP B AP B A(|)1(|)0.05,P B AP B A 得到得到由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得()(|)(|)()(|)()(|)0.004 0.97 0.072.0.004 0.970.996 0.05P A P B AP A BP A P B AP A P B A 解解 A表示发病，则表示发病，则 为未发病为未发病B为检验结果是阳性，则为检验结果是阳性，则 为检验结果是阴性，为检验结果是阴性，BA先验概率和后验概率先验概率和后验概率完备事件组中的每个事件发生的概完备事件组中的每个事件发生的概率为先验概率；率为先验概率；如果把样本空间的一个划分如果把样本空间的一个划分A1,A2,An看作是导致事件看作是导致事件B发生发生的各种原因，的各种原因，P(Aj|B)则为后验概率。则为后验概率。
