1、 5.1 测测向问题问题 第五章 阵列信号的高分辨处理 如何测定传播波的到达方向如何测定传播波的到达方向传统测向方法：传统测向方法：1.比相法（测定波程差比相法（测定波程差,干涉仪，比相单脉冲）干涉仪，比相单脉冲）只适合单个源。只适合单个源。2.波束扫描（比幅单脉冲，用和波束）波束扫描（比幅单脉冲，用和波束）基本原理：基本原理：对于一般的远场信号而言，同一信号对于一般的远场信号而言，同一信号到达不同的阵元存在一个波程差，这个波程差导到达不同的阵元存在一个波程差，这个波程差导致了各接收阵元间的相位差，利用各阵元间的相致了各接收阵元间的相位差，利用各阵元间的相位差可以估计出信号的方位。位差可以估计
2、出信号的方位。在保证不模糊的情况下，天线离越远越好。在保证不模糊的情况下，天线离越远越好。,精度提高精度提高，这是因为，这是因为 信号模型分析：信号模型分析：窄带条件下：窄带条件下：1.比相法（干涉法）比相法（干涉法）仅需两元阵：仅需两元阵：11x tS t a 121sin21djxtStxte 2sin*212djsE x t xte N N元阵元阵 单信源单信源在不模糊的情况下在不模糊的情况下()()，可以测定。可以测定。2sin2dd 300.886()cosdBradL2.波束扫描波束扫描波束形成：波束形成：Hy tWx t0Wa普通波束形成（普通波束形成（匹配滤波匹配滤波）0010
3、1HHHy tax tas t as t aa扫描扫描指：指：变化在变化在0,1800,180范围内，画出输出功范围内，画出输出功率随扫描角度变化的图形。率随扫描角度变化的图形。0问题：虽可测多个信源，但当多个信源的夹角小问题：虽可测多个信源，但当多个信源的夹角小于一个波束宽度时，无法分辨。于一个波束宽度时，无法分辨。波束宽度与阵列孔径成反比，又称为波束宽度与阵列孔径成反比，又称为瑞利限瑞利限。5.2正交子空间投影与高分辨处理正交子空间投影与高分辨处理 信号模型：信号模型：N元阵接收元阵接收p个信源个信源定义定义 为为信号子空间信号子空间，是，是N N维维线性空间中的线性空间中的P P维子空间
4、，记为维子空间，记为 。只是数学上的定义，并非物理上的噪声。只是数学上的定义，并非物理上的噪声。1.信号子空间与噪声子空间的定义信号子空间与噪声子空间的定义 1piiiix ts t aN t无噪声条件下：无噪声条件下：12,Px tspan aaaPNS 12,Pspan aaa的正交补空间称为的正交补空间称为噪声子空间噪声子空间，记为，记为PNSNPNNNPNN其中其中 分析：分析：信号子空间：信号子空间：对于等距线阵（对于等距线阵（ULAULA）12,Pspan aaa 22sin1 sin111TddjjNTNaeeZZ2sindjZe范德蒙矩阵：范德蒙矩阵：1222212111121
5、11NNNNNNxxxMxxxxxx,ijxxj当i是满秩的充要条件为是满秩的充要条件为 。已知已知 和和 ，则只要，则只要 ，则，则 1a2a1222sinsinddjjee 1a2a即当即当 ，时，时，2d12sinsin和和 线性无关，线性无关，1a和和 线性无关。线性无关。2a当信号子空间已知（当信号子空间已知（），进行方向估计方法：），进行方向估计方法：PNS用用 为搜索矢量，向为搜索矢量，向 上做投影，或向上做投影，或向 做做投影。投影。aPNSNPNN定理：定理：在在 上投影矢量长度等于零的充要上投影矢量长度等于零的充要条件为条件为 ,或或 在在 上投影矢上投影矢量就是自己本身的
6、充要条件为量就是自己本身的充要条件为 aNPNN12,P aPNS12,P下面给出简单证明下面给出简单证明“”：显然：显然 证明：证明：N N维矢量维矢量 向向 上投影。上投影。aPNS 12,Paspan aaa“”：记向：记向 （或（或 ）投影矩阵为）投影矩阵为 （或（或 ）PNSNPNNsPnP sP aa则则 12,Paspan aaa反证：假设，反证：假设，,1iiP即即 线性相关（线性相关（P P1 1个导向个导向矢量）。矢量）。1,Paaa而当而当 时，时，应线性独应线性独立。矛盾。立。矛盾。1PN 1,Paaa11PPN 已知：已知：N N元阵列接收的一批数据元阵列接收的一批数
7、据先对矩阵作特征分解先对矩阵作特征分解2.或或 的建立的建立 NPNN 1,2,ix tiM x tAs tN t由由 计算相关矩阵计算相关矩阵 121MHHiiiHsnRE x t xtx txtMAR AI假定假定 2HnHsE N t NtIE s t stR满秩满秩 HsAR APNS特例：特例：P P个信号独立，个信号独立，有有P个非零特征值个非零特征值 *0ijE s t stij 2122200sPR 2121200spHHsiiiispAAaa120p另有另有 个零特征值，个零特征值，个特征矢量个特征矢量NPN121NP,ppNv vvvv 非零 个零特征值对对 的特征分解为的
8、特征分解为 2HsnRAR AI 有有P个大特征值个大特征值2222212nnPnnnNP 个可以证明：可以证明：P个大特征值对应的特征矢量个大特征值对应的特征矢量 张成信号子空间张成信号子空间 12,pv vvPNS 1212,pPspan v vvspan aaa（但是不能推出（但是不能推出 ）iiva或或 的的 个小特征值对应的特征矢量个小特征值对应的特征矢量RNP1,pNvvNPNN张成张成 。将任意阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分将任意阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分解，从而得到与信号分量相对应的信号子空间和与信号分量解，从而得到与信号分量相对应的信号子空间和与信号分量正交的噪声
9、子空间，然后利用这两个子空间的正交性来估计正交的噪声子空间，然后利用这两个子空间的正交性来估计信号的参数。信号的参数。窄带远场的信号模型：窄带远场的信号模型：()()()()X tAs tN t22sRE XXAE SSAIAR AI则则由于信号和噪声相互独立，数据的协方差矩阵可以分解为与由于信号和噪声相互独立，数据的协方差矩阵可以分解为与信号和噪声相关的两部分，大特征值对应的特征矢量张成的信号和噪声相关的两部分，大特征值对应的特征矢量张成的空间称为信号子空间，空间称为信号子空间，理想条件下，信号子空间和噪声子空理想条件下，信号子空间和噪声子空间是相互正交的间是相互正交的。MusicMusic
10、方法步骤：方法步骤：1)由阵列数据由阵列数据 估计相关矩阵估计相关矩阵 ix t 11MHiiiRx txtMRPPNSNPNPNN aNPNN 1NHiini PP av va 2)对对 作特征分解。作特征分解。3)用用 个大特征值对应的特征矢量构成个大特征值对应的特征矢量构成 或用或用 个小特征值对应的特征矢量构成个小特征值对应的特征矢量构成4)用搜索矢量用搜索矢量 向向 作投影作投影5)计算谱峰：计算谱峰：2111NHnii PSP aav 谱峰与信号强度无关，只反映谱峰与信号强度无关，只反映 与与 的正交性。的正交性。aNPNN121NNM2121NNMssnnUUUUI()a()0n
11、aU基于解相干的基于解相干的Music算法：算法：Music算法在理想条件下具有良好的性能，但在信号源相算法在理想条件下具有良好的性能，但在信号源相干时算法变得很坏。干时算法变得很坏。极端地，极端地，当信号完全相干时，阵列接收数据的协方差矩阵当信号完全相干时，阵列接收数据的协方差矩阵的秩降为的秩降为1，显然这会导致信号子空间的维数小于信号源数，显然这会导致信号子空间的维数小于信号源数，也就是说信号子空间也就是说信号子空间“扩散扩散”到噪声子空间，这会导致某些相到噪声子空间，这会导致某些相干源的导向矢量与噪声子空间不完全正交，从而无法正确估计干源的导向矢量与噪声子空间不完全正交，从而无法正确估计
12、信号源方向。信号源方向。此时，此时，核心问题就是解相干或去相干核心问题就是解相干或去相干，主要方法有：，主要方法有：降维处理降维处理空间平滑：空间平滑：对修正后的协方差方阵特征分解对修正后的协方差方阵特征分解矩阵重构：矩阵重构：对修正后的协方差长方阵奇异分解对修正后的协方差长方阵奇异分解非降维处理非降维处理来波方向为：来波方向为：25,30,60针对针对MUSIC在在实际情况下实际情况下,由于由于R的信号特征值发生所谓的的信号特征值发生所谓的“能量泄漏能量泄漏”而引起的性能下降而引起的性能下降,有人提出一种算法有人提出一种算法一维一维噪声子空间噪声子空间。基本思想：基本思想：无论入射信号数为多
13、少，始终认无论入射信号数为多少，始终认为只有相关矩阵的最小特征值才是噪声特征值，其对应的为只有相关矩阵的最小特征值才是噪声特征值，其对应的特征向量才是真正的噪声向量，并且构成一维噪声子空间。特征向量才是真正的噪声向量，并且构成一维噪声子空间。优点：优点：完全避开了在一般非理想的情下，完全避开了在一般非理想的情下，MUSICMUSIC方法必须面方法必须面对的识别大特征值和小特征值的麻烦，容许小特征值有多对的识别大特征值和小特征值的麻烦，容许小特征值有多个取值，始终以最小特征值作为噪声特征值，从而使其对个取值，始终以最小特征值作为噪声特征值，从而使其对应的特征向量所生成的噪声子空间不受信噪比的变化
14、和阵应的特征向量所生成的噪声子空间不受信噪比的变化和阵元数及快拍数限制的影响，始终与阵列的导向矢量保持最元数及快拍数限制的影响，始终与阵列的导向矢量保持最严格的正交关系。严格的正交关系。特征矢量用得越少，分辨力越好。特征矢量用得越少，分辨力越好。缺点：缺点：稳健性差稳健性差一维噪声子空间法一维噪声子空间法仿真结果：来波方向为仿真结果：来波方向为30,34,40 5.3子空间高分辨处理与波束形子空间高分辨处理与波束形成方法比较成方法比较 常规波束形成方法：常规波束形成方法：用用 进行波束扫描，比较各方向的输出功率，以进行波束扫描，比较各方向的输出功率，以判断判断DOA DOA 。这时。这时 的极
15、值必须对所有角度取同一的极值必须对所有角度取同一标准。标准。1.波束扫描法波束扫描法 maxHargSaRa 1min.1HWoptHWRWWR aS tWa最优波束形成方法：（最优波束形成方法：（LCMVLCMV法）法）最优权：最优权：optW取取 ，则，则 。11HaR a 1HoptWa用用 为权系数进行波束扫描。为权系数进行波束扫描。111optHWR aaR a阵列波束形成的输出功率为阵列波束形成的输出功率为 11HoptoptCHSWRWaR aDOADOA估计：估计：。这里。这里 是是CaponCapon谱。谱。maxCargS CS分辨率明显高于普通波束扫描。基理可由最分辨率明
16、显高于普通波束扫描。基理可由最 CS优波束形成的原理来理解。优波束形成的原理来理解。波束扫描无论是普通波束形成还是最优波束形波束扫描无论是普通波束形成还是最优波束形成，其分辨率或多或少是受限于阵列孔径。成，其分辨率或多或少是受限于阵列孔径。2.子空间法（子空间法（Music法）与法）与Capon法比较法比较 相关矩阵相关矩阵211PNHHiiiiinii PRv vv v1121122111PPHHiiiiiiinPHiniiiniRv vIv vIv v当当 2,1inSNRiP1212111PHiiinNHiii PnRIv vv v MusicMusic：211musicNHii PSa
17、v 21211SNRnCmusicHNHii PSSaR aav CaponCapon法与法与MusicMusic法的分辨率：法的分辨率：CaponCapon法基于信号与干扰加噪声之比最大来求最优法基于信号与干扰加噪声之比最大来求最优波束形成。波束形成。MusicMusic法则只关心信号与干扰之比最大法则只关心信号与干扰之比最大来求最优波束形成，不关心噪声。来求最优波束形成，不关心噪声。在相关矩阵在相关矩阵 精确已知（要求无穷多次快拍数据）精确已知（要求无穷多次快拍数据）情况下，白噪声功率（或信噪比）不影响情况下，白噪声功率（或信噪比）不影响MusicMusic方方法。法。R在在 精度足够的情
18、况下，一般精度足够的情况下，一般MusicMusic法优于法优于CaponCapon法。法。R关于谱峰强度：关于谱峰强度：aMusicMusic谱峰只是反映了阵列流形矢量谱峰只是反映了阵列流形矢量 与噪与噪声子空间的正交性，而与信噪比无关。声子空间的正交性，而与信噪比无关。而而CaponCapon谱峰是真正的输出功率，与信噪比有谱峰是真正的输出功率，与信噪比有关。关。Capon法：法：稳健性较稳健性较MUSIC好好（尤其是快拍数不够多时）（尤其是快拍数不够多时）无需信源数目估计无需信源数目估计分辨力劣于分辨力劣于MUSIC16N0,20,30 5.4信号源数目的判定信号源数目的判定 空间信源数
19、估计的必要性：空间信源数估计的必要性：若在计算空间谱函数确定得源数若在计算空间谱函数确定得源数 与实际信源数与实际信源数 不一致，不一致，那么空间谱曲线出现的峰值个数与实际信源数并不相同。那么空间谱曲线出现的峰值个数与实际信源数并不相同。0KKv若若 ，信号子空间的某些特征矢量归并到噪声子空，信号子空间的某些特征矢量归并到噪声子空间，即间，即 不与噪声子空间正交，谱曲不与噪声子空间正交，谱曲线不出现峰值而形成线不出现峰值而形成漏警漏警，同时峰值位置会偏离真正的信，同时峰值位置会偏离真正的信源入射角。源入射角。0KK00(),(1,)iaiKKK v若若 ，则扩大了信号子空间的特征矢量个数，可，
20、则扩大了信号子空间的特征矢量个数，可能在没有信号源的方向出现峰值而造成能在没有信号源的方向出现峰值而造成虚警虚警。0KK因此，正确地估计信号源数使获取信号源方向角度的前提。因此，正确地估计信号源数使获取信号源方向角度的前提。但是在实际情况下问题出现于：但是在实际情况下问题出现于：1)1)SNRSNR不足够高，大小特征值不便于确定。不足够高，大小特征值不便于确定。2)有限次快拍条件有限次快拍条件 估计有误差，小特征值扩散。估计有误差，小特征值扩散。3)色噪声情况下，问题更多色噪声情况下，问题更多4)相干源问题相干源问题特征值具有规律，在一定条件下（主要是特征值具有规律，在一定条件下（主要是SNR
21、SNR足够足够高），由大特征值数目可以简单地判定信号源数目。高），由大特征值数目可以简单地判定信号源数目。在非相干源情况：在非相干源情况：的秩为的秩为P P *HSP PRE S t St阵列信号相关矩阵阵列信号相关矩阵 2HSnRAR AI211PNEVDHHiiiiinii PRv vv v R信源数目判定问题，文献称为信号检测。信源数目判定问题，文献称为信号检测。采用的方法有两个准则：采用的方法有两个准则：AIC（信息论），（信息论），MDL（最小描述长度）（最小描述长度）参数模型参数模型 选择为（条件选择为（条件:白噪声非相干源）白噪声非相干源）R 221kHSnkHiiiniRAR
22、AIv vIk为信号源数目未知参数集合未知参数集合2121221,kknkNk k kv vv 总的独立参数总的独立参数 21MkNk其中其中 最大似然无偏估计最大似然无偏估计用用 的特征值及特征矢量的特征值及特征矢量 估计估计 的特的特征值与特征矢量：征值与特征矢量：阵列数据阵列数据 独立同服从高斯分布独立同服从高斯分布 1,2,iTx tiN联合概率密度函数联合概率密度函数 121,1expdetTTkiNNHkiikNif x tx tx tXtRX tR 似然估计：取对数似然估计：取对数 1logdetkkkTLNRtr RR 11TNHiiiTRX t XtNR,1iiuiN kR，
23、的最大似然估计为：的最大似然估计为：iiv21,1,2,1,2,1iiiiNniikuikvikuNk代入似然函数代入似然函数 111log1TNK NNN kiki kNii kuLuNk 对对 寻优，最小值对应的寻优，最小值对应的 为信息源数为信息源数P的估计的估计 两个准则：两个准则：22222kkAIC kLmLkNk 1log212log2kTkTMDL kLmNLkNkN kk1)M.Wax and T.Kailath,Detection of Signal by Information Theoretied Criteria,IEEE,Trans.ASSP-33 No.2,198
24、52)M.Wax and I.Ziskind,Detection of the number of CoherentSignals by MDL Principle,IEEE,Trans,ASSP-37 No.8,1989参考文献参考文献 5.5旋转不变因子旋转不变因子ESPRIT空间空间参数估计方法参数估计方法 1123N23N1x2x3xNx1x2x3xNxd图图5.1用用Music法：对法：对2N元阵列采用特征法进行方向估计元阵列采用特征法进行方向估计子阵子阵1 1：1X tAS tNt ia 22sin2sin1iNixjixjeae子阵子阵2：2Y tBS tNt ib 22sin2
25、2sinsin2siniiiNijxjjiixjeebaee其中其中 为：为：其中其中 为：为：122sin2sin22sin00PjjjeeY tAS tNte信号子空间信号子空间 12,PX tspan aaa 12,PY tspan aaa信号子空间信号子空间 2HXXSnRAR AI由由 特征分解后，用特征分解后，用 个小特征值平均估计个小特征值平均估计 HHHXYSRE X t YtAR D A（子阵（子阵1和子阵和子阵2接收的噪声不同，不相关接收的噪声不同，不相关）122sin2sin2sinPjjjeeDe其中其中 HHYXSRE Y t XtADR AXXRNP2n视视 为为
26、的对应的对应1HD的特征矢量，的特征矢量，为为 2HXXSXXnCRIAR A HHXYSXXCRARIDAHID2sin,1,2,ijeiP 方法方法1 1：求求 与与 的非零广义特征值的非零广义特征值XXCXYRXYXXHHHSSHHHCVRVAR A VAR D A VA VD A VHA VHD1的特征值。的特征值。R22xxxxCRIxyR,xxxyCR2sin(,)iji ie1,2iPi：#XX1PEVDHXXiiXXiiCv vCC构造的伪逆#1XX1PHiiiiiCv vvR A信号子空间#XXYXRC，#XXXXDHYXSRCAAR ACA1PHHSXXiiiiCAR Av
27、 v111PHHHHSiiiiPHHHHHSiiiiA AR AAv vA AR AA AAv v可逆,说明：说明：是是 的的P P个特征矢量。个特征矢量。对应的特征值是对应的特征值是 的的P P个对角线元素个对角线元素 1#XXXX1111#XX#XXPHHHYXiiiiPHHHiiiHHYXYXRCAAD A AAv vCAAD A AAv vARCAAD A AA AADRCAAD12,Paaa#XXYXRCD 2sin#XX1,2,ijYXiiRCaeaiP此性质可用于：此性质可用于：1)阵列流形未知的情况（条件：子阵阵列流形未知的情况（条件：子阵2是子阵是子阵1的的 整体平移）整体平
28、移）2)阵列校正阵列校正3)盲波束形成盲波束形成方法方法3：由由 2EVDHHXXSSnnnREEEE其中其中 P P个大特征值个大特征值1200P P P个大特征值对应的特征矢量个大特征值对应的特征矢量 12,SPEv vv 12X tNtAZ tS tY tNtAD2HZZSnRAR AIXYEAETEAD P PTXEYEAXYEE2*P PF00XYXXYYEEFFEEF110XYXYATFADTFF FTDT 1XYF FD110XXYYXYXYE FE FF FE E 3()o M复复值值空空间间到到实实值值空空间间变变换换、波波束束空空间间变变换换、空空间间平平滑滑、特特殊殊阵阵
29、列列的的变变换换等等预预处处理理求求解解旋旋转转不不变变等等式式估估计计信信号号子子空空间间估估计计角角度度通通过过特特征征值值或或奇奇异异值值求求解解L LS S法法、T TL LS S法法、S SL LS S法法、C CT TL LS S法法、S ST TL LS S法法利利用用特特征征值值分分解解或或奇奇异异值值分分解解人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
