1、一、条件概率一、条件概率二、乘法定理二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结四、小结第五节条件概率第五节条件概率 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反观察其出现正反两方面的情况两方面的情况,设事件设事件 A为为“至少有一次为正至少有一次为正面面”,事件事件B为为“两次掷出同一面两次掷出同一面”.现在来求已现在来求已知事件知事件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件 B 发生的概率发生的概率.分析分析.,TTTHHTHHS .2142)(BP事件事件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件B 发生的概率发生的概率,记为记为),(ABP31
2、)(ABP则则).(BP 4341)()(APABP.,为为反反面面为为正正面面设设TH1.引例引例一、条件概率一、条件概率,TTHHBTHHTHHA )()()(BPABPBAP 同理可得同理可得为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.)()()(,0)(,条件概率条件概率发生的发生的发生的条件下事件发生的条件下事件为在事件为在事件称称且且是两个事件是两个事件设设BAAPABPABPAPBA 2.定义定义);()()()()3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)()4(BAPBAP ;0)(,1)(:)2(BPBSP规规范范性性
3、则则有有件件是是两两两两不不相相容容的的事事设设可可加加可可列列性性,:)5(21BB.)(11 iiiiABPABP3.性质性质;0)(:)1(ABP非负性非负性).()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn 则则有有且且,0)(121 nAAAP,2,21 nnAAAn个个事事件件为为设设推推广广则则有有且且为为事事件件设设,0)(,ABPCBA).()()()(APABPABCPABCP).()()(,0)(APABPABPAP 则则有有设设二、二、乘法定理乘法定理例例1 一盒子装有一盒子装有4 只产品只产品,其中有板有其中有板有3 只一等
4、品只一等品1只二等品只二等品.从中取产品两次从中取产品两次,每次任取一只每次任取一只,作不放作不放回抽样回抽样.设事件设事件A为为“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品”事事件件B 为为“第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”试求条件概试求条件概 P(B|A).解解.4;3,2,1,号为二等品号为二等品为一等品为一等品将产品编号将产品编号则试验的样本空间为则试验的样本空间为号产品号产品第第号号第二次分别取到第第二次分别取到第表示第一次表示第一次以以,),(j、i、ji),3,4(),2,4(),1,4(,)4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(S),4,3
5、(),2,3(),1,3(),4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(A),2,3(),1,3(),3,2(),1,2(),3,1(),2,1(AB由条件概率的公式得由条件概率的公式得)()()(APABPABP 129126.32 例例2 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8,活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4,如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物岁的这种动物,问它能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少?设设 A 表示表示“能活能活 20 岁以上岁以上”的事件的事件;B 表表示示“能活
6、能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有则有,8.0)(AP因为因为.)()()(APABPABP,4.0)(BP),()(BPABP.218.04.0 )()()(APABPABP 所以所以解解例例3 五个阄五个阄,其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字字,三个阄内不写字三个阄内不写字,五人依次抓取五人依次抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相字阄的概率是否相同同?解解.5,4,3,2,1 i则有则有,52)(1 AP)()(22SAPAP)(112AAAP 抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关?,的事件的事件人抓到有字阄人抓到有字阄第第表示表示设设iAi)()()(21
7、2121333AAAAAAAPSAPAP )()()(321321321AAAPAAAPAAAP 42534152 ,52)()()()(121121AAPAPAAPAP )(2121AAAAP)()(2121AAPAAP )()()(213121AAAPAAPAP)()()(213121AAAPAAPAP)()()(213121AAAPAAPAP 324253314253314352 ,52 依此类推依此类推.52)()(54 APAP故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.摸球试验摸球试验.,.到白球的概率到白球的概率四次取四次取二次取到红球且第三二次取到红球且第三试求第一试求第一四次四次若在袋
8、中连续取球若在袋中连续取球的球的球与所取出的那只球同色与所取出的那只球同色只只并再放入并再放入观察其颜色然后放回观察其颜色然后放回任取一只球任取一只球每次自袋中每次自袋中只白球只白球只红球只红球设袋中装有设袋中装有、atr 解解)4,3,2,1(次次取取到到红红球球第第为为事事件件设设iiAi.43四次取到白球四次取到白球为事件第三为事件第三则则、A、A例例4因此所求概率为因此所求概率为)(4321AAAAP)()()()(1122133214APAAPAAAPAAAAP.23trratraratrtatrat 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模
9、型.例例5 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时第一次落下时打破的概率为打破的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破,第二次落第二次落下打破的概率为下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破若前两次落下未打破,第三第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未试求透镜落下三次而未打破的概率打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.,321AAAB 因因为为)()(321AAAPBP 所所以以)()()(112213APAAPAAAP)211)(1071)(1091(.2003,)3,2,1
10、(次次落落下下打打破破透透镜镜第第表表示示事事件件以以iiAi.,)ii(;,2,1,)i(,212121的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称若若的一组事件的一组事件为为的样本空间的样本空间为试验为试验设设定义定义SBBBSBBBnjijiBBEBBBESnnjin 1.样本空间的划分样本空间的划分1B2B3B1 nBnB三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式2.全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)()()()()()()(),2,1(0)(,221121nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事
11、件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 jiBB由由)(jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP 图示图示A1B2B3B1 nBnB证明证明)(21nBBBAASA .21nABABAB).()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP 化整为零化整为零各个击破各个击破说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件分解为若干个简单事件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终结果结果.A1B2B3B1
12、nBnB例例6 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生已知其中由一厂生产的占产的占 30%,二厂生产的占二厂生产的占 50%,三厂生产的占三厂生产的占 20%,又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,.3,2,1,iiBi厂的产品厂的产品任取一件为任取一件为为为事件事件,321SBBB 解解.3,2,1,jiBBji由全概率公式得由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)(321 BPBPBPS
13、30%20%50%2%1%1%).()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .013.02.001.05.001.03.002.0 ,01.0)(,01.0)(,02.0)(321 BAPBAPBAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP 故故称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.,2,1,)()()()()(),2,1(,0)(,0)(,.121niBPBAPBPBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 3.贝叶斯公式
14、贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料证明证明)()()(APABPABPii,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP.,2,1ni 证毕证毕;,)1(.,05.080.015.003.001.002.0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只无区别的标志无区别的标志且且仓库中是均匀混合的仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在设这三家工厂的产品在提供元件的份额提供元件的份额次品率次品率元件制造厂元件制造厂的数据的数据根据以往的记录有以下根据以往的记录有以下件制造厂提供的件制造厂提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某电子设备制造厂所用某电
15、子设备制造厂所用例例7.,)2(试试求求这这些些概概率率别别是是多多少少三三家家工工厂厂生生产产的的概概率率分分需需求求出出此此次次品品出出由由为为分分析析此此次次品品出出自自何何厂厂次次品品若若已已知知取取到到的的是是元元件件在在仓仓库库中中随随机机地地取取一一只只解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示设设 A.家工厂提供的家工厂提供的所取到的产品是由第所取到的产品是由第表示表示i)3,2,1(iBi,321的一个划分的一个划分是样本空间是样本空间则则SBBB,05.0)(,80.0)(,15.0)(321 BPBPBP且且.03.0)(,01.0)(,02.0)(321 BAPBA
16、PBAP(1)由由全概率公式得全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125.0(2)由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125.015.002.0 .24.0,64.0)()()()(222 APBPBAPABP.12.0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好
17、好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表%解解.产产品品合合格格为为事事件件设设 A.机器调整良好机器调整良好为事件为事件B则有则有,55.0)(,98.0)(BAPBAP例例8,05.0)(,95.0)(BPBP 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05.055.095.098.095.098.0 .97.0.97.0,整良好的概率
18、为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的,叫叫做做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率).(,005.0)(,005.0,.95.0)(,95.0)(,:,ACPCPCAPCAPCA试试求求即即的的概概率率为为设设被被试试验验的的人人患患有有癌癌症症进进行行普普查查现现在在对对自自然然人人群群有有则则被被诊诊断断者者患患有有癌癌症症表表
19、示示事事件件以以为为阳阳性性试试验验反反应应表表示示事事件件若若以以验验具具有有如如下下的的效效果果某某种种诊诊断断癌癌症症的的试试根根据据以以往往的的临临床床记记录录 解解,05.0)(1)(,95.0)(CAPCAPCAP因为因为,995.0)(,005.0)(CPCP例例9由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(CPCAPCPCAPCPCAPACP .087.0 即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人患有癌症患有癌症.作业题作业题13.14.17.19.21.2413.14.17.19.21.241.条件概
20、率条件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式四、小结四、小结)()()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP .,2,1,)()()()()(1niBPBAPBPBAPABPnjjjiii )()()(APABPABP 乘法定理乘法定理.)()(,)(,)(,.,)(,)(大大比比一般来说一般来说中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件数则则用古典概率公式用古典概率公式发生的概率发生的概率计算计算中中表示在缩小的样本空间表示在缩小的样本空间而而的概率的概率发生发生计算计算中中表示
21、在样本空间表示在样本空间ABPABPSABABPSABABPBSABPABSABPAA .)()(.2的区别的区别与积事件概率与积事件概率条件概率条件概率ABPBAP贝叶斯资料贝叶斯资料Thomas BayesBorn:1702 in London,EnglandDied:17 April 1761 in Tunbridge Wells,Kent,England例例1 设袋中有设袋中有4只白球只白球,2只红球只红球,(1)无放回随机无放回随机地抽取两次地抽取两次,每次取一球每次取一球,求在两次抽取中至多抽求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率到一个红球的概率?(2)若无放回的抽取若无放回的抽取
22、3次次,每每次抽取一球次抽取一球,求求(a)第一次是白球的情况下第一次是白球的情况下,第二第二次与第三次均是白球的概率次与第三次均是白球的概率?(b)第一次与第二第一次与第二次均是白球的情况下次均是白球的情况下,第三次是白球的概率第三次是白球的概率?备份题备份题解解.)1(21二次抽取到红球二次抽取到红球第第为为第一次抽取到红球第一次抽取到红球为为事件事件红球红球个个两次抽取中至多抽到一两次抽取中至多抽到一为事件为事件设设AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 则有则
23、有,212121AAAAAAA .3,2,1,)2(iiAi次次取取出出的的是是白白球球第第为为设设事事件件)()(132AAAPa,)()(1321APAAAP.1033251)()()(1321132 APAAAPAAAP所所以以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因因为为,522624)(21 AAP因因为为.215251)()()(21321213 AAPAAAPAAAP所所以以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb,513634)(321 AAAP例例2 掷两颗骰子掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为求其中有
24、一颗为1点的概率点的概率.解解设事件设事件A 为为“两颗点数之和为两颗点数之和为 7”,事件事件 B为为“一颗点数为一颗点数为1”.故所求概率为故所求概率为.31 P掷骰子试验掷骰子试验 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 的种数为的种数为 3,其中有一颗为其中有一颗为 1 点的种数为点的种数为 1,例例3 设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品,其中其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱箱,3箱箱,2 箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1,0.2,0.3 从这从这 10箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率求取得的正品概率.设设 A 为事件为事件“取得的产品为正品取得的产品为正品”,分别表示分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,321BBB由题设知由题设知.102)(,103)(,105)(321 BPBPBP解解,7.0)(,8.0)(,9.0)(321 BAPBAPBAP故故)()()(31iiiBAPBPAP 107102108103109105 .82.0
