1、第第3章章 连续信号与系统的频域分析连续信号与系统的频域分析 3.0 3.0 引言引言 3.1 3.1 信号的正交分解信号的正交分解 3.2 3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的连续时间傅里叶级数 3.3 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 3.4 3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换非周期信号的连续时间傅里叶变换 3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 3.6 3.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 3.7 3.7 连续信号的抽样定理连续信号的抽样定理 3.8 3.8 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 3.0 引引 言言 LTI系统的特性完全可以由其单位
2、冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。把信号表示成一组基本信号的积分，用系统对这些基本信号的响应来构成系统对任意信号的响应。在时域中是把移位的冲激函数作为基本信号；在频域中用复指数函数作为基本信号。在时域中是以冲激响应作为基本响应；在频域中以系统对复指数信号的响应作为基本响应。把信号表示为一组不同频率的复指数函数或正弦信号的加权和，称为信号的频谱分析或傅立叶分析，简称为信号的谱分析。用频谱分析的观点分析系统，称为系统的频域分析或傅立叶分析。复指数是LTI系统的特征函数。即若LTI系统的输入为复指数函数，输出仅与输入信号的频率有关而与时间无关。复指数函数是正
3、交函数，用正交函数集表示任意信号可以得到比较简单而又足够精确的表示式。信号频谱和信号本身同样可以实现观测。如可用频谱分析仪来观测信号的频谱。3.1 信号的正交分解信号的正交分解 3.1.1 矢量的正交分解矢量的正交分解 1.正交矢量正交矢量 图 3.1-1 两个矢量正交 oV2V190 两矢量V1与V2正交时的夹角为90。不难得到两正交矢量的点积为零，即 090cos2121VVVV图 3.1-2 矢量的近似表示及误差 oV2V1Vec12V2cos1212VVc所以最佳系数为 222122212112coscosVVVVVVVVVVc 若V1与V2正交，则=90,cos=0，此时由式(3.1
4、-2)得到的最佳系数c12=0。这表明当V1与V2正交时，用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。据此，我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下：给定两个矢量V1和V2，现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求误差矢量的模|Ve|最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0，则V1与V2正交。由式(3.1-2)可知，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1V2=0。2121VcVVe2.矢量的分解矢量的分解 图 3.1-3 平面矢量的分解 oVc2V2c1V1V1V2212211VcVcV式中，V1V2=0。222222111111coscosVVVVVV
5、cVVVVVVc图 3.1-4 三维空间矢量的分解 332211VcVcVcVoVc3V3c1V1V1V3V2c2V2 上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集V1,V2,，Vn为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合，即 nnrrVcVcVcVcV2211式中，ViVj=0(ij)。第r个分量的系数 rrrrVVVVc3.1.2 信号的正交分解信号的正交分解 1.正交函数正交函数 设f1(t)和f2(t)为定义在(t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2
6、(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为 dttfEtfctftftteee2122121)()()()(设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复数系数。dttfctftfctfdttfctfdttfEttttttee212121)()()()()()()(*2*1212121221212式中，“*”代表取共轭复数。将上式右边展开，得 根据该式，上式中，据平方误差的定义知Ee0，式中惟一可供选择的参数为c12。为使Ee最小，只有选择c12=B，于是有 2.信号的正交展开信号的正交展开 设有一函数集g1(t),g2(t)，gN(t)，它们定义在区间(t1,t2)上，如果对于所
7、有的i、j(可取1,2,，N)都有 ijttiKdttgtg0)()(*21jiji则该函数集就称为区间(t1,t2)上的正交函数集。如果 10)()(*21dttgtgjttijiji则称该函数集为归一化正交函数集归一化正交函数集。用一个在区间(t1,t2)上的正交函数集gi(t)中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t)，即 NiiiNNrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(这种近似表示所产生的平方误差为 dttgctfEttNiiie2121)()(同样可以导出，欲使平方误差最小，其第r个函数gr(t)的加权系数cr应按下式选取：
8、dttgdttgtfcttrttrr21212*)()()(此时的平方误差为 dttgcdttfEttNittiie2121122)()(3.1-12)(3.1-13)定理定理 3.1-1 设gi(t)在(t1,t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为gi(t)的线性组合，即 iiitgctf)()(),(21tt式中，ci为加权系数，且有 21212*)()()(ttittiidttgdttgtfc 式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为傅里叶系数。(3.1-14)(3.1-15)定理定理 3
9、.1-2 在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1-13)式有 dttgcdttfttittii212122)()(式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和，即能量守恒。定理3.1-2 有时也称为帕塞瓦尔定理。(3.1-16)复指数函数是正交函数集其中，T0=2/0是它的基波周期。3.1.3 常见的正交函数集常见的正交函数集 正弦函数和余弦函数是正交函数集其中，T0=2/0是它们的基波周期。3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的连续时间傅里叶级数 3.2.1 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数 三角函数集cosnt,sinnt|n
10、=0,1,2,是一个正交函数集，正交区间为(t0,t0+T)。这里T=2/是各个函数cosnt，sinnt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0=1,sin 0=0，而0不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为,2sin,sin,2cos,cos,1tttttnbtbtbtnatataatfnnsin2sinsincos2coscos2)(21210式中，=2/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。式(3.2-5)就是周期信号f(t)在(t0,t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三
11、角函数集中各函数的周期T相同，故上述展开式在(-,)区间也是成立的。可得加权系数：可得加权系数：例如，可取t0=0，t0=-T/2等等。显然，an为n的偶函数，bn为n的奇函数，即 nnnnbbaa例例 3.2-1 求图示信号的傅里叶级数展开式。图 3.2-1 例 3.2-1 图 of(t)tT2T2T TT2E解解 据式(3.2-6)，在本题中我们取t0=0，则有 20002)(2TTEdtETdttfTa这表明信号f(t)的直流分量为a0/2=E/2。20200sin2cos2cos)(2TTTnntnTEdttnETdtntfTa考虑到上式中考虑到上式中=2/T，则，则an=0。同样可得
12、。同样可得 据式(3.2-10)有 在式(3.2-6)中，若取t0=-T/2，则有 当f(t)为t的奇函数时，则有f(t)cosnt为t的奇函数，f(t)sinnt为t的偶函数，因而有：当f(t)为t的偶函数时，由于f(t)cosnt为t的偶函数，f(t)sinnt为t的奇函数。据式(3.2-13)有 即当f(t)为偶函数时，其傅里叶级数展开式中只可能有直流分量及cos nt分量，而无sin nt分量。3.2.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 TdteetjmTtttjn0)()(00nmnm式中，T=2/为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数f(t)可在区间(t0,t0+T)
13、内用此函数集表示为 ntjnntjtjtjtjeFeFeFeFeFFtf2212210)(式中，相关系数式中，相关系数Fn 指数傅里叶级数还可以从三角傅里叶级数直接导出。因为cos=(e j+e-j)/2，将这一关系应用于式(3.2-9)，并考虑到An是n的偶函数，n是n的奇函数，即An=A-n，n=-n，则式(3.2-9)可写为 dtetfTFATtttjnnn00)(22一般来说Fn亦为一复数，即 nnjnjnnneFeAAF2121nnntnjnnntjnntnFFeFeFtfn)cos(2)(0)(已知一周期信号的傅立叶级数表示式为)(ba21/31/21/41)(3-32-21-1033txcccccccectxnntjnk合成波形各谐波分量的波形及其）用图解法表示）三角函数表示式；（，求（，式中，
