1、20192019- -20202020 学年高三（上）期末数学试卷学年高三（上）期末数学试卷 一、选择题一、选择题 1 1设全集为设全集为R R，集合，集合A A x xZ|Z|1 1x x33，集合，集合B B11，22，则集合，则集合A A（ R RB B）（）（ ） A A 1 1，00 B B（1 1，1 1）（）（2 2，33 C C（0 0，1 1）（）（1 1，2 2）（）（2 2，33 D D00，33 2 2设设x xR R，则“，则“| |x x2|2|1 1”是“”是“x x 2 2 4 4x x+3+30 0”的（”的（ ） A A充分不必要条件充分不必要条件 B B必
2、要不充分条件必要不充分条件 C C充分必要条件充分必要条件 D D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 3 3奇函数奇函数f f（x x）在区间）在区间33，66上是增函数，在区间上是增函数，在区间33，66上的最大值为上的最大值为 8 8，最小值为，最小值为1 1， 则则f f（6 6）+ +f f（3 3）的值为（）的值为（ ） A A1010 B B1010 C C9 9 D D1515 4 4已知圆的半径为已知圆的半径为 2 2，圆心在，圆心在x x轴上的正半轴上，且与直线轴上的正半轴上，且与直线 3 3x x+4+4y y+4+40 0 相切，则圆的方程相切，则圆的方程 是（是（
3、 ） A Ax x 2 2+ +y y2 2 4 4x x0 0 B Bx x 2 2+ +y y2 2+4 +4x x0 0 C Cx x 2 2+ +y y2 2 2 2x x3 30 0 D Dx x 2 2+ +y y2 2+2 +2x x3 30 0 5 5设设a a2 2 0.20.2， ，b bloglog3 30.90.9，c c1+log1+log0.1 0.14 4，则，则a a，b b，c c的大小关系是（的大小关系是（ ） A Aa ac cb b B Bb bc ca a C Cc ca ab b D Dc cb ba a 6 6将函数将函数y ysinsin（x x
4、+ +）coscos（x x+ +）的图象沿）的图象沿x x轴向左平移轴向左平移个单位后，得到一个偶个单位后，得到一个偶 函数的图象，则的取值不可能是（函数的图象，则的取值不可能是（ ） A A B B C C D D 7 7抛物线抛物线y y 2 2 8 8x x的焦点的焦点F F是双曲线是双曲线1 1（a a0 0，b b0 0）的一个焦点，）的一个焦点，A A（m m，n n）（）（n n 0 0）为抛物线上一点，直线）为抛物线上一点，直线AFAF与双曲线有且只有一个交点，若与双曲线有且只有一个交点，若| |AFAF| |8 8，则该双曲线的，则该双曲线的 离心率为（离心率为（ ） A
5、A B B C C2 2 D D 8 8某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A A、B B、C C三个类型问题，这三个三个类型问题，这三个 类型所含题目的个数分别占总数的类型所含题目的个数分别占总数的 现有 现有 3 3 名同学独立地从中任选一个题目名同学独立地从中任选一个题目 作答，则他们选择的题目所属类作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（型互不相同的概率为（ ） A A B B C C D D 9 9已知函数已知函数f f（x x），若方程，若方程f f（x x）kxkx+1+1 有两个实根，有两个实根， 则实数则实数
6、k k的取值范围是（的取值范围是（ ） A A（，2 2） B B（1 1， C C（1 1，22 D D（，） 二、填空题二、填空题 1010设设i i是虚数单位，复数是虚数单位，复数的模为的模为 1 1，则正数，则正数a a的值为的值为 1111已知已知a a0 0，（，（x x） 6 6的二项展开式中，常数项等于 的二项展开式中，常数项等于 6060，则（，则（x x） 6 6的展开式中 的展开式中 各项系数和为各项系数和为 （用数字作答）（用数字作答） 1212设随机变量设随机变量X X的概率分布列如表，则随机变量的概率分布列如表，则随机变量X X的数学期望的数学期望EXEX X X
7、1 1 2 2 3 3 4 4 P P m m 1313已知三棱柱已知三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积 为为，ABAB2 2，ACAC1 1，BACBAC6060，则此球的表面积等于，则此球的表面积等于 1414如图，在如图，在ABCABC中，中，ABAB3 3，ACAC4 4，BACBAC4545，2 2，过点，过点M M的直线分别交射的直线分别交射 线线ABAB、ACAC于不同的两点于不同的两点P P、Q Q， 若， 若m m，n n， 则当， 则当m m时，时
8、，n n ， 1515 已知正实数 已知正实数x x，y y满足满足4 4x x 2 2+ +y y2 2 1+21+2xyxy， 则当， 则当x x 时，时，的最小值是的最小值是 三、解答题三、解答题 1616在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边为所对的边为a a，b b，c c已知已知c c 2 2 a a 2 2+ +b b2 2 4 4bcbccoscosC C，且，且A AC C （）求（）求 coscosC C的值；的值； （）求（）求 coscos（B B+ +）的值）的值 1717如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1
9、中，中，ABABACAC，顶点，顶点A A1 1在底面在底面ABCABC上的射影恰为点上的射影恰为点B B，且，且ABAB ACACA A1 1B B2 2 （1 1）证明：平面）证明：平面A A1 1ACAC平面平面ABAB1 1B B； （2 2）求棱）求棱AAAA1 1与与BCBC所成的角的大小；所成的角的大小； （3 3）若点）若点P P为为B B1 1C C1 1的中点，并求出二面角的中点，并求出二面角P PABABA A1 1的平面角的余弦值的平面角的余弦值 1818已知椭圆已知椭圆C C：1 1（a ab b0 0）的左、右焦点分别为）的左、右焦点分别为F F1 1、F F2 2
10、，离心率为，离心率为，点，点P P 是椭圆是椭圆C C上的一个动点，且上的一个动点，且PFPF1 1F F2 2面积的最大值为面积的最大值为 （1 1）求椭圆）求椭圆C C的方程；的方程； （2 2）过点）过点M M（0 0，1 1）作直线）作直线l l1 1交椭圆交椭圆C C于于A A、B B两点，过点两点，过点M M作直线作直线l l1 1的垂线的垂线l l2 2交圆交圆O O： x x 2 2+ +y y2 2 于另一点于另一点N N若若ABNABN的面积为的面积为 3 3，求直线，求直线l l1 1的斜率的斜率 1919（1616 分）已知等比数列分）已知等比数列 a an n 的公比
11、的公比q q1 1，且，且a a3 3+ +a a4 4+ +a a5 52828，a a4 4+2+2 是是a a3 3、a a5 5的等差中项的等差中项 （1 1）求数列）求数列 a an n 的通项公式；的通项公式； （2 2）试比较）试比较与与的大小，并说明理由；的大小，并说明理由； （3 3）若数列）若数列 b bn n 满足满足b bn nloglog2 2a an n+1+1（n nN*N*），在每两个），在每两个b bk k与与b bk k+1+1之间都插入之间都插入 2 2 k k1 1（ （k kN*N*） 个个 2 2，使得数列，使得数列 b bn n 变成了一个新的数列
12、变成了一个新的数列ccp p ，试问：是否存在正整数，试问：是否存在正整数m m，使得数列，使得数列ccp p 的前的前m m项和项和S Sm m20192019？如果存在，求出？如果存在，求出m m的值；如果不存在，说明理由的值；如果不存在，说明理由 2020（1616 分）设函数分）设函数f f（x x）aeae x x， ，g g（x x）lnxlnx+ +b b，其中，其中a a，b bR R，e e是自然对数的底数是自然对数的底数 （1 1）设）设F F（x x）xfxf（x x），当），当a ae e 1 1时，求 时，求F F（x x）的最小值；）的最小值； （2 2）证明：当）
13、证明：当a ae e 1 1， ，b b1 1 时，总存在两条直线与曲线时，总存在两条直线与曲线y yf f（x x）与）与y yg g（x x）都相切；）都相切； （3 3）当）当a a时，证明：时，证明：f f（x x）x x g g（x x）b b 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1 1设全集为设全集为R R，集合，集合A A x xZ|Z|1 1x x33，集合，集合B B11，22，则集合，则集合A A（ R RB B）（）（ ） A A 1 1，00 B B（1 1，1 1）（）（2 2，33 C C（0 0，1 1）（）（1 1，2 2）（）（2 2，33 D D00，3
14、3 【分析】分别求出集合【分析】分别求出集合A A，集合，集合B B，由此能求出集合，由此能求出集合A A（ R RB B） 解：解：全集为全集为R R，集合，集合A A x xZ|Z|1 1x x3300，1 1，2 2，33， 集合集合B B11，22， 集合集合A A（ R RB B）00，33 故选：故选：D D 2 2设设x xR R，则“，则“| |x x2|2|1 1”是“”是“x x 2 2 4 4x x+3+30 0”的（”的（ ） A A充分不必要条件充分不必要条件 B B必要不充分条件必要不充分条件 C C充分必要条件充分必要条件 D D既不充分又不必要条件既不充分又不必
15、要条件 【分析】先解出两个不等式，再判断充要性【分析】先解出两个不等式，再判断充要性 解：解：“| |x x2|2|1 1”，解之得”，解之得x x1 1 或或x x3 3， “x x 2 2 4 4x x+3+30 0”，解之得”，解之得x x1 1 或或x x3 3， 故“故“| |x x2|2|1 1”是“”是“x x 2 2 4 4x x+3+30 0”的充分必要条件”的充分必要条件 故选：故选：C C 3 3奇函数奇函数f f（x x）在区间）在区间33，66上是增函数，在区间上是增函数，在区间33，66上的最大值为上的最大值为 8 8，最小值为，最小值为1 1， 则则f f（6 6
16、）+ +f f（3 3）的值为（）的值为（ ） A A1010 B B1010 C C9 9 D D1515 【分析】利用函数的奇偶性的性质直接求【分析】利用函数的奇偶性的性质直接求解即可解即可 解：解：由于由于f f（x x）在）在33，66上为增函数，上为增函数， f f（x x）的最大值为）的最大值为f f（6 6）8 8，f f（x x）的最小值为）的最小值为f f（3 3）1 1， f f（x x）为奇函数，故）为奇函数，故f f（3 3）f f（3 3）1 1，f f（6 6）+ +f f（3 3）8+18+19 9 故选：故选：C C 4 4已知圆的半径为已知圆的半径为 2 2，
17、圆心在，圆心在x x轴上的正半轴上，且与直线轴上的正半轴上，且与直线 3 3x x+4+4y y+4+40 0 相切，则圆的方程相切，则圆的方程 是（是（ ） A Ax x 2 2+ +y y2 2 4 4x x0 0 B Bx x 2 2+ +y y2 2+4 +4x x0 0 C Cx x 2 2+ +y y2 2 2 2x x3 30 0 D Dx x 2 2+ +y y2 2+2 +2x x3 30 0 【分析】设出圆心坐标为【分析】设出圆心坐标为C C（a a，0 0）（）（a a0 0），由点到直线的距离公式列式求得），由点到直线的距离公式列式求得a a值，值， 代入圆的标准方程得
18、答案代入圆的标准方程得答案 解：解：设圆心坐标为设圆心坐标为C C（a a，0 0）（）（a a0 0），）， 由题意得，由题意得，2 2，解得，解得a a2 2 圆圆C C的方程为（的方程为（x x2 2） 2 2+ +y y2 2 4 4， 即即x x 2 2+ +y y2 2 4 4x x0 0 故选：故选：A A 5 5设设a a2 2 0.20.2， ，b bloglog3 30.90.9，c c1+log1+log0.1 0.14 4，则，则a a，b b，c c的大小关系是（的大小关系是（ ） A Aa ac cb b B Bb bc ca a C Cc ca ab b D Dc
19、 cb ba a 【分析】和【分析】和 0 0 和和 1 1 进行比较，再比较大小进行比较，再比较大小 解：解：由题意知由题意知a a1 1，1 1b b0 0， 1 1loglog0.1 0.14 40 0， 0 0c c1 1， b bc ca a， 故选：故选：A A 6 6将函数将函数y ysinsin（x x+ +）coscos（x x+ +）的图象沿）的图象沿x x轴向左平移轴向左平移个单位后，得到一个偶个单位后，得到一个偶 函数的图象，则的取值不可能是（函数的图象，则的取值不可能是（ ） A A B B C C D D 【分析】利用倍角公式变形，再由函数图象的平移求得平移后的函数
20、解析式，结合【分析】利用倍角公式变形，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合g g（0 0） 取得最值求解的取值取得最值求解的取值 解：解：y ysinsin（x x+ +）coscos（x x+ +）， 沿沿x x轴向左平移轴向左平移个单位，得个单位，得g g（x x） 由由g g（0 0），得，得+ +，即，即，k kZ Z 当当k k0 0 时，时，；当；当k k1 1 时，时，；当；当k k1 1 时，时， 的取值不可能是的取值不可能是 故选：故选：B B 7 7抛物线抛物线y y 2 2 8 8x x的焦的焦点点F F是双曲线是双曲线1 1（a a0 0，b b0 0）的一个
21、焦点，）的一个焦点，A A（m m，n n）（）（n n 0 0）为抛物线上一点，直线）为抛物线上一点，直线AFAF与双曲线有且只有一个交点，若与双曲线有且只有一个交点，若| |AFAF| |8 8，则该双曲线的，则该双曲线的 离心率为（离心率为（ ） A A B B C C2 2 D D 【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，以及双曲线的渐近线方程，由抛物线的定【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，以及双曲线的渐近线方程，由抛物线的定 义可得义可得A A的坐标，由直线的坐标，由直线AFAF与双曲线有且只有一个交点，可得直线与双曲线有且只有一个交点，可得直线AFAF与渐近线与渐近线bxbx
22、ayay 0 0 平行，由两直线平行的条件和离心率公式可得所求值平行，由两直线平行的条件和离心率公式可得所求值 解：解：抛物线抛物线y y 2 2 8 8x x的焦点的焦点F F（2 2，0 0），即双曲线的右焦点为（），即双曲线的右焦点为（2 2，0 0），）， 双曲线双曲线1 1 的渐近线方程分的渐近线方程分别为别为bxbxayay0 0，bxbx+ +ayay0 0， 抛物线的准线方程为抛物线的准线方程为x x2 2， 由由A A（m m，n n）（）（n n0 0）为抛物线上一点，可得）为抛物线上一点，可得m m0 0，且，且| |AFAF| |m m+2+28 8， 解得解得m m6
23、 6，n n4 4， 即即A A（6 6，4 4），由直线），由直线AFAF与双曲线有且只有一个交点，可得直线与双曲线有且只有一个交点，可得直线AFAF与渐近线与渐近线bxbxayay 0 0 平行，平行， 可得可得k kAFAF， 则双曲线的离心率为则双曲线的离心率为e e2 2 故选：故选：C C 8 8某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A A、B B、C C三个类型问题，这三个三个类型问题，这三个 类型所含题目的个数分别占总数的类型所含题目的个数分别占总数的 现有 现有 3 3 名同学独立地从中任选一个题目名同学独立地从中任选
24、一个题目 作答，则他们选择的作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（题目所属类型互不相同的概率为（ ） A A B B C C D D 【分析】利用相互独立事件概率计算公式直接求解【分析】利用相互独立事件概率计算公式直接求解 解：解：某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A A、B B、C C三个类型问题，三个类型问题， 这三个类型所含题目的个数分别占总数的这三个类型所含题目的个数分别占总数的 现有现有 3 3 名同学独立地从中任选一个题目作答，名同学独立地从中任选一个题目作答， 则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为：则他们
25、选择的题目所属类型互不相同的概率为： P P 故选：故选：C C 9 9已知函数已知函数f f（x x），若方程，若方程f f（x x）kxkx+1+1 有两个实根，有两个实根， 则实数则实数k k的取值范围是（的取值范围是（ ） A A（，2 2） B B（1 1， C C（1 1，22 D D（，） 【分析【分析】本题先将分段函数】本题先将分段函数f f（x x）的表达式适当变形后，画出函数）的表达式适当变形后，画出函数f f（x x）大致图象，而）大致图象，而 方程方程f f（x x）kxkx+1+1 有两个实根，即为函数有两个实根，即为函数f f（x x）的图象与直线）的图象与直线y
26、ykxkx+1+1 有两个交点，有两个交点， 然后结合图象旋转直线，即改变然后结合图象旋转直线，即改变k k值，考察两个交点时直线的情况以及值，考察两个交点时直线的情况以及k k值，由此可得值，由此可得 实数实数k k的取值范围的取值范围 解：解：由题意，当由题意，当x x0 0 时，时，f f（x x）x x+ +1+1 故函数故函数f f（x x）大致图象如下：）大致图象如下： 方程方程f f（x x）kxkx+1+1 有两个实根，有两个实根， 函数函数f f（x x）的图象与直线）的图象与直线y ykxkx+1+1 有两个交点，有两个交点， 当直线当直线y ykxkx+1+1 与曲线与曲
27、线f f（x x）相切时，有相切时，有 1 1 个交点，个交点， 此时此时kxkx+1+1， 整理，得（整理，得（k k1 1） 2 2x x2 2 2 20 0， 4 4 （k k1 1） 2 2 2 2 0 0，解得，解得k k1 1 当当x x0 0 时，时，y y，y y| |x x0 0 此时此时k k，直线，直线y ykxkx+1+1 与曲线与曲线f f（x x）有）有 2 2 个交点，个交点， 当当k k时，直线时，直线y ykxkx+1+1 与曲线与曲线f f（x x）有）有 3 3 个交点，不符合题意个交点，不符合题意 实数实数k k的取值范围为：（的取值范围为：（1 1，
28、故选：故选：B B 二、填空题二、填空题 1010设设i i是虚数单位，复数是虚数单位，复数的模为的模为 1 1，则正数，则正数a a的值为的值为 【分析】利用上的模等于模的商，得到【分析】利用上的模等于模的商，得到| |z z| |，则，则a a可求可求 解：解：由由| |z z| | | |，得，得a a 2 2 3 3， a a0 0，a a 故答案为：故答案为： 1111已知已知a a0 0，（，（x x） 6 6的二项展开式中，常数项等于 的二项展开式中，常数项等于 6060，则（，则（x x） 6 6的展开式中 的展开式中 各项系数和为各项系数和为 1 1 （用数字作答）（用数字作
29、答） 【分析】写出二项式的通项，令【分析】写出二项式的通项，令x x的指数等于的指数等于 0 0，求出，求出r r的值，给的值，给x x赋值，做出二项式赋值，做出二项式 展开式的各项系数之和展开式的各项系数之和 解：解：a a0 0，（，（x x） 6 6的二项展开式中，常数项等于 的二项展开式中，常数项等于 6060， 通项通项T Tr r+1+1C C6 6 r r（ （a a） r rx x6 63 3r r， ， 当当 6 63 3r r0 0 时，时，r r2 2，常数项是，常数项是C C6 6 r r（ （a a） r r 6060 a a2 2， 令令x x1 1，得到二项式展开
30、式中各项的系数之和是，得到二项式展开式中各项的系数之和是 1 1， 故答案为：故答案为：1 1 1212设随机变量设随机变量X X的概率分布列如表，则随机变量的概率分布列如表，则随机变量X X的数学期望的数学期望EXEX X X 1 1 2 2 3 3 4 4 P P m m 【分析】先求出【分析】先求出m m的值，再根据数学期望公式代入计算即可的值，再根据数学期望公式代入计算即可 解：解：m m1 1（+ + +）， E E（X X）1 1+2+2+3+3+4+4， 故答案为：故答案为： 1313已知三棱柱已知三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在
31、同一球面上，若该棱柱的体积的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积 为为，ABAB2 2，ACAC1 1，BACBAC6060，则此球的表面积等于，则此球的表面积等于 8 8 【分析】利用三棱柱【分析】利用三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，ABAB2 2，ACAC1 1， BACBAC6060，求出，求出AAAA1 1，再求出，再求出ABCABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球 的表面积的表面积 解：解：三棱柱三棱柱ABCABCA A1 1B B1
32、 1C C1 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，ABAB2 2，ACAC1 1，BACBAC 6060， AAAA1 12 2 BCBC 2 2 ABAB 2 2+ +AC AC 2 2 2 2ABAB ACACcos60cos604+14+12 2，BCBC 设设ABCABC外接圆的半径为外接圆的半径为R R，则，则，R R1 1 外接球的半径为外接球的半径为 球的表面积等于球的表面积等于 4 48 8 故答案为：故答案为：8 8 1414如图，在如图，在ABCABC中，中，ABAB3 3，ACAC4 4，BACBAC4545，2 2，过点，过点M M的直线分别
33、交射的直线分别交射 线线ABAB、ACAC于不同的两点于不同的两点P P、Q Q， 若， 若m m，n n， 则当， 则当m m时，时，n n ， 【分析】根据【分析】根据即可得出即可得出，根据，根据m m，n n即可得出即可得出 ， 这样即可得出， 这样即可得出， 从而得出， 从而得出， 带入， 带入 即可求出即可求出n n的值，然后根据的值，然后根据ABAB3 3，ACAC4 4，BACBAC4545进行数量积的运算即可求出进行数量积的运算即可求出 的值的值 解：解：， ， m m，n n， ， ， 又又P P，M M，Q Q三点共线，三点共线， ，且，且， ， ，且，且ABAB3 3，A
34、CAC4 4，BACBAC4545， 故答案为：故答案为： 1515 已知正实数 已知正实数x x，y y满足满足 4 4x x 2 2+ +y y2 2 1+21+2xyxy， 则当， 则当x x 时，时，的最小值是的最小值是 6 6 【分析】利用基本不等式可知【分析】利用基本不等式可知，当且仅当“，当且仅当“”时取等号，而”时取等号，而运运 用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解时取得最小值，由此得解 解：解：依题意，依题意，1+21+2xyxy4 4x x 2 2+ +y y2 2 4 4xyxy，即，即，当且仅当“，当
35、且仅当“”时取等号，”时取等号， ， 当， 当 且仅当“且仅当“”时取等号，”时取等号， 故答案为：故答案为：，6 6 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 142+15+162142+15+1627575 分解答应写出文字说明、分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 1616在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边为所对的边为a a，b b，c c已知已知c c 2 2 a a 2 2+ +b b2 2 4 4b bc ccoscosC C，且，且A AC C （）求（）求 coscosC C的值；的值； （）求（）求 c
36、oscos（B B+ +）的值）的值 【分析】（）由正弦、余弦定理，利用同角的三角函数关系，即可求出【分析】（）由正弦、余弦定理，利用同角的三角函数关系，即可求出 coscosC C的值；的值； （）根据同角的三角函数关系，利用三角恒等变换即可求出（）根据同角的三角函数关系，利用三角恒等变换即可求出 coscos（B B+ +）的值）的值 解：解：（）（）ABCABC中，中，c c 2 2 a a 2 2+ +b b2 2 4 4bcbccoscosC C， 由余弦定理得由余弦定理得c c 2 2 a a 2 2+ +b b2 2 2 2ababcoscosC C， a a2 2c c， 由正
37、弦定理得由正弦定理得 sinsinA A2sin2sinC C； 又又A AC C， sinsinA Asinsin（C C+ +）coscosC C， coscosC C2sin2sinC C0 0； 又又 sinsin 2 2C C+cos +cos 2 2C C 1 1， coscos 2 2C C+cos +cos 2 2C C 1 1， 解得解得 coscosC C； （）由（）由 coscosC C，得，得 sinsinC C， sin2sin2C C2sin2sinC CcoscosC C2 2， cos2cos2C C2cos2cos 2 2C C 1 12 21 1； cos
38、cos（B B+ +）coscos（A A+ +C C）+ + coscos（2 2C C） coscoscos2cos2C C+sin+sinsin2sin2C C + + 1717如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中，中，ABABACAC，顶点，顶点A A1 1在底面在底面ABCABC上的射影恰为点上的射影恰为点B B，且，且ABAB ACACA A1 1B B2 2 （1 1）证明：平面）证明：平面A A1 1ACAC平面平面ABAB1 1B B； （2 2）求棱求棱AAAA1 1与与BCBC所成的角的大小；所成的角的大小； （3 3）若点）若点
39、P P为为B B1 1C C1 1的中点，并求出二面角的中点，并求出二面角P PABABA A1 1的平面角的余弦值的平面角的余弦值 【分析】（【分析】（1 1）因为顶点在）因为顶点在A A1 1底面底面ABCABC上的射影恰为点上的射影恰为点B B，得到，得到A A1 1B BACAC，又，又ABABACAC，利，利 用线面垂直的判断定理可得用线面垂直的判断定理可得ACAC面面ABAB1 1B B，从而可证平面，从而可证平面A A1 1ACAC平面平面ABAB1 1B B （2 2）建立空间直角坐标系，求出）建立空间直角坐标系，求出 ，利用，利用 向量的数量积公式求出棱向量的数量积公式求出棱
40、AAAA1 1与与BCBC所成的角的大小；所成的角的大小； （3 3）求出平面）求出平面PABPAB的法向量为的法向量为 ，而平面，而平面ABAABA1 1的法向量的法向量 （1 1，0 0，0 0），利用向），利用向 量的数量积公式求出二面角量的数量积公式求出二面角P PABABA A1 1的平面角的平面角的余弦值的余弦值 【解答】证明：（【解答】证明：（1 1）A A1 1B B面面ABCABC，A A1 1B BACAC，（，（1 1 分）分） 又又ABABACAC，ABABA A1 1B BB B ACAC面面ABAB1 1B B， ACAC 面面A A1 1ACAC， 平面平面A A
41、1 1ACAC平面平面ABAB1 1B B； （2 2）如图，以）如图，以A A为原点建立空间直角坐标系，则为原点建立空间直角坐标系，则C C（2 2，0 0，0 0），），B B（0 0，2 2，0 0），），A A1 1（0 0， 2 2，2 2），），B B1 1（0 0，4 4，2 2），）， 所以所以 ， 所以所以 ， 故故AAAA1 1与棱与棱BCBC所成的角是所成的角是 （3 3）因为）因为P P为棱为棱B B1 1C C1 1的中点，所以的中点，所以P P的坐标为（的坐标为（1 1，3 3，2 2） 设平面设平面PABPAB的法向量为的法向量为 （x x，y y，z z），则），则 令令z z1 1 故故 而平面而平面ABAABA1 1的法向量的法向量 （ （1 1， 0 0， 0 0） ， 则） ， 则 故二面角故二面角P PABABA A1 1的平面角的余弦值是的平面角的余弦值是 1818已知椭圆已知椭圆C C：1 1（a ab b0 0）的左、右焦点分别为）的左、右焦点分别为F F1 1、F F2 2，离心率为，离心率为，点，点P P 是椭圆是椭圆C C上的一个动点，且上的一个动点，且PFPF1 1F F2 2面积的最大值为面积的最大值为 （1 1）求椭圆）求椭圆C C的方程
