1、 H(z)H(z)系统函数的定义n H(z)与hk的关系n z域求零状态响应n 求H(z)的方法 系统在零状态条件下，输出的z变换式与输入的z变换式之比，记为H(z)。)()()(zszszXzYkxZkyZzHH(z)hk)(khZzH)(1zHZkh1)(zskhZkhZkZkyZzHkhhkH(z)xkyzs k=xk*hkX(z)Yzs(z)=X(z)H(z)H(z)由系统的单位脉冲响应求解：H(z)=Zhk 由系统的差分方程写出H(z)(zskxZkyZzH 由定义式例：例：求单位延时器yk=xk1的系统函数H(z)。)(zXkxz)(11zXzkxz11zs)()()()()(zz
2、XzXzzXzYzH利用z变换的位移特性，有根据系统函数的定义，可得即单位延时器的系统函数H(z)为z1。例：例：一LTI离散系统，其初始状态为y1=8，y2=2,当输入xk=(0.5)kuk时，输出响应为 yk=4(0.5)kuk 0.5k(0.5)k1 uk1(0.5)kuk 求系统函数H(z)。)5.0()5.0)(1()5.0(5kukukkukykkk12115.011)5.01(15.015)(zzzzY)5.01()5.01(5.15.0312121zzzz例：例：一LTI离散系统，其初始状态为y1=8，y2=2,当输入xk=(0.5)kuk时，输出响应为 yk=4(0.5)ku
3、k 0.5k(0.5)k1 uk1(0.5)kuk 求系统函数H(z)。对于初始状态为y1=8,y2=2的一般二阶系统2211122122112211018281)()(zazazaaazazazbzbbzXzY22125.015.025.15.2)(zzzzH)5.01()5.01(5.15.0312121zzzzH(z)()()()()()()(2121nmzzzzzzrzrzrzKzDzNzH0(2)(3)0.510.50.5j0.5j1jjRe(z)Im(z)5.0 j5.0)(5.0 j5.0()1)(5.0()j1)(j1()(23zzzzzzzzH系统函数可以表达为零极点增益形式
4、，即D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用 表示。N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用 表示。例如)()()()()(2121nmzzzzzzrzrzrzKzHniiizzk1 1)()(111kuzkzHZkhkinii由系统函数H(z)的零极点分布，可将H(z)展开成部分分式，对每个部分分式取z反变换可得hk。如H(z)为单极点时，有H(z)hkkkkk)Re(zkkkk)Im(z11jj|rk离散LTI系统稳定的充要条件是khk H(z)的收敛域包含单位圆则系统稳定。因果系统的极点全在单位圆内则该系统稳定。由H(z)判断系统的稳定性：试判断下面因果LTI离散系统的稳定性该因
5、果系统的收敛域为|z|1.5收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。)5.11)(5.01(1)(11zzzH 从收敛域看系统的极点为z1=0.5,z2=1.5 极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。从极点看一因果离散系统如图所示，求 a)H(z)b)系统稳定时k的范围。)()()3/()(1zXzGkzzG)()4/()()(1zGzkzGzY11)3/(1)4/(1)(zkzkzH系统稳定3k由于由于系统稳定系统稳定时，系统函数的收敛域包含单位圆，因此时，系统函数的收敛域包含单位圆，因此系统的频率响应系统的频率响应H(ejW W)可由可由H(z)求出。求出。单位圆D1D2N1N2z1z2p2
6、p1112Re(z)Im(z)ejWniimjjpzzzKzH11)()()(WjezniimjjpzKH1j1jj)e()e()e(WWWjjjNzWjje)e(iDpiWjije)e()()(j2121j2121e)e(nmnmDDDNNNKHW用用z平面平面pi和和zj点指向点指向单位圆上单位圆上ejW W点的向点的向量表示量表示)e(jWH)(W已知某因果离散LTI系统的系统函数1,112)1()(11zzzH试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。0NDRe(z)Im(z)1ejW当当W W=0时时 2N1D121)e(0 jDNH0)0()0()0(当当W W=p p时时 0
7、N1D021)e(0 jDNH22)()()(当当0W Wp p时，时，D随着随着W W的增大而增大，的增大而增大，N随着随着W W的增大而减小，的增大而减小，DNH)e(,jWW)()()(,WWWW因此 已知某因果离散LTI系统的系统函数1,112)1()(11zzzH试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。0NDRe(z)Im(z)1ejWWp(ejW)|pWp(W)ppp )()()(2zWzHzY)()()(12zXzHzH)()()()()(21zXzHzXzHzY)()()(21zXzHzH)()()(zKzEzY)()()()(zYzzXzE)()()(1)()(zXzK
8、zzKzY)()(1)()(zKzzKzH01ikxbjkyakyniinjjjnjjiniizazbzH101)(设差分方程中的 m=n，即iniijnjjzbza01.11H1(z)H2(z)njjkxjkwakw1 0ikwbkynii系统可以看成两个子系统的级联)()(11)(11zXzWzazHjnjj)()()(02zWzYzbzHinii描述这两个系统的差分方程为na1na2a1anb1nb2b1b0bkxkynkw1 nkw2kw1kwkwDDDnnnnnnnnzazazazbzbzbbzH)1(111)1(11101)(H(z)=H1(z)H2(z).Hn(z)将系统函数的N
9、(z)和D(z)分解为一阶或二阶实系数因子形式，将它们组成一阶和二阶子系统，即 画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统级联。H(z)=H1(z)+H2(z)+.+Hn(z)将系统函数展开成部分分式，形成一阶和二阶子系统并联形式，即 画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统并联。已知 试画出其直接型，级联型和并联型的模拟框图。21212.01.016.06.33)(zzzzzH已知 试画出其直接型，级联型和并联型的模拟框图。21212.01.016.06.33)(zzzzzH11114.0115.016.03)(zzzzzH已知 试画出其直接型，级联型和并联型的模拟框图。21212.0
10、1.016.06.33)(zzzzzH11114.018.25.015.03)(zzzzzH已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为：0 13 2281 143kkxkxkykyky,12,2 1,yykukx在z域求解：(1)系统的零输入响应yzik，零状态响应yzsk和完全响应y k。(2)系统的系统函数H(z)，单位脉冲响应hk，并判断系统是否稳定。(3)若xk=2 uk1，重新计算(1)(2)。对差分方程两边进行z变换得)()32(2 1)(811)(43)(1121zXzyyzzYzyzYzzY整理后可得)(814313281431281 181 143)(211211zXzzzzz
11、yyzyzY已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为：0 13 2281 143kkxkxkykyky,12,2 1,yykukx在z域求解：(1)系统的零输入响应yzik，零状态响应yzsk和完全响应y k。211zi8143141813)(zzzzY114118/52114/9zz0,)41(85)21(49)(zizikzYZkykk)1)(81431(32)(1211zszzzzzY11113/404113/1421116zzz340)41(314)21(16zskukYkk0,340)41(2497)21(455 kkkzszikykyky已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为：0
12、 13 2281 143kkxkxkykyky,12,2 1,yykukx在z域求解：(2)系统函数H(z)，单位脉冲响应hk，并判断系统是否稳定。根据系统函数的定义，可得)()()(zszXzYzH2118143132zzz114111421116zz进行z反变换即得)41(14)21(16)(1kuzHZkhkk对因果系统，由于其极点为z1=1/2，z2=1/4，均在单位圆内，故系统稳定。(3)已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为：0 13 2281 143kkxkxkykyky,12,2 1,yykukx在z域求解：(3)若xk=2 uk1，重新计算(1)(2)。12kuT 1340)41(314)21(16 2 1211zskukYkk系统的完全响应也相应地改变为12zikuTkyky0,1340)41(314)21(16 2)41(85)21(4911 kkukkkk 若xk=2uk1，说明系统的输入信号变了，但系统没变，系统的初始状态也没变，因此，系统的系统函数，单位脉冲响应和稳定性都不变，系统的零输入响应也不变，只有系统的零状态响应和完全响应会随输入信号发生变化，由线性非时变特性可得
