1、 “荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020 届高三元月联考理科数学试题 第 1 页 共 5 页 “荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 20202020 届高三元月联考届高三元月联考 理理 科科 数数 学学 试试 题题 本试卷共 2 页，共 23 题（含选考题）满分 150 分，考试用时 120 分钟 祝考试顺利 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答
2、案标号答在试题卷、草稿纸上无效 3填空题和解答题的作答：用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内答在试题卷、 草稿纸上无效 4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，请将答题卡上交 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 1复数z满足(1)zii，则z在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知全集UR，集合 2 230Ax xx|，集合 2 log1Bxx|，则() U AB A(2,3 B C 1,0)(2,3 D 1,0(2,3 3已知 0.20.8 5 1 2,( ),2log 2 2
3、abc ，则 Acab Bc ba Cabc D. bac 4据有关文献记载：我国古代一座 9 层塔共挂了 126 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都 多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的 13 倍，则塔的底层共有灯（ ）盏 A2 B3 C26 D27 5若直线+2=0 00axbyab、截得圆 22 21=1xy的弦长为2，则 12 ab 的最小值为 A4 B6 C8 D10 6我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万 事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数 的图象的特征如函数 21c
4、os 21 x x f xx 的图象大致是 7 函数sin3cosyxx的图像可由函数sin3cosyxx的图像至少向右平移_个单位长度 得到 A 6 B 3 C 2 D 2 3 8若向量a与b的夹角为60o，(2,0)a ，22 3ab，则b A. 3 B1 C4 D3 9 如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径， 分别以OA,OB,OC,OD 为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A 2 1 B 11 2 C 2 D 1 10设函数( )f x的定义域为R，满足2 ( 1)( )f xf x，且当(0,1x时，( )(1)f xx x .若对任意 ,)xm，都有
5、 8 ( ) 9 f x ，则m的取值范围是 A 7 ,) 6 B 5 ,) 3 C 5 ,) 4 D 4 ,) 3 11SC是球O的直径，A、B是该球面上两点，3AB ，30ASCBSC o，棱锥S ABC的 体积为3，则球O的表面积为 A.4 B.8 C.16 D.32 12.关于函数 2 lnf xx x ，下列说法正确的是 （1）2x 是 f x的极小值点； （2）函数 yf xx有且只有 1 个零点； （3） 1 ( ) 2 f xx恒成立； （4）设函数 2 ( )( )4g xxf xx ，若存在区间 1 , ,) 2 a b ，使( )g x在 , a b上的值域是 (2),
6、(2)k ak b，则 92ln2 (1, 10 k . A(1) (2) B(2)(4) C(1) (2) (4) D(1)(2)(3)(4) 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知曲线2sin x yex，则其在点(0,2)处的切线方程是 14已知 n S是等比数列 n a的前n项和， 396 ,S S S成等差数列， 36 2aa，则 9 a 15根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任 选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为 16在平面直角坐标系xOy中，双曲线 22 22 1(0,
7、0) yx ab ab 的上支与焦点为F的抛物线 2 2(0)ypx p交于,A B两点若4AFBFOF，则该双曲线的渐近线方程为 AB C D O “荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020 届高三元月联考理科数学试题 第 2 页 共 5 页 三解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17（本小题满分 12 分） 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且abc， 2 sin 2 a A b （）求角B的大小； （）若
8、2a ，5b ，求c及ABC的面积. 18 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC平面 ABC，ABC和PAC都是正三角形，2AC， E、F 分别是 AC、BC 的中点，且 PDAB 于 D. （）证明：直线DE平面PEF； （）求二面角DAPE的正弦值 19 （本小题满分 12 分） 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”其中一款新能源分时 租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：根据行驶里程数按1元/公里计费；行驶时间不 超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费已知张先生家离上班地点 1
9、5 公里， 每天租用该款汽车上、 下班各一次 由于堵车、 红绿灯等因素， 每次路上开车花费的时间t(分) 是一个随机变量现统计了 50 次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示： 时间t（分） 20,30 30,40 40,50 50,60 频数 2 18 20 10 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 20,60分 （）写出张先生一次租车费用y（元）与用车时间t（分）的函数关系式； （） 若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示 3 次租用新能源分时租赁汽车 中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望； 20 （本小题满分 12
10、 分） 已知椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）的离心率为 3 2 ，短轴长为2. （）求椭圆T的标准方程； （）若直线:0l ykxm k与椭圆C交于不同的两点,M N，且线段MN的垂直平分线过定 点(1,0)，求实数k的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )2lnf xxax，Ra. （）讨论)(xf的单调性； （）当1a时，令 2 ( )( )g xxf x，其导函数为( )g x，设 21,x x是函数)(xg的两个零点，判断 2 21 xx 是否为( )g x的零点？并说明理由. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果
11、多做，则按所做第一个题目计 分。 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中， 倾斜角为() 2 的直线l的参数方程为 cos 1sin xt yt （t为参数） . 以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是 2 sin4cos0. （）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （）若直线l经过曲线C的焦点F且与曲线C相交于,A B两点，设线段AB的中点为Q，求FQ 的值. 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 4 ( )1,(0)f xxaxa a . （）证明：( )5f x ； （
12、）若(1)6f成立，求实数a的取值范围. “荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020 届高三元月联考理科数学试题 第 3 页 共 5 页 z y x P F C B D A E “荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 2020 届高三届高三元元月联考月联考理理科数学参考答案科数学参考答案 一、选择题： 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A C A B D B A D C C 二、填空题： 1320xy 141 15 7 8 16. 2yx 三解答题： 17. 解：（） 2 sin 2 a A b ， 22 sinabA， 由正弦定理可得2sin2sinsin
13、ABA ， 2 分 又0A ， sin0A， 2 sin 2 B，4 分 abc，BC， 所以0 2 B ，故 4 B . 6 分 （）2a ，5b ，由余弦定理可得： 222 2 ( 5)222 2 cc （），即 2 230cc8 分 解得3c 或1c （舍去） ，故3c . 10 分 所以 1123 sin23 2222 ABC SacB . 12 分 18.解：（）E、F 分别是 AC、BC 的中点，EF/AB， 在正三角形 PAC 中，PEAC，又平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC=AC， PE平面 ABC，PEDE且 PEAB，又 PDAB，PEPD=P， AB平面
14、 PED， ABDE又EF/AB， DEEF，又DEPE，PEEFE， 直线DE平面PEF.6 分 （）平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC=AC，BEAC， BE平面 PAC，7 分 以点 E 为坐标原点，EA 所在的直线为 x 轴，EB 所在 的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系如图示， 则(0 0 0)E， ，,(10 0), (03 0),AB， ， ,(0 03)P ， ，,8 分 (030)EB ， ，,(103),( 130)PAAB ， ， ，, 设( , , ),ma b c为平面 PAB 的一个法向量， 则由,mAB mAP得 30 30 ac ab ，令1c
15、，得3,1ab，即( 3,1,1),m 10 分 设二面角DAPE的大小为，则 35 cos 5| |53 m EB mEB , 2 2 5 sin1 cos 5 ， 即二面角DAPE的正弦值为 2 5 5 . 12 分 19 解法一： （）当2040t 时，0.1215yt 2 分 当4060t 时，0.12 400.20(40)150.211.8ytt4 分 得： 0.1215,2040, 0.211.8, 4060 tt y tt 5 分 （）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率 2 182 505 P 7 分 可取0，1，2，3. 00312 33 23272354
16、(0)( ) ( ),(1)( )( ) 5512555125 PCPC 22 3 2336 (2)( ) ( ) 55125 PC， 330 3 238 (3)( ) ( ) 55125 PC 的分布列为 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 10 分 2754368 01231.2 125125125125 E 12 分 或依题意 2 (3,) 5 B， 2 31.2 5 E 12 分 “荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020 届高三元月联考理科数学试题 第 4 页 共 5 页 20解： （）由题意可知： 222 22 3 2 b c a abc ，
17、得 2 1 3 a b c ， 故椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y4 分 （）设 11 ,M x y， 22 ,N x y，将ykxm代入椭圆方程， 消去y得 222 148440kxkmxm， 所以 2 22 84 1 4440kmkm，即 22 41mk 由根与系数关系得 12 2 8 14 km xx k ，则 12 2 2 14 m yy k ， 6 分 所以线段MN的中点P的坐标为 22 4 (,) 1414 kmm kk 8 分 又线段MN的垂直平分线 l 的方程为 1 (1)yx k ， 由点P在直线 l 上，得 22 14 (1) 1414 mkm kkk ， 即 2
18、 4310kkm ，所以 2 1 41 3 mk k 10 分 由得 2 2 2 2 41 41 9 k k k ， 222 410419kkk 所以 2 1 5 k ，即 5 5 k 或 5 5 k ， 所以实数k的取值范围是 55 (,)(,) 55 12 分 21解： （）依题意知函数 f x的定义域为0,，且 2 fxa x . 1 分 （1）当0a时， 0fx，所以 f x在0,上单调递增. （2）当0a时，由 0fx得： 2 x a ， 则当 2 (0,)x a 时 0fx；当 2 (,)x a 时 0fx. 所以 f x在 2 (0,) a 单调递增，在 2 (,) a 上单调递
19、减. 3 分 综上，当0a时， f x在0,上单调递增； 当0a时， f x在 2 (0,) a 单调递增，在 2 (,) a 上单调递减.4 分 （） 12 2 xx 不是导函数 g x的零点. 证明如下： 当1a时， 22 ( )( )2lng xfxxxxx. 1 x， 2 x是函数 g x的两个零点，不妨设 12 0xx， 22 111111 22 222222 2ln02ln 2ln02ln xxxxxx xxxxxx ， 两式相减得： 121212 12 lnlnxxxxxx 即： 12 12 12 2 lnln 1 xx xx xx ， 又 2 21gxx x .6 分 则 12
20、 1212 1212 1212121212 2 lnln2()442 ()1(lnln) 2 xxxxxx gxxxx xxxxxxxxxx . 设 1 2 x t x ， 12 0xx，01t ， 令 21 ln 1 t tt t ， 2 22 114 11 t t t tt t . 8 分 又01t ， 0t， t在0,1上是増 函数， 则 10t，即当01t 时， 21 ln0 1 t t t ，从而 12 12 12 2 lnln0 xx xx xx ， 又 1212 00xxxx所以 12 12 1212 22 lnln0 xx xx xxxx ， 故 12 ()0 2 xx g ，
21、所以 12 2 xx 不是导函数 g x的零点. 12 分 22解： （）直线l的参数方程为 cos 1sin xt yt （t为参数） ， 直线l的普通方程为tan1yx 2 分 由 2 sin4cos0，得 22 sin4 cos0，即 2 40yx， 曲线C的直角坐标方程为 2 4yx 4 分 （）直线l经过曲线C的焦点(1,0)F tan1，直线l的倾斜角 3 4 5 分 直线l的参数方程为 2 1 2 2 2 xt yt （t为参数）7 分 代入 2 4yx，得 2 4 280tt 8 分 设,A B两点对应的参数为 12 ,t t “荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020 届高三
22、元月联考理科数学试题 第 5 页 共 5 页 Q为线段AB的中点，点Q对应的参数值为 12 2 2 2 tt 又点(1,0)F，则 12 2 2 2 tt FQ 10 分 23 证明：() a a a xax a xaxxf 4 1) 4 () 1( 4 1)( 51 4 2 4 1)(, 0 a a a axfa 5 分 （）由6) 1 (f得：6 4 12 a a， , 0aa a 4 4 1，a a a 4 4 7 分 当4a时，不等式a a a 4 4 无解； 当4a时，不等式a a a 4 4 ，即1 1 a ， 1a，所以41 a9 分 综上，实数a的取值范围是)4 , 1 ( 10 分
