1、微分方程的建立微分方程的建立2S2d()d()1 d()1()dddi tv tv tCv ttRtLt微分方程的求解微分方程的求解-1101-1101dd()()()dddd()()()ddnnnnnnmmmmmmar tar ta r tttbe tbe tb e ttt对于连续对于连续LTILTI系统，可以用常系数线性微分方程描述系统，可以用常系数线性微分方程描述 一般将激励信号加入的时刻定义为一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为，响应为 时的方程的解，时的方程的解，初始条件初始条件:0t齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式1ekn
2、tkkA注意：注意：重根情况处理方法重根情况处理方法特特 解：解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式 代入原方程代入原方程，比较系数，比较系数 定出特解。定出特解。+2+n-1+2n-1dr(0)d r(0)dr(0)r(0)dtdtdt,经典法经典法kA完全完全 解：解：齐次解齐次解+特解，由初始条件定出特解，由初始条件定出齐次解系数齐次解系数微分方程的求解微分方程的求解齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关，称为系统的无关，称为系统的固有
3、响应固有响应或或自由响应自由响应。特解特解的函数形式由激励确定，称为的函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。齐次微分方程齐次微分方程1ekntkkA特征方程特征方程特征根特征根nn-1101()()()0nnnnddar tar ta r tdtdtaaaannnn11100齐次解形式：（和特征根有关）齐次解形式：（和特征根有关）12,n齐次解齐次解微分方程的求解微分方程的求解特征根特征根齐次解的形式齐次解的形式rtCerrtkkrtrtetCteCeC1211 2,ab jbteCbteCatatsincos21btetDbtteDbteDbtetCbtteCbteCatkkatatat
4、kkatatsinsinsincoscoscos121121r单根单根k重实根重实根ajb1,21,2k重复根重复根微分方程的求解微分方程的求解esin()ttecos()tt12cos()B sin()ateBtt激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数 r(t)的特解的特解EBpt1121ppppBtB tB tBetektBtcos()tsin()t12cos()sin()BtBtesin()ptttecos()pttt11211121()ecos()()esin()pptpppptppBtB tB tBtDtD tD tDt或或12cos()sin()atteBtBt当当 a 是是 k
5、 重特征根时重特征根时当当ajb不是特征根不是特征根当当ajb是特征根是特征根微分方程的求解微分方程的求解22()6()5()tddr tr tr tedtdt例：例：求微分方程的完全解求微分方程的完全解2650512()tthr tC eC e解解:齐次方程为齐次方程为 特征方程：特征方程：特征根：特征根：该方程的齐次解为：该方程的齐次解为：1251 ，22()6()5()0ddr tr tr tdtdt()tpr tCte激励函数中激励函数中a=-1=-1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：微分方程的经典求解微分方程的经典求解t-t-t-t-
6、22)(5)(6)(eCteCtedtdCtedtd代入原微分方程得代入原微分方程得 求得求得 41C所以特解为所以特解为 1()4tprtte完全解为完全解为5121()()()4ttthpr tr tr tC eC ete微分方程的经典求解微分方程的经典求解2.3 起始点的跳变从0-到0+状态的转换1、微分方程的初始条件、微分方程的初始条件在系统分析中，认为激励 e(t)在 t=0 时刻加入，则其响应区间为0+,+,0+时刻的状态r(0+),r(0+)称为系统的初始条件。(0)1i(0)3i3、冲激函数匹配法确定初始条件、冲激函数匹配法确定初始条件 当系统用微分方程表示时，系统状态当系统用
7、微分方程表示时，系统状态0-0-到到0+0+有无跳有无跳变，取决于方程右端是否包含变，取决于方程右端是否包含(t)及各阶函数。及各阶函数。当当t t=0时，微分方程左右两端的时，微分方程左右两端的(t)及其各阶导数的及其各阶导数的系数应该平衡相等系数应该平衡相等.2、从、从0-到到0+状态的转换状态的转换系统在e(t)加入之前瞬间的一组状态r(0-),r(0-)既系统的起始状态。加入e(t)之后由于受其影响，这组状态从 t=0-到 t=0+可能发生变化，0+时刻的这组状态r(0+),r(0+)称为系统的初始条件。u(t)表示表示0-到到0+的相对跳变函数的相对跳变函数 d23dr tr ttt
8、 例：例：已知已知 r(0-),求求 r(0+)分析分析：006rr 006rr d23dr tr ttt 由方程可知 项，项，方程右端含方程右端含t trtdd它一定属于它一定属于 atr tb u t 223atbtc u tatb u tt 006rrb tuctbtatrt dd设设则则代入方程代入方程得出得出所以得所以得 006rr即即32020abacb6312bac即即数学描述数学描述 ()(2)32abacbttu tt 或或例：例：(1)将将e(t)代入微分方程，代入微分方程，t0 得得用冲激函数匹配法求用冲激函数匹配法求输入输入e(t)如图，已知如图，已知描述描述 LTI
9、系统系统的微分方程为的微分方程为 tO te22222d()d()d()d()710()64()ddddr tr te te tr te ttttt4d(0-)(0-),05drrt+d(0)(0),drrt 解解 22d()d()710()2()12()8()ddr tr tr tttu ttt 方程右端的冲激函数项最高阶次是方程右端的冲激函数项最高阶次是 (t)，因而有，因而有 tutt 8122 (2)22d()d()710()2()12()8()ddr tr tr tttu ttt )00(0，为实数，为实数。(2)初始条件增大初始条件增大1 1倍，当激励为倍，当激励为0.5e(t)时
10、的全响应时的全响应r4(t)(1)初始条件不变，当激励为初始条件不变，当激励为e(t-t0)时的全响应时的全响应r3(t)；求：求：0zi33()300zs0()3()sin(2()(-)2)()tttrteu tetturtrtttt4333zizs()2 3(2()0.50.5sin 2()5.50.5sin)()2(tttrteu tetu tetuttrrt解解(1)设零输入响应为设零输入响应为rzi(t)，e(t)作用下零状态响应为作用下零状态响应为rzs(t)-31zizs()()()2sin2()tr tr tr tet u t-32zizs()()2()2sin2()tr tr
11、 tr tet u t由已知由已知3zi()3e(),trtu t3zs()esin2()trtt u t 求出因此一冲激响应1 1定义定义 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为作用下产生的零状态响应，称为单位单位冲激响应冲激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，一般用，一般用h(t)表示。表示。()th(t)实际反映了系统的固有特性，与外界因素无关；实际反映了系统的固有特性，与外界因素无关；h(t)称为系统的称为系统的单位冲激响应单位冲激响应。对于对于LTI系统，只要系统，只要h(t)确定，系统特性随之确定。确定，系统特性随之确定。2.冲激响应的数学模型冲激响应的数
12、学模型1011110111d()d()d()()dddd()d()d()()dddnnnnnnmmmmmmr tr tr tCCCC r tttte te te tEEEE e tttt对于线性时不变系统对于线性时不变系统,可以用一可以用一高阶微分方程高阶微分方程表示表示()(1)(1)011()(1)(1)011()()()()()()()()nnnnmmmmC htC htChtC h tEtEtEtEt令令 e(t)=(t)则则 r(t)=h(t)一冲激响应 由于由于(t)及其导数在及其导数在 t0+时都为零，因而方程式右端的自时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响
13、应形式与齐次解的形式相同。由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。3.h(t)解的形式解的形式一冲激响应例解：解：22d()d()d()43()2()dddh th tth ttttt 求特征根求特征根2124301,3 冲激响应冲激响应)()ee()(321tuAAthtt 求系统求系统 的冲激响应。的冲激响应。22d()d()d()43()2()dddr tr te tr te tttt确定系数确定系数A1、A2求求0 0+法法设设()()()()htatbtc u t ()()()h tatb u t ()()h ta u t代入原方程求出代入原方程求出 a=1，b=-
14、2代入代入h(t),得得-(0)(0)1,(0)(0)2hhahhb 121122(0)1,(0)A1 2A1 232hAAhAA 冲激响应冲激响应31122()(ee)()tth tu t二阶跃响应系统方程的右端包含阶跃函数系统方程的右端包含阶跃函数，所以除了齐次解外，还有，所以除了齐次解外，还有特解项特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性，利用我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响冲激响应与阶跃响应关系应关系求阶跃响应。求阶跃响应。系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应单位阶跃响应，简称简称阶跃响应。阶跃响应。1定义定义 2阶跃响应与冲激响应的关系0tt线性时不变系统满足线性时不变系统满足微、积分微、积分特性特性 ()()dtu ttt()()dtg th ttddg th tt()()=阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限 对因果系统：对因果系统：二阶跃响应
