1、一、集合一、集合第一节第一节 预备知识预备知识第一章第一章 函数及其基本性质函数及其基本性质二、二、实数集实数集三、绝对值三、绝对值四、区间与邻域四、区间与邻域“集合”是现代数学中的一个重要的基本概念。集集合是指具有某种特定性质的事物的全体。合是指具有某种特定性质的事物的全体。组成这一集合的事物称为该集合的元素元素。一、集合一、集合例例1所有皮制火炬牌篮球构成一个集合，则每一只皮制的火炬牌篮球都是该集合的元素。例例2所有正整数的全体构成一个集合，则每一个正整数都是该集合的元素。通常，我们用英文大写字母如A、B、X、Y等表示集合，用英文小写字母如 、b、x、y等表示集合中的元素。如果 为集合A中
2、的元素，则记作 ，读作 属于A或 在A中；如果 不是集合A中的元素，则记为 ，读作 不属于A或 不在A中。aaAaaAaaaaa如果集合中所包含的元素的个数只有有限个，则称这种集合为有限集有限集。如果集合中所包含的元素的个数有无限个，则称这种集合为无限集无限集。不包含任何元素的集合称为空集，记为 。例例4设 ，则A中的任一元素都是B中的一个元素，。定义定义2 设集合A、B，若 且 ，则称集合A与B相等。记作A=B。例例3 为空集。为实数xxxA,01|2BA AB 6,5,4,2,1,6,4,2BA定义定义1 设有集合A、B，如果集合A中的每一元素都是集合B中的元素，即 ，必有 ，则称集合A为
3、B的子集。记为 ，或 ，读作A包含于B，或B包含A。AaBaBA AB 例例5设 ，则A=B。4,1,045|2BxxxA二、二、实数集实数集正整数正整数集集 ,3,2,1N ,2,1,0,1,2Z0,;|qZqpqpxQ整数整数集集有理数集有理数集如果用十进制来表示有理数，则有理数可表示成有限或无限循环的小数。一个数为有理数当且仅当可以表示成分数。如果一个数用十进制表示时，都不是有限的或无限循环的，这种无限不循环小数称之为无理数。,71828.2;1415926.3 e例如：这种无限不循环小数都是无理数无理数。通常把具有原点、方向和长度单位原点、方向和长度单位的直线称为数轴数轴。有理数在数轴
4、上对应的点称作有理点；无理数在数轴上对应的点称作无理点。有理数和无理数的全体有理数和无理数的全体称为实数集称为实数集，记为 。实数集充满整个数轴。R三、绝对值三、绝对值定义定义3 任何实数 的绝对值，记为 ，定义为x,0,0 xxxx xx 的绝对值 表示为数轴上点 到原点之间的距离。实数绝对值具有如下性质：xxx(1)当且仅当 时，有 0 x0 x0 x(2)xx(3)xxx(4)yxyxyxyxyx;(5)yxxy(6)0(yyxyx四、区间与邻域四、区间与邻域区间与邻域是微积分中常用的实数集，其中区间按不同的名称记号和定义可分为如下九种形式：闭区间闭区间开区间开区间 半开区间半开区间 bxaxba|,bxaxba|,bxaxba|,|a bx axb无限区间无限区间 axxa|,axxa|,|x xR bxxb|,bxxb|,其中 ，为给定的实数，分别称为区间的左端点和右端点。读作为“正无穷大”，读作为“负无穷大”，它们不表示任何数，仅仅是作为记号。ab0,|axx定义定义4 设 与 为两个给定的实数，集合a0,|,axxaU称为点 的 邻域，称为邻域的中心，称为邻域的半径，记为 ，即a,aUa
