1、第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望 2 方差 3 协方差与相关系数 4 矩,随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征,例 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.,1.1离散型随机变量的数学期望,例1.1 一台机床加工某种零件,已知它加工出优质品、合格品和废品的概率依次为0.2、0.7和0.1如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利
2、0.40元和0.20元;如果加工出一件废品则要损失0.10元.问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？,解 以X表示加工出一个零件所获得的利润,则X的分布律为,1 数学期望,其中 ， 和 分别是事件 、 和 出现的频率.当 很大时， ， 和 分别接近于0.1, 0.7和0.2。,平均每个零件可获利为,于是可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为,（元）,定义1.1 设离散型随机变量X 的分布律为,则称 （要求此级数绝对收敛）,设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) , 则称,为X 的数学期望(或均值),（要求此积分绝对收敛),数学期望的本质 加权平均 .它是一个数不
3、再是 r.v.,为 X 的数学期望(或均值),例1.2 设X服从参数为p的(01)分布,求X的数学期望,解 X 的分布律为,例1.3 设 ，求 ,解 X 的分布律为,例1.4 设 ，求 .,解 X 的分布律为,例1.5 设 X 参数为 p 的几何分布，求E ( X ).,解 X 的分布律,常见离散型r.v.的数学期望,分布,期望,概率分布,参数为p 的 （0-1）分布,p,B(n,p),np,参数为 p 的 几何分布,例1.6 已知10件产品中有2件次品，求任意取3件中次品数的数学期望,例1.7 设X在 a, b上服从均匀分布，求 E(X),解 X 的概率密度为,例1.8 设 X 服从参数为
4、的指数分布，求E(X ) ,解 X 的概率密度为,例1.9 设 ，求 ,解 X 的概率密度为,区间(a,b)上的 均匀分布,参数为 的指 数分布,N(, 2),常见连续型r.v.的数学期望,1.2 随机变量的函数的数学期望,定理1.1 设随机变量 Y 是随机变量 X 的函数:Y=g( X );,（1）若X为离散型，概率分布,（2）若X为连续型，其概率密度为f ( x )，如果广义积分,如果 绝对收敛，则随机变量 的数学期望是,绝对收敛，则随机变量 的数学期望是,注：求随机变量的函数的数学期望方法,（1） 先求随机变量 Y 的分布,再求数学期望（不常用）.,（2） 直接应用定理1.1（常用）。,
5、例1.10 设X的分布律为 X 2 1 0 1/2 1 P 1/6 1/3 1/4 1/12 1/6,求 , .,解,例1.11 设 ，求 ,解,例1.12 设X在区间(0, a)上服从均匀分布，求 的数,学期望.,解 X 的密度为 则,解,定理1.2 设随机变量Z是 X、Y 的函数Z=g (X, Y)，,（2）若( X,Y)为二维连续型随机变量,联合概率密度为,（1）若(X, Y)为二维离散型随机变量，联合分布律为,如果 绝对收敛，则随机变量Z 的数学期望是,则随机变量Z 的数学期望是,例1.14 设( X, Y )的联合密度为,求 E( X )、 E( XY ) ,解,解,例1.16 设X
6、 N (0,1), Y N (0,1), X ,Y 相互独立，求 E (max X ,Y ) .,D1,D2,解,1.3 数学期望的性质,设 C 为常数, 和 都存在。,性质1 E (C ) = C ,性质2,性质3,证 只证明连续型随机变量情形 ，离散型的证明从略,设 ( X, Y )的概率密度为 f (x, y)，则有,分别为f X ( x ) 、 f Y( y ) .则有f ( x, y ) = f X ( x ) f Y( y ) ,于是,性质4 若X、Y 相互独立，则 E( XY ) = E( X ) E( Y ) ,证 只对连续型加以证明,设 ( X, Y ) 的联合密度为f (
7、x, y ), 关于 X、Y 的边缘密度,注： 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立。,反例,但,解,例1.17 设 X 与 Y 独立，,求 ,注 不是所有的 r.v.都有数学期望,例如 柯西(Cauchy)分布的密度函数为,它的数学期望不存在!,2.1 方差及其计算公式,1 方差,引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：,甲 10, 7, 9, 8, 10, 6,乙 8, 7, 10, 9, 8, 8,问哪一个射手的技术较好？,解 首先比较平均环数,再比较稳定程度,甲：,乙：,乙比甲技术稳定，故乙技术较好.,进一步比较平均偏离平均值的程
8、度,甲：,乙：,定义2.1 D(X)=EXE(X)2 称为随机变量 X 的方差.称 为 X 的均方差或标准差.,注：D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏离平均值的平均偏离程度，是一个数值。,方差的计算公式,1设 X 为离散型随机变量，分布律为,则,2设 X 为连续型随机变量，概率密度为f (x), 则,3,证,例2.1 设 X 服从参数为 p 的( 0 1)分布，求D( X ) ,解,E( X ) = p ,解,例2.3 设X B( n , p)，求D(X ).,解,E(X)=n p,例2.4 设X 参数为 p 的几何分布，求D( X ).,解,例2.5 设 X 在 a , b上服从均匀分
9、布，求D( X ) ,解,例2.6 设 X 服从参数为 的指数分布，求 D( X ),解,例2.7 设 ，求D( X ) ,解,常见随机变量的方差,分布,方差,概率分布,参数为p 的 （0-1）分布,p(1-p),B(n,p),np(1-p),(),方差表,参数为 p 的 几何分布,区间(a,b)上 的均匀分布,N(, 2),参数为 的 指数分布,2.2 方差的性质,性质1 设 C 为常数，则 D(C ) = 0,证,性质2,证,性质3,证,性质4,若X 与Y 相互独立，则有,证,若X 与Y 相互独立，,则,性质5 随机变量X的方差D(X)=0的充分必要条件是：,X以概率1取常数C=E(X),
10、即,注,例2.3 设X B( n , p)，求D(X ).,解一 前面已求解。,故,解二 引入随机变量,相互独立，且,例2.8 设 X 与 Y 相互独立， ， ，求,解,例2.9 已知X ,Y 相互独立, 且都服从N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).,故,解,例2.10 已知 X 的 d.f.为,其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5.,求(1) A ,B. (2) 设 Y = X 2, 求 E (Y ), D (Y ).,解 (1),(2),2.3 标准化随机变量,为 X 的标准化随机变量.,显然，,解,（1）仅知r.v.的期望与方差并不能确定其分布,有相同的期
11、望方差但是分布却不相同,例如,注,（2）在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.,例如 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 2 X , 求Y 的密度函数.,解,性质2,3 协方差与相关系数,3.1 协方差,定义3.1 称 为X 与Y的协方差 ，记作,易得,协方差性质,性质1,性质3,例3.1 设 求,解 因为 所以,又由例1.11，,于是，,3.2 相关系数,定义3.2 若D (X ) 0, D (Y ) 0 , 存在，则称,为 X 与 Y 的相关系数。记为,若,称 X ,Y 不相关.,相关系数的性质,性质1,证 由柯西许瓦兹不
12、等式，可得,因此,注,性质3 若 X 与 Y 相互独立，则,性质4 的充分必要条件是：存在常数 a, b,使得,X , Y 不相关,X ,Y 相互独立,X , Y 不相关,等价命题：,注,表明X与Y之间以概率1存在线性关系。,较大表明X与Y之间线性相关程度较好。,较小表明X与Y之间线性相关程度较差。,表明X与Y不相关。,不相关是就线性关系而言，相互独立时就一般关系而言的。,例3.2 设二维随机变量 ( X, Y )的概率分布为 X Y 1 0 1 -1 1 / 8 1 / 8 1 / 8 0 1 / 8 0 1 / 8 1 1 / 8 1 / 8 1 / 8,证明 X 与 Y 不相关，但 X
13、与 Y 不相互独立,于是有,因此 ，即 X 与 Y 不相关,由于,所以 X 与 Y 不相互独立,例3.3 设 ( X,Y ) 的联合概率密度为,验证 X 与 Y 不相关，但不相互独立,解,同理,于是,因此 ，即 X 与 Y 不相关,例3.3 设 ( X,Y ) 的联合概率密度为,验证 X 与 Y 不相关，但不相互独立,解,所以 X 与Y 不相互独立.,例3.4 设 ( X ,Y ) N ( 1,12;2,22 ; ), 求XY,解,则X ,Y 相互独立,X ,Y 不相关,4 矩,4.1 原点矩和中心矩,定义4.1 设X与Y是两个随机变量,称E(Xk)为X的k阶原点矩; 称EX E( X ) k 为X的 k 阶中心矩；称E( X k Y l ) 为X与Y 的 k + l 阶混合原点矩；称 EXE( X ) k YE( Y ) l为X与Y 的 k + l 阶混合中心矩,注 E( X )是X的,1阶原点矩。,D( X )是X的,2阶中心矩。,是X与Y的2阶混合中心矩。,4.2 协方差矩阵,都存在，则称矩阵,为二维随机变量（X1, X2）的协方差矩阵。,4.1 n维正态分布,都服从一维正态分布，其中 为任意常数。,性质2 如果 服从 n 维正态分布，设,是 的线性函数，则,也服从多维正态分布。,性质3 设 服从 n 维正态分布，则,相互独立,两两不相关。,
