1、高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）合肥市2022 高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分分.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.13.1 14.31 15.0 2 2，16.3010 三、解答题：三、解答题：17.(本小题满分本小题满分12分分)解：13nnSa，当1n 时，123aa，24a；当2n 时，13nnSa.得，即12nnaa.又2142aa，数列 na是从第2项起的等比数列，即当2n 时，2222nnn
2、aa.1 122.nnnan，5分 若选择：2211111122 211212212121222121nnnnnnnnnnnnacaa，223111111112 12 12212121212121nnnnT.若选择：122nnnc，则23134212222nnnnnT，31422213412222nnnnnT，-得321214112131311124222422422nnnnnnnT，14222nnnT.12分 18.(本小题满分本小题满分12分分)解：(1)证明:3PMB，PMBM，PMB为等边三角形，PBPMPCBMBC.取线段CM的中点O，连结BOPO，BOCM，POCM.又2CBMCP
3、M，1222BOPOCMPB，222BOPOPB，2POB，又CMBOO，PO平面AMCD.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A C B B D C D C B C 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页）PO 平面PMC，平面PMC 平面AMCD.5分(2)由(1)知，OPCMOB，相互垂直，以O为坐标原点，OCOBOP，所在的直线分别为xyz，轴建立空间直角坐标系，如图所示.设22 2ABAD，则2CM，1POBO，连结DM，则DMCM，且2DM，0 0 1P，1 0 0C，1 2 0D，01 0B，1 01PC ，1 21PD ，1 1
4、0ADBC，.设nxyz，为平面PAD的一个法向量，则00n PDn AD，即200.xyzxy，令1x，则13yz ，113n，42 22cos 11211PC nPC nPCn ，直线PC与平面PAD所成角的正弦值为2 2211.12分 19.(本小题满分本小题满分12分分)解：(1)2();P Ap pp 4分（2）121UUX，121UUX.当且仅当信道 1、信道 2 都传输成功时，由2U、1X的值可确定1U的值，所以信号1U被成功解码的概率为2p.8分 若信道2传输成功，则信号U2被成功解码，概率为p；若信道2传输失败、信道1传输成功，则211UUX，因为1U为已知信号，信号2U仍然
5、可以被成功解码，此时2U被成功解码的概率为(1)p p；若信道2、信道1都传输失败，此时信号2U无法成功解码；综上可得，信号2U被成功解码的概率为212ppppp 12分 20.(本小题满分本小题满分12分分)解：(1)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知，当点M位于椭圆的短轴端点时，FAM的面积取得最大值，此时12FAMSac b，1=2ac b3 32，3 3ac b.由离心率12ca得2ac，3bc，解得1c，2a，3b，椭圆C的标准方程为22143xy.5分(2)设M(11xy，)，N(22xy，).由221143ykxxy得2234880kxkx.点(0，1)在这个椭圆内部，所以0
6、，122843kxxk，122843x xk，212122286224343kyyk xxkk，点P的坐标为2243 4343kkk，.当0k 时，直线OP的斜率为34k，直线OP的方程为34yxk，即43kxy.将直线OP的方程代入椭圆方程得22943Dyk，2221643Dkxk.高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页）设点43kQyy，.由2OP OQOD 得22222443169343434343kkkyykkkk，化简得2222169169433 43kkykk，化简得3y，点Q在直线3y 上.当直线l的斜率0k 时，此时P(0，1)，D(0 3，).由2OP OQOD 得
7、Q(0，3)，也满足条件.综上所述，点Q在直线3y 上.12分 21.(本小题满分本小题满分12分分)解：(1)函数 f x的定义域为R，且 esinexfxx.当0 x 时，esine1 sine0 xfxxx；当0 x 时，令 esinexh xfxx，则 ecos0 xhxx，h x在0，上单调递增.又 01 e0h，ee0h，00 x，使得00h x，即00esine0 xx.当00 xx时，0fx；当0 xx时，0fx.函数 f x在0 x，上单调递减，在0 x，上单调递增，f x只有一个极小值点0 x，无极大值点.5分(2)由(1)知，函数 fx在0，上单调递增，00fx，且 31
8、222esinee1 ee e11e 1.6 11022f ，02x，函数 f x在00 x，上单调递减，在0 x，上单调递增.不妨设12xx，则1020 xxx，要证12002xxffx，即证1202xxx，只要证2012xxx.100 xx，001022xxxx.又 f x在0 x，上单调递增，要证2012f xfxx，即证1012f xfxx.令 02F xf xfxx(00 xx)，02002esineesin 2exxxFxfxfxxxxx.令 g xFx，则 020ecosecos 2xxxgxxxx.令 xgx，则 020esinesin 2xxxxxxx0002xx（），x在0
9、0 x，上单调递增，00 xx，g x在00 x，上单调递减，00002e2sin2e2()0 xg xg xxh x，F x在00 x，上单调递增，00F xF x，即1202xxf.12分 22.(本小题满分本小题满分10分分)解：(1)由1212xtyt ，(t为参数)得2xy，直线l的极坐标方程为cossin2.由2cos2a得2cos2a，2222222cossincossinaa，22xya，曲线C的直角坐标方程为22xya.5分(2)直线l的极坐标方程为cos+sin2，将=4代入直线l的极坐标方程得2，点M的极坐标为2 4，.将6代入曲线C的极坐标方程2cos2a得1222aa，122 2ABa.AMBM，且O为线段AB的中点，122OMABa，即22a，1a 10分 23.(本小题满分本小题满分10分分)解：(1)依题意得，34 22122134 1.xxf xxxxxxx ，当且仅当1x 时，f x取得最小值1，即 f x的最小值1m.5分(2)由(1)知，22abcm，2224abcabc(当且仅当ab时等号成立).22422abcababc 223333223 43 4 26ababcabc，当且仅当22abc，即12abc，时等号成立，22abc的最小值为6.10分
