1、33 函数的极值与最值函数的极值与最值案例研究案例研究 案例案例3.3.1 易拉罐的设计：企业在设计易拉罐时，为了用最小的成本获得最大的利润，需要考虑在体积一定的情况下用料最省的问题.测量一个你身边的易拉罐，分析它的设计是否达到了企业的期望，如果没有达到，请你改进.易拉罐 案例案例3.3.2 面包价格的确定：某职业院校为了培养学生的创业能力，鼓励毕业学年的学生在校园里开展各 面包店种营销活动.为了探索创业途径，学生蔡明利用业余时间在学院内的一家面包销售点打工.经过一段时间统计，他发现某种面包以每块2元的 价格销售时，每天能卖掉500块；若价格每提高1角，每天就会少卖掉10块.另外，面包点每天的
2、固定开销为40元，每块面包的成本为1.5元.此后，蔡明决定独自经营该面包销售点.问：蔡明怎样确定面包的价格，才能使获得的利润最大？抽象归纳抽象归纳 在生产实际中，往往遇到求在一定条件下怎样使材料最省，或成本最低，或投资最少，或效益最高等方面的问题.它们在数学上，都可以归结为求函数的最大值和最小值问题.函数的极值函数的极值讨论：讨论：观察图中 12345,c c c c c处函数值情况，它们 有何特点？Oxy1c2c3c4c5cba极值的定义极值的定义 设函数)(xf在区间（a，b）内有定义，0 x是（a，b）内的一个点.若对于点 0 x左右近旁内的任 何点x（0 xx），都有),()(0 xf
3、xf则称)(0 xf是函数 )(xf的一个极大值极大值，点 0 x叫做)(xf的一个极大值点极大值点；若对于点 0 x左右近旁内的任何点 x（0 xx），都有),()(0 xfxf则称)(0 xf是函数)(xf的一个极小值极小值，点 0 x叫做)(xf的一个极小值点极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值极值，使函数取得极值的点称为极值点极值点.极值的必要条件极值的必要条件 若若函数)(xf在点 0 x可导，且在 点 0 x取得极值，则函数在点 0 x的导数.xf0)(0 使函数的导数为零的点叫做函数的驻点函数的驻点（或稳定稳定点点）.讨论讨论：可导函数的驻点一定是它的极值点吗？试举例说明.讨
4、论：讨论：若函数在某点连续，但没有导数，函数在该点可以取极值吗？Oxy|xy Oxy31xy 结论结论 函数的极值只可能在驻点或导数不存在的点 取得.问：问：极值存在的充分条件是什么？OOxxya0 xb0)(xfa0 xb0)(xf0)(xf0)(xfy极值的第一充分条件极值的第一充分条件 设函数)(xf在点 0 x处连 续，在点 0 x的左右近旁可导.极大值.（1）若当x取 0 x左侧邻近的值时，,xf0)(当 x取 0 x右侧邻近的值时，,xf0)(则函数)(xf在点 0 x取得极小值.（2）若当x取 0 x左侧邻近的值时，,xf0)(当 x取 0 x右侧邻近的值时，,xf0)(则函数)
5、(xf在点 0 x取得（3）若当x取 0 x左右两侧邻近的值时，)(xf 不改变 符号，则函数)(xf在点 0 x没有极值.证证 当x取 0 x左侧邻近的值时，,xf0)(根据函数单调性的判定法，函数)(xf在 0 x左侧邻近是单调 增加的，所以);()(0 xfxf当x取 0 x右侧邻近的值时，,xf0)(函数)(xf在 0 x右侧邻近是单调减少的，所 以).()(0 xfxf因此，)(0 xf是)(xf的一个极大值.类似地，可证明（2）和（3）.例例1 求函数 11232)(23xxxxf的极值.解解 （1）求定义域：).(,（2）求导：)1)(2(61266)(2xxxxxf令,xf0)
6、(得驻点.x,x1221（3）列表讨论：2（2，1）1+00+极大值21极小值6x()fx()f x(,2)(1,)Oxy21621()yf x例例2 求函数 1)1()(32 xxf的极值.解解 （1）求定义域：).(,（2）求导：.xxxxxxf2222)1()1(62)1(3)(令,xf0)(得驻点.x,x,x101321（3）列表讨论：()fx()f x(,1)x1（1，0）0（0，1）100+0+极小值0(1,)Oxy111)1(32 xy例例3 求函数 3223)(xxxf的极值.解解 （1）求定义域：).(,（2）求导：.xxf311)(令,xf0)(得驻点.x 1当 0 x时，
7、导数不存在.（3）列表讨论：x0（0，1）1+不存在0+极大值0()fx()f x(,0)(1,)12极小值 Oxy1213223xxy讨论讨论：（1）若 0()f x为极值，则 0()fx的符号是正 还是负？极值的第二充分条件极值的第二充分条件)(xf在点 0 x处具有 设函数二阶导数且,xf0)(00()0.fx（1）若,xf0)(0 则函数)(xf在 0 x处取得极小值.（2）若 0()0,fx则函数)(xf在 0 x处取得极大值.讨论讨论 当 0)(0 xf且 0()0fx时，0()f x为极 值吗？试举例说明.例例4 求函数 xcosxsinxf)(在区间 20,上的极值.解解.xs
8、inxcosxf)(令,xf0)(得.x,x45421又.xcosxsinxf)()20()2;44ff 极大值 55()20()2.44ff 极小值 O4254yx2函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值讨论讨论 若函数)(xf在a，b上连续，则其最大值和 最小值只能在何处取得？结论结论 只能在驻点、导数不存在的点和端点取得.求最值的步骤：求最值的步骤：（1）求函数)(xf的导数，并求出所有的驻点和导 数不存在的点.（2）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值.（3）比较上述各函数值的大小，其中最大的就是)(xf在闭区间a，b上的最大值，最小的就是最小值.例例5 求函数 32()392f
9、 xxxx在闭区间 2,6上的最大值和最小值.解解 （1）求导数：)3)(1(3963)(2xxxxxf12()0,1,3.f xxx 得驻点令（2）求端点及各驻点的函数值：.f,f,f,f25)3(7)1(56)6(0)2(（3）比较：最大值,f56)6(最小值为.f25)3(讨论讨论 结合下图讨论：若函数在开区间（a，b）内只有惟一极大（小）值，是否该极大（小）值必是最大（小）值？OOxxya0 xb)(xfya0 xby)1()(xfy)(0 xf)(0 xf)2(案例案例3.3.1的解的解 设易拉罐的底面圆半径为r，高为 h，表面积为S，体积为V（定值），则根据立体几何，得 2222V
10、r h Srrh,.于是，得222,(0,).VSrrr求导，得 2240VSrSr.,令3.2Vr得对S关于r求二阶导数，得344.VSr 因为 30.2VS所以 S 在点 32Vr处取得 极小值.又在区间(0,)函数只有惟一驻点，所以函数 S 在该点取得最小值.将 32Vr代入 2Vr h中，得 32.2Vh 于 是，得 1.2rh这就是说，当其底面圆半径与高之比为 1:2时，用料最省.案例案例3.3.2的解的解 设 x 为每天的销售价格，y 为每天 销售的块数，P为每天的利润.据题意，当 2x 时，5003400yxy;,.当时 于是，得5002.40050032yx解得 500 100
11、(2)700 100.yxx每日的收入：()R xxy,每日的成本是：()40 1.5.C xy每日的利润是：()()()P xR xC x(40 1.5)xyy(1.5)40.xy将 700 100yx代入上式，得()(1.5)(700 100)40(0,)P xxxx,.求导：()700 100100(1.5)850200.P xxxx()0P x,令4.25.x 得求二阶导数：()200.P x 因为(4.25)0P,所以()P x在 x=4.25 取得极大值.又在区间(0,)内只有惟一驻点，所以()P x在点 x=4.25处必取得最大值，且最大值为(4.25)716.25.P答：面包的价格定为4.25元/块时，才能获得最大利 润，且最大利润为716.25元.小结：小结：1极值的必要条件；2极值的充分条件：（1）第一充分条件；（2）第二充分条件.3函数的最值：（1）求最值的步骤；（2）应用题中求最值的方法.
