1、第四节 微 元 法 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 一、案例一、案例 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 利用定积分的思想求解曲边梯形的面积时，“分割-取近似-求和-取极限”可概括为以下两步：将区间细分成很多小的区间，在每个小区间上第一步第一步 分割与取近似分割与取近似近似代替“以直代曲”，用矩形面积 iixf)(iixfA)(将所有小面积全部加起来，即取极限，当最大的小区间趋于零时，得到曲边梯形第二步第二步 求和与取极限求和与取极限AA()dbaAf x x函数f(x)在区间a,b内的定积分，即 二、二、概念和公式的引出概念和公式的引出 所求量所求量U U满足以下条件满足以下条件
2、:x,ba(1)U(1)U是与一个变量是与一个变量的变化区间的变化区间有关的量，且在该区间上具有可加性有关的量，且在该区间上具有可加性 为为,ba(2)(2)在在,iiixxxiUiixf)(),(iiiixxx)(xf,ba的部分区间的部分区间上对应部分量上对应部分量的近似值可表示为的近似值可表示为，其中上的连续函数上的连续函数 那么就可考虑用定积分来表达这个量那么就可考虑用定积分来表达这个量U U写出量写出量U U的积分表达式可简化为如下步骤：的积分表达式可简化为如下步骤：根据问题的具体情况，选取一个变量（如x）第一步第一步为积分变量，并确定它的变化区间a,b;写出U在任一小区间x,x+d
3、x上的微元dU=f(x)dx第二步第二步 以所求量U的微元f(x)dx为被积表达式，写出第三步第三步区间a,b上的定积分，得()dbaUf x x微元法微元法上述方法称为或元素法。例1 由变化率求总改变量一般地，假设)(xF是某一量F(x)相对于自变量x的变化率，则在x,x+dx上，由微分与导数的关系，得微元()()ddF xF xx用微元法，得到从x=a到x=b之间F(x)的总变化为()()()dbaF bF aF xx 三、三、进一步的练习进一步的练习d()dWr tt第二步以r(t)dt为被积表达式，在时间段20d)(ttrW例2 水箱积水设水流到水箱的速度为r(t)Lmin，问从t=0
4、s到解第一步 时间内，将水的流速近似,ttt在看作是匀速的，得水量微元t=0s到t=2s这段时间内水流入水箱的总量W为t=2s这段时间内水流入水箱的总量W是多少？定积分的进一步应用 1 平面图形的面积 2 旋转体的体积 3 平面曲线的弧长 4 变力所作的功 1、平面图形的面积 一、直角坐标系下面积的计算 二、极坐标系下面积的计算直角坐标系下面积的计算直角坐标系下面积的计算 一、直角坐标系下面积的计算 二、进一步练习 一、直角坐标系下面积的计算公式（1）由区间a,b上的连续曲线以及直线x=a、x=b围成的平面图形，如图所示，面积微元为 xxfSd)(d该平面图形的面积 baxxfSd)()0)(
5、)(xfxfy（2）由区间a,b上的连续曲线y=f(x)、y=g(x)()(xfxg以及直线x=a、x=b围成的平面图形如图所示，面积微元为 xxgxfSd)()(d该平面图形的面积 baxxgxfSd)()(（3）由左右两条曲线如图所示，面积微元为 xxgxfSd)()(d该平面图形的面积 dcyyySd)()(),(yx)(yx以及直线y=c、y=d围成的平面图形)()(yy例例3 3 二二、进一步的练习进一步的练习解求两抛物线求两抛物线xyxy22,所围成的图形的面积所围成的图形的面积,22xyxy解方程组解方程组)1,1(),0,0(得交点：得交点：所求图形的面积所求图形的面积31)3
6、132(d)(10323102xxxxxA 例例4 4 1xy2,yxy求曲线求曲线与直线与直线所围成的图形的面积所围成的图形的面积 解xyxy1),1,1()1,1(得交点：得交点：（舍去）（舍去）解方程组解方程组 y21 y选取选取为积分变量，则为积分变量，则 21d)1(yyyA212)ln2(yy2ln23思考：思考：x为积分变量，会出现什么情况？若取若取例例5 5 求椭圆求椭圆12222byax所围成的图形的面积.椭圆的面积A是椭圆在第一象限部分的面积A1的四倍,有 解14AA axy0d4椭圆的参数方程为:tbytaxsin,cos于是 020)cosd(sin4d4tatbxyA
7、attab022dsin420d)2cos1(2ttabab极坐标系下面积的计算极坐标系下面积的计算 一、极坐标系下面积的计算 二、进一步练习求曲边扇形的面积求曲边扇形的面积 A，积分变量为积分变量为 ，a a,b b ，下面应用微元法找面积下面应用微元法找面积 A 的微元的微元 dA，任取一个子区任取一个子区间间 ,+d a a,b b ，圆心角的圆扇形的面积圆心角的圆扇形的面积作为面积微元，作为面积微元，如图中斜线部分如图中斜线部分的面积的面积.即即.)(212ddA于是于是.)(212badA 一、极坐标系下面积的计算公式 由曲线由曲线 及两条半直线及两条半直线 =a a，=b b a
8、a b b 所围成的图形称为曲边扇形所围成的图形称为曲边扇形.)(用用 处的极径处的极径 为半径，为半径，以以 d 为为)(例例6 6 二二、进一步的练习进一步的练习解 a)0(a02计算阿基米德螺线上相应于上相应于从从变到变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积的一段弧与极轴所围成的图形的面积.ad)(21220aA203261a3234a,2,0在指定的这段螺线上在指定的这段螺线上的变化区间为的变化区间为曲线为曲线为所求面积为所求面积为2、旋转体的体积 一、旋转体的体积 二、进一步练习 一、旋转体的体积一、旋转体的体积(1)平面图形绕x轴旋转所成的立体的体积 由连续曲线y=f(x)、直线 x=
9、a、x=b以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体，如图所示 它被任意一个垂直于x轴的平面所截，得到的截面为2)()(xfxA以f(x)为半径的圆，其面积为 故所求旋转体的体积为 2()dbaVfxx(2)绕y轴旋转所成的立体的体积 y=d以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为 2()ddcVyy)(yx、直线 y=c、由连续曲线例7 二、二、进一步的练习进一步的练习解x,0hx取取为积分变量，则为积分变量，则，所求圆锥体的体积 hrxhrxxhrVhh203222033d)(xhry)0(hhxxx求由直线及直线及直线和和轴所围成的三角形绕轴所围成的三角形绕轴旋
10、转而生成的圆锥体的体积。例8 计算由椭圆计算由椭圆12222byaxx x轴旋转而成的旋转体轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体旋转椭球体)的体积的体积 所成的图形绕所成的图形绕这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22xaaby及及x x轴围成的图形绕轴围成的图形绕x x轴旋转轴旋转解而成的立体于是所求旋转椭球体的体积为而成的立体于是所求旋转椭球体的体积为aaxxaabVd)(2222aaxxaab)31(3222234ab3、平面曲线的弧长 一、弧长的计算 二、进一步练习曲线y=f(x)相应于 a,b上的任一微小区间 一、一、弧长的计算弧长的计算的长度ds来近
11、似代替，所以弧长微元(即弧微分)为 所求弧长为 的一小段弧的长度,dxxxs，可以用该曲线在点（x,f(x)）处的切线上相应的一小段222ds(d)(d)1()dxyfxx 2 1()dbasfxx若曲线由参数方程若曲线由参数方程)()()(battytx)()(tt、,ba给出，其中给出，其中这时弧微分为这时弧微分为在上具有连续导数，上具有连续导数，tttyxsd)()()d()d(d2222从而所求弧长从而所求弧长 batttsd)()(22例9 二二、进一步的练习进一步的练习解 2332xy 3x8x计算曲线计算曲线介于介于与与之间的一段弧的长度 xxxxsd1d)(1d2338)1(3
12、2d1832383xxxs弧微分所求弧长所求弧长例10 解)cos1(),sin(ayax)20(计算摆线计算摆线 的一拱的一拱的长度的长度 dsin)cos1(d2222aasd)cos1(2 ad2sin2a弧微分弧微分20d2sin2as20)2cos2(2 aa8则所求弧长为则所求弧长为4 变力所做的功 一、功的计算 二、进一步练习由物理学知道，物体受常力F作用沿力的方向移动 一、一、功的计算功的计算如果作直线运动的物体在运动过程中所受的力是变化SFW一段距离S，则力F对物体所作的功为的，设物体所受的力与移动的位移x之间满足y=F(x)，求此力将物体从x=a移到x=b所作的功 变力在一
13、微小段 d,xxx上所作的功可视为常力所以，总功为 所作的功，功的微元为 d()dWF xx，()dbaWF xx例11 二二、进一步的练习进一步的练习解一弹簧拉长0.01m时所用的力为2N.求将弹簧从自然长度拉长0.1m时所作的功。设弹簧的一端固定，将弹簧在平衡位置时的自由端作原点，拉伸方向为 轴正向，建立坐标系由胡克定理有，弹力 ，其中 是比例常数，为弹簧伸长的长度xkxxF)(kxxxF200)(有有所求功为 1.00d200 xxW1.002100 x（J）当x=0.01m时，F=2N，所以k=200N/m例12 把一个带 电量的点电荷放在轴上坐标原点 处，它产生一个电场，若有一个单位
14、正电荷与原点的距离为 ，则电场对它的作用力为 .求单位正电荷由 移动到 时,电场力对它所做的功又如果把该单位正电荷移到无穷远处,电场力做了多少功？qO2rqkF r为常数）k(ar br)(ba 解rrqkWbad2barkq1)11(bakq若移到无穷远处，电场力对单位正电荷所做的功为无穷区间上的广义积分 rrqkad2arkq1akq例13 半径为R，高为H的圆柱形水箱，盛满了水，问要将箱内的水全部抽出要做多少功？解xxRgd2即所求功的微元为xxRgWdd2所求功为 xxRgWd2H0如图所示,取 为积分变量相应于 上任一小区间 的小薄圆柱体水重近似为（为水的密度），把这小薄圆柱体水抽出箱外需做功近似为x,0Hd,xxxxRgd22221HRg
