1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程解的结构 第七节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第十二章 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1)自由
2、振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)xcf成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力作用，t pHFsin，令mhH则得强迫振动方程:t phxktxntxsindd2dd222机动 目录 上页 下页 返回 结束 求电容器两两极板间电压 0ddiRCqtiLE例例2.联组成的电路,其中R,L,C 为常数,sintEEm所满足的微分方程.cu提示提示:设电路中电流为 i
3、(t),LERKCqqi上的电量为 q(t),自感电动势为,LE由电学知,ddtqi,CquCtiLELdd根据回路电压定律:设有一个电阻 R,自感L,电容 C 和电源 E 串极板机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得0dd2dd2022CCCututuLERKCqqi22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin机动 目录 上页 下页 返回 结束 化为关于cu的方程:,ddtuCiC注意故有 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一
4、般形式为方程的共性 为二阶线性微分方程.例例1例例2,)()()(xfyxqyxpy 可归结为同一形式:)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn时,称为非齐次方程;0)(xf时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(221
5、1xyCxyCy将代入方程左边,得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC)()(2222yxQyxPyC(叠加原理)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解)()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:)(,),(),(21xyxy
6、xyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn,0)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，,sin,cos,122xx在(,)上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，,12xx若在某区间 I 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点,321,kkk必需全为 0,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(
7、),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21,kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy(无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0,则)(),(21xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21,yy可微函数线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如例如,方程0 yy有特解,cos1xy,sin2xy 且常数,故方程的通解为xC
8、xCysincos21(自证)推论推论.nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1)1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无关解,则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解.证证:将)(*)(xyxYy代入方程左端,得)*(yY)*()(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy)()(Y
9、xQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ复习 目录 上页 下页 返回 结束)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程xyy 有特解xy*xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4.),2,1()(nkxyk设分别是方程的特解,是方程),2,1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.机动
10、 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程)()()()1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(*xy是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 常数,则该方程的通解是().321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解,21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(32122
11、11yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研考研)3322311)()()(yyyCyyCD机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,
12、2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束*四、常数变易法四、常数变易法复习:常数变易法:)()(xfyxpy对应齐次方程的通解:)(1xyCy xxpexyd)(1)(设非齐次方程的解为)(1xyy 代入原方程确定).(xu对二阶非齐次方程)()()(xfyxQyxPy 情形情形1.已知对应齐次方程通解:)()(2211xyCxyCy设的解为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv)(),(21待定xvxv由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:)(xu机动 目录 上页 下页 返回 结束 2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含为使令
13、02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy 将以上结果代入方程:2211vyvy1111)(vyQyPy)()(2222xfvyQyPy 得)(2211xfvyvy故,的系数行列式02121yyyyW21,yy是对应齐次方程的解,21线性无关因yyP10 目录 上页 下页 返回 结束 fyWvfyWv12211,1积分得:)(),(222111xgCvxgCv代入 即得非齐次方程的通解:)()(22112211xgyxgyyCyCy于是得 说明说明:将的解设为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一 个条件,方程的引入是为了简化计算
14、.机动 目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2.).(1xy仅知的齐次方程的一个非零特解,)()(1xyxuy 令代入 化简得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(111设其通解为)()(2xzxZCz积分得)()(21xuxUCCu(一阶线性方程)由此得原方程的通解:)()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy代入 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.0)1(yyxyx的通解为,21xeCxCY 的通解.解解:将所给方程化为:1111 xyxyxxy已知齐次方程求2)1()1(xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用,建立方程组
15、:021vevxx121xvevx,121xexvv解得积分得xexCvxCv)1(,2211故所求通解为)1(221xxeCxCyx)1(221xeCxCx,目录 上页 下页 返回 结束 例例6.42)()2(xyyxxyx 求方程的通解.解解:对应齐次方程为0)()2(2 yyxxyx由观察可知它有特解:,1xy 令,)(xuxy 代入非齐次方程后化简得xuu 此题不需再作变换.特征根:,1,0rr设的特解为)(BAxxu于是得的通解:)(22121xxeCCux故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)代入可得:1,21BA)(232121xxexCxCuxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 P300 题1,3,4(2),(5)作业作业 P 301 *6,*8 第八节 目录 上页 下页 返回 结束
