1、目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 一、周期为一、周期为2 l 的周期函数的的周期函数的傅里叶级数傅里叶级数 第十二章 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版一、周期为一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数周期为 2l 的函数 f(x)周期为 2 的函数 F(z)变量代换lxz将F(z)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一
2、类间断点2)在一个周期内只有有限个极值点naxlxnxflbllndsin)(1l1xlxnxflldcos)(),2,1,0(n),2,1(n设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶级数展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f(x)的连续点处)其中定理定理.目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版证明证明:令lxz,则,llx,z令)(zF,)(z lf则)2()2(zlfzF)2(lzlf)(zlf)(zF所以)(zF且它满足收敛定理条件,将它展成傅里里叶级数:10sincos2)(nnnznbznaazF(在 F(z
3、)的连续点处)(xf变成是以2 为周期的周期函数,目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2,1,0(n),3,2,1(n),2,1,0(n),3,2,1(n(在 f(x)的 连续点处)xlxnxflldcos)(证毕 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版说明说明:1)(nnbxf),2,1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f(x)的连续点处)lxnsinl20l如果 f(x)为
4、偶函数,则有(在 f(x)的连续点处)2)(0axf),2,1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注:无论哪种情况,).()(21xfxf在 f(x)的间断点 x 处,傅里里叶级数都收敛于l20l如果 f(x)为奇函数,则有 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版)(tftO0d)1sin()1sin(ttntn例例1.交流电压tEtEsin)(经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解:这个半波整流函数2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里里叶级数.,上的表达式为0t0 t2E的周期是22目录 上页 下页 返回 结
5、束 2022-12-2高数同济六版000d2sintt21Ea tE2cos212时1n0d)1sin()1sin(ttntn2Eantnn)1cos()1(12E0tnn)1cos()1(1111)1(111)1(21nnnnEnn)1(1)1(21nEn32 ,0 kn,)41(22kE),1,0(kkn2目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版tttEbdsinsin01ttntnEd)1cos()1cos(20)1()1sin(2ntnEbn0)1()1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1(20022sin2ttE2En 1 时目录 上
6、页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版由于半波整流函数 f(t),),(上连续在)(EtftEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分说明说明:交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近 f(x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.)(tftO22目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版Oyx2例例2.把展开成)20()(xxxf(1)正弦级数;(2)余弦级数.解解:(1)将 f(x)作奇周期延拓,则有),2,1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0
7、222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2,1()1(41nnn14)(nxf2sin)1(1xnnn)20(x在 x=2 k 处级数收敛于何值?目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版O 2yx(2)将 作偶周期延拓,)(xf),2,1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1)1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,)12(822k),2,1(k则有1222)12(cos)12(181kxkk)20(x12 kn目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版O 2yx说明说明:此式对0
8、x也成立,8)12(1212kk由此还可导出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222)12(cos)12(181)(kxkkxxf)20(x12)12(1kk据此有目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版当函数定义在任意有限区间上时,方法方法1,)(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF,)2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数)(zF周期延拓将2abxz)(xf在,ba代入展开式上的傅里叶级数 其展开方法为:xab2ba目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版方法方法2,)(baxxf令,a
9、zxzazfxfzF,)()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将 代入展开式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦级数 xab目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版例例3.将函数)155(10)(xxxf展成傅里里叶级数.解解:令,10 xz设)55()10()()(zzzfxfzF将F(z)延拓成周期为 10 的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故),2,1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10)1(),2,1(n则它满足收敛定5sin)1(10)(1znnzFnn)55(z5sin)1(10101xnnxnn
10、)155(x)(zFz55O目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版利用欧拉公式欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式设 f(x)是周期为 2 l 的周期函数,则lxnblxnaaxfnnnsincos2)(1021coslxnlxnlxniiee2isinlxnlxnlxniiee1022)(nnaaxflxnlxniiee2inblxnlxniiee102i2nnnbaa2innba lxnielxnie0cncnc目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版llxfl)(21llxxfld)(21200ac llxlxnxfldcos
11、)(1212innnbacllxlxnxfldsin)(illxlxnlxnxfldsinicos)(21llxfl)(21),2,1(dnxlxnie注意到2innnbacxd同理),2,1(nlxnie目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版傅里叶级数的复数形式:xxflcTxnllnde)(212iTxnnncxf2ie)(),2,1,0(n因此得目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版式的傅里里叶级数.例例4.把宽为 ,高为 h,周期为 T 的矩形波展成复数形解解:在一个周期,22TT)(tu它的复数形式的傅里里叶系数为 2 2d1thTTh内矩
12、形波的函数表达式为 022d)(1TTttuTc22,th2222,0TTtt22Tyx22ThO目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版ttuTTtnTTde)(12i2 2nc2 22ide1thTTtnTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnnTnn2iesin10n),1,0,2(kTkt i2nTThi21nhTtn2ie22TnTniiee目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版为正弦 级数.内容小结内容小结1.周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 间断点)其中naxlxnxfl
13、lldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1),1,0(n),2,1(n当f(x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版思考与练习思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答答:用系数公式计算如分母中出现因子 nk作业作业:P319 1(1),(3);2(2);*3 从而便于计算系数和写出收敛域.,时nnbakkba 或则必须单独计算.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版备用题备用题)11(2)(xxxf将期的傅立叶级数,并由此求级数121nn(1991 考研)解解:y1Ox12)(xf为偶函数,0nb100d)2(2xxa5xxnxand)cos()2(2101)1(222nn因 f(x)偶延拓后在,),(上连续 x225,)12cos()12(14122xkkk展开成以2为周1,1x的和.故得 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-2高数同济六版,0 x令得122)12(14252kk故8)12(1212kk121nn12)12(1nn12)2(1nn12141nn121nn12)12(134nn62
