1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 第1课时 12022-12-2请叙述三条公理和三条推论请叙述三条公理和三条推论如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条
2、过该点的公如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线共直线 22022-12-21、空间中两条直线的位置关系有（）A、1种 B、2种 C、3种 D、无数种 111:1?AABCCC提问直线与直线什么关系2 直线MB 与直线什么关系B1A1C1D1NMABCD32022-12-2B1A1C1D1NMABCD异面直线的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）111:1AABCCC例如直线与异面直线关系2 直线MB 与异面直线关系主要特征：既不平行，也不相交42022-12-2B1A1C1D1NMABCD异面直线的定义：我们把不同在任
3、何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）111:1AABCCC回答直线与异面直线关系2 直线MB 与异面直线关系主要特征：既不平行，也不相交52022-12-2 为了表示异面直线为了表示异面直线 a，b不共面的特点，不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如作图时，通常用一个或两个平面衬托，如下图。下图。ab 1ab 2ab 362022-12-2ABCDGHEF C GAEHDB F如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？请你与同学们共同探究？看谁说得最多？共3对：AB与CD，AB与
4、GH，GH与EF72022-12-2空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种：12:2,1 若 从 有 没 有 公 共 点 的 角 度 来 看 可 分 为 两 类若 从有 且 仅 有 一 个 公 共 点相 交 直 线平 行 直 线没 有 公 共 点异 面 直 线相 交 直 线在 同 一有 没 有 共 面 的个 平 面 内平 行 直 线不任 何同 在一 个 平 面角 度 来 看,也 可 分 为 两 类内:异 面 直 线82022-12-21、空间中两条直线的位置关系有（）A、1种 B、2种 C、3种 D、无数种 2、空间中两条平行或相交的直线一定（）A、共面 B、异面 C、可能共面也可能异面 D
5、、既不共面也不异面CA92022-12-2 3、“a，b是异面直线”是指 ab=且a不平行于b；a 平面，b 平面且ab=a 平面，b 平面 不存在平面，能使a 且b 成立上述结论中，正确的是（）（A）（B）（C）（D）注意：不能误认为分别在不同平面内的两直线 就是异面直线.如：Cab102022-12-21、两条直线、两条直线a，b分别和异面直线分别和异面直线c，d都相交，则直线都相交，则直线a，b的位置关系是的位置关系是()（A）一定是异面直线）一定是异面直线（B）一定是相交直线）一定是相交直线（C）可能是平行直线）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线）可能是异面直线，也可
6、能是相交直线2、一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一、一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一 条的位置关系是（条的位置关系是（）（A）平行）平行 （B）相交）相交 （C）异面）异面 （D）相交或异面）相交或异面DD112022-12-23、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）（A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能4、异面直线a，b满足a，b，=l，则l与a，b的位置关系一定是（）（A）l与a，b都相交 （B）l至少与a，b中的一条相交 （C）l至多与a，b中的一条相交 （D）l至少与a，b中的一条平行DB122022-12-2,a b ca b已知是三
7、条直线若是异面直线,b,c是异面直线,判断a与c的位置关系,并画图说明.:,a c答案 与 可能相交也可能平行也可能异面.ab 1cab 2cab 3c132022-12-2异面直线的判定定理：过平外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。分析：证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即需要抓住“不同在任何一个平面内”中的“任何”，若一个平面一个平面地寻找是不可能实现的。因此，必须找到一个间接法来证明，反证法是一种比较有效的好方法。142022-12-2.:aABa已知:如图所示,a,A,B,B求证 直线与 是异面直线.AaB.,.,.AB aaa BAB a 证明:(反
8、证法)假设直线与 是共面,即有平面 使得AB,a 于是A,B.又 aB,B 过 和 有且只有一个平面 即平面 于是平面 与 是同一个平面,即=A这与已知A相矛盾.直线与 是异面直线.152022-12-2异面直线的判定方法：定义法：此时需借助反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后推出 矛盾即可。定理法：即用判定定理，用该方法证明时，必须阐述定理满足的条件：然后可以推出aa,A,B,BABa直线与 是异面直线.162022-12-2第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2空间中直线
9、与直线之间的位置关系 人教版必修二172022-12-2问题：平面几何中，两条直线的位置关系：平行或相交在空间中是否还是如此呢？182022-12-2在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关系ABCDA1B1C1D1（1）AB和C1D1；（2）A1C1和AC；（3）A1C和D1B：（4）AB和CC1；（5）BD1和A1C1；192022-12-2异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。（即既不平行也不相交）异面直线的画法：abab202022-12-2 Aa1、平行ab没有公共点2、相交bA a3、异面没有公共点b有且只有一个公共点Aba 共面212022-12-2练习
10、1：判断下列说法的对错1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；3、a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线；4、a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面一定异面；、则、baba,2FFFF222022-12-2练习2：正方体ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D11、与A1A是异面的有:2、与D1B异面的有：BC DC B1C1 D1C1AA1 AD A1B1 B1C1 CC1 CD232022-12-2同一平面内，平行于第三条直线的两条直线互相平行公理公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行ABCDA1 B1C1D1242022-12-2AEHGFBCD空间四边
11、形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证，四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为 EH是ABD的中位线，所以 EH/BD，且EH1/2BD.同理，FG/BD，且FG1/2BD.所以 EH/FG，且EHFG.所以，四边形EFGH是平行四边形.252022-12-2复习引入新课讲解例题选讲课堂练习课堂小结262022-12-2ABCD复习与准备：平面内两条直线的位置关系相交直线平行直线相交直线（有一个公共点）平行直线（无公共点）两路相交立交桥立交桥中,两条路线AB,CDaboab既不平行，又不相交NEXTBACK272022-12-2ABCD六角螺母NEXTB
12、ACK282022-12-2a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab合作探究一NEXTBACK练习1：在教室里找出几对异面直线的例子292022-12-2NEXTBACK 两直线异面的判别二:两条直线不同在任何一个平面内.两直线异面的判别一:两条直线 既不相交、又不平行.注1不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。1.异面直线的定义:注意：在不同平面内的两条直线不一定异面302022-12-2 按平面基本性质分同在一个平面内相交直线平行直线 不同在任何一个平面内:异面直线 有一
13、个公共点:按公共点个数分相交直线无 公 共 点平行直线异面直线NEXTBACK 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 312022-12-22.异面直线的画法说明:画异面直线时,为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.如图：aabaAbb(1)(3)(2)NEXTBACK322022-12-2合作探究二如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么 AB,CD,EF,GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对?FHCBEDGA答:共有三对NEXTBACKGEHFD（C）A（B）332022-12-2abced我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,
14、那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边 a,b,c,d,e,之间有何关系？ab c d e 公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行平行线的传递性NEXTBACK推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行342022-12-2在平面内,我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”空间中这一结论是否仍然成立呢？定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补观察:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,ADC与A1D1C1,ADC与A1B1C1两边分别对应平
15、行,这两组角的大小 关系如何?答:从图中可看出,ADC=A1D1C1,ADC+A1B1C1=180OD1C1B1A1CABDNEXTBACK352022-12-23.异面直线所成的角 在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图.在空间,如图所示,正方体ABCDEFGH中,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?ABGFHEDCO(2)问题提出(1)复习回顾NEXTBACK362022-12-2(3)解决问题异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点O作 直线 aa,b b 则把 a 与 b 所成的锐角(或直
16、角)叫做异面直线所成的角(或夹角).abb aO思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?NEXTBACK异面直线所成的角的范围(0,90 oo如果两条异面直线 a,b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a ba 372022-12-2NEXTBACK思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小 是否改变?aa,a a a a(公理4),解答：如图设a 与 b 相交所成的角为1,a 与 b 所成的角为2,同理 bb,1=2(等角定理)b aO1aab2
17、答:这个角的大小与O点的位置无关.382022-12-2 在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等)392022-12-2下图长方体中平行相交异面点击旋转长方体 BD 和FH是 直线 EC 和BH是 直线BH 和DC是 直线BACDEFHG(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?4分别是：CG、HD、GF、HE课后思考:这个长方体的棱中共有多少对异面直线?(1)说出以下各对线段的位置关系?NEXTBACK4.例题选讲例1402022-12-2ABGFHEDC例2 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所
18、成的角？(2)FO与BD所成的角？解:(1)如图:BFCG，EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，又 BEF中EBF=45 ，所以BE与CG所成的角是45ooNEXTBACKO连接HA、AF，依题意知O为AH中点,HFO=30o(2)连接FH，所以FO与BD所成的夹角是30o四边形BFHD为平行四边形，HFBDHFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角HD EA，EA FB HD FB=则AH=HF=FA AFH为等边412022-12-2NEXTBACK 求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。三求：在一恰当的
19、三角形中求出角422022-12-2 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度?(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?3232解答：(1)GFBC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtEFG中，求得中，求得EGF=45o(2)BFAE FBG（或其补角）为所求,RtBFG中，求得FBG=60oNEXTBACK5.课堂练习ABGFHEDC32322432022-12-2不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线 平行直线异面直线空间两直线的位置关系6.课堂小结NEXTBACK公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行异面直线的求法:一作(找)二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补等角定理：异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角作业：P56：4,6442022-12-2
