1、第二讲第二讲 3.3 3.3 柯西积分公式柯西积分公式3.4 3.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数3.3 柯西积分公式柯西积分公式 （Cauchy integral formula）0)(.)(,)(,00000一般不解析在则的一条闭曲线内围绕是内解析在单连通设CdzzzzfzzzzfzDCDzDzfD 100)()(CCdzzzzfdzzzzf的的内内部部曲曲线线在在内内部部的的任任意意包包含含由由复复合合闭闭路路定定理理得得CCz 10,分析分析DCz0C1)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfCCC )0(01可可充充分分小小 zzzC)(
2、)(,0)(,)(0zfzfzfCzf 时时当当上上的的函函数数值值在在的的连连续续性性.,这这就就是是下下面面的的定定理理这这个个猜猜想想是是对对的的DCz0C1猜想积分猜想积分特别取特别取其中曲线其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为是按逆时针方向取的，我们称它为柯西积分公式柯西积分公式.定理定理3.7 设设f(z)在简单闭曲线在简单闭曲线C所围成的区域所围成的区域D内内解析，解析，是是D内任一点，则内任一点，则有有0zCDD上上连连续续，在在 柯西积分公式柯西积分公式 Cdzzzzfizf00)(21)()()(002zfidzzzzfC 第二种形式更适用于计算积分，第二种形式更适用于
3、计算积分，通常用于被积函通常用于被积函数在数在C内有一个奇点内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析该奇点在被积函数解析式的分母。式的分母。.1,0,1,2d)(1 00nnizzzrzzn此经典例题是柯西积分公式的特例，此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=1说明说明:1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。推
4、论推论1（平均值公式）（平均值公式）设设 在在 内解析，内解析，()f z0|zzR上连续，则上连续，则在在RzzC|:|0 21)(0 zf 200)Re(dzfi说明：说明：一个解析函数在圆心处的值一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值等于它在圆周上的平均值.200Re)Re(21dRiezfiiii 200)Re(21dzfi CidzzzzfizfzzC000)(21)(Re:则则因因为为证明证明推论推论2 设设)(zf在由简单闭曲线在由简单闭曲线、1C2C围成的二连通围成的二连通区域区域内解析，D并在曲线并在曲线1221CCCC在在上上连连续续，、的内部，的内部，内内一一点点
5、，则则为为Dz0 100)(21)(Cdzzzzfizf 20)(21Cdzzzzfi 例例1 求下列积分的值求下列积分的值 222.)(9(2;sin)1(zzdzizzzdzzz0|sin2sin)1(02 zzzidzzz 解解：222225|92)(9)(9()2(zizzzzidzizzzdzizzz 43211zdzzz）（求：解解iiidzzzdzdzzzzfzzz62212321)3211(21)(444及.1,0122线在内的任意简单正向曲为包含求CdzzzzC例例2 21222121212CCCdzzzzdzzzzdzzzz解解CC1C21xyo 21112112CCdzz
6、zzdzzzziizzizzzzC 4 212211210 积积分分公公式式由由 由平均值公式还可以推出解析函数的一个由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理。解析函重要性质，即解析函数的最大模原理。解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常重要数的最大模原理，是解析函数的一个非常重要的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数。数恒等于常数。定理定理3.8(最大模原理最大模原理)设设内内解解析析，在在区区域域Dzf)(不不是是常常数数，)
7、(zf则在区域则在区域 没没有有最最大大值值。内内zfD推论推论1在区域在区域内内的的解解析析函函数数，D若其模在区域若其模在区域D内达到最大值，则此函数必恒等于常数内达到最大值，则此函数必恒等于常数.推论推论2设设)(zf在有界区域在有界区域内内解解析析，D上上在在 D连续，则连续，则 zf必在区域必在区域D的边界上达到最大值。的边界上达到最大值。3.4 3.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数 (The higher order derivative of analytic function)一个解析函数不仅有一阶导数一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各而且有各高阶导数高阶导数,它的值
8、也可用函数在边界上的值通它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示过积分来表示.这一点和实变函数完全不同这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在它的导数在这区间上是否连续也不一定这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高更不要说它有高阶导数存在了阶导数存在了.求求导导得得两两边边在在积积分分号号下下对对对对积积分分公公式式0000)()(21)(zDzdzzzzfizfC Cdzzzzfizf200)()(21)(Cdzzzzfizf300)()(2!2)(),2,1()()(2!)(100)(ndzzzzfinzfCnn 形式上，形式上，.
9、定理定理3.9 设设f(z)在以简单闭曲线在以简单闭曲线C所围成的区域所围成的区域D 内解析内解析.在在 上连续，则上连续，则f(z)在在D内有任意内有任意阶导数，且阶导数，且CDD ,.)3,2,1()()(2!)(1)(ndzfinzfCnn )(21)(Cdzfizf 注注：Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)(.,)()(无无穷穷次次可可导导内内解解析析即即在在具具有有各各阶阶导导数数内内在在内内解解析析平平面面上上在在定定理理表表明明 DDzfDzzf一个解析函数的导数仍为解析函数。一个解析函数的导数仍为解析函数。)(!2)()(:0)(10zfnidzzzzfnCn
10、可可计计算算积积分分用用途途 第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在数在 C 内有一个奇点内有一个奇点 z0，该奇点在被积函数解，该奇点在被积函数解析式的分母。析式的分母。!)()()()(nzfidzzzzfnCn0102 高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积分公式是高阶导数公式当分公式是高阶导数公式当 n=0 时的情形。时的情形。等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等数学中函数泰勒级数里数学中函数泰勒级数里(z-z0)n 的系数。的系数。例例3 求下列积分
11、的值求下列积分的值,C为正向圆周为正向圆周:|z|=r 1.CzCzzzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225解解:1)函数函数 在在C内的内的 处不解析处不解析,但但 在在C内却是处处解析的内却是处处解析的.5)1(coszz.12)(cos)!15(2d)1(cos51)4(5|izizzzzC1zzcos5)1(coszz1z5)1(coszzzcos1z5)1(coszzzcos1z5)1(coszz的内部不相交且在取处不解析在CCCizCizCizzez21221122,:.)1()221222222)1()1()1(CzCzCzdzzedzzedzze 212222)()()
12、()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeiizei 22)()!12(2)()!12(2 12CCC2C1C)41sin(2)1sin1(cos)1(2)(1(22 iiieeiii高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而而在于利用求导计算积分在于利用求导计算积分.柯西不等式与刘维尔定理柯西不等式与刘维尔定理定理定理3.10 设函数设函数f(z)在以在以RzzC|:|0,.).,(!|)(|)(210nRMnzfnn内解析内解析,又又 ,则则RzzMzf0|)(|此式称为此式称为柯西不等式柯西不等式.证明证明 上解析，在对于任意的1
13、0110RzzzfRRR,:由导数公式，有由导数公式，有|)()(2!|)(|100)(Cnndzzzzfinzf.!nnRMnRRMn!221其中，其中，n=1,2,说明说明:（1）此不等式称为柯西不等式）此不等式称为柯西不等式.（2）在）在C上解析的函数，我们称它为一个整上解析的函数，我们称它为一个整 函数，例如函数，例如zezz,cos,sin都是整函数，关于整函数我们有下面重要都是整函数，关于整函数我们有下面重要的刘维尔定理的刘维尔定理.刘维尔定理刘维尔定理定理定理3.11 有界整函数一定恒等于常数有界整函数一定恒等于常数.证明证明 由由f(z)是有界整函数，即存在是有界整函数，即存在
14、),0(M使得使得.|)(|C,Mzfz),0(,C0z f(z)在在|0 zzz上解析上解析.由柯西公式，有由柯西公式，有/|)(|0Mzf令令 ，可见可见0)(,C00zfz从而从而f(z)在在C上恒等于常数上恒等于常数.应用解析函数有任意阶导数，可以证明应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，柯西定理的逆定理，莫勒拉定理：莫勒拉定理：如果函数如果函数f(z)在区域在区域D内连续，内连续，并且对于并且对于D内的任一条简单闭曲线内的任一条简单闭曲线C，我们，我们有有0)(Cdzzf那么那么f(z)在区域在区域D内解析。内解析。小结：本章五个定理都是为积分计算服务v1)柯西-古萨定
15、理用于计算闭合曲线内部无奇点的积分。v2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式).v3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有多个奇点的积分。v4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。课后作业：一、一、思考题：思考题：3 3 二、二、习题习题三三：10-1510-157675 P人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
