1、职高数学拓展模块：椭圆的定义及标准方程仙女座星系星系中的椭圆星系中的椭圆“传说中的传说中的”飞碟飞碟装饰中的椭圆装饰中的椭圆数数 学学 实实 验验 1取一条细绳，取一条细绳，2把它的两端固定在把它的两端固定在板上的两点板上的两点F1、F2 3用铅笔尖（用铅笔尖（M）把）把细绳拉紧，在板上慢细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图慢移动看看画出的图形形观察做图过程思考：观察做图过程思考：1绳长与绳长与F1、F2之间的距离关系之间的距离关系?2在变化过程中在变化过程中,什么始终为定值什么始终为定值?F1F2演示演示一一椭圆的定义椭圆的定义 平面上到两个定点平面上到两个定点的距离的和（的距离的和（2a）
2、等于定长（大于等于定长（大于|F1F2|）的点的轨）的点的轨迹叫椭圆。迹叫椭圆。定点定点F1、F2叫做椭叫做椭圆的焦点。圆的焦点。两焦点之间的距离两焦点之间的距离叫做焦距（叫做焦距（2c）。）。F1F2M椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：1222MFMFac二二椭圆方程推导的准备椭圆方程推导的准备 1建系设点建系设点 2列等式列等式 3等式坐标化等式坐标化 4化简化简 5说明说明MF1F2方程推导方程推导解：取过焦点解：取过焦点F1,F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系(如
3、图如图).设设M(x,y)是椭圆上任意一是椭圆上任意一点，椭圆的焦距点，椭圆的焦距2c(c0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a，则，则F1,F2的坐标别的坐标别是是(c,0)(c,0)。yoxMF1F22|21aMFMFMP222221)(|,)(|ycxMFycxMF因为aycxycx2)()(2222 得方程将方程移项将方程移项,两边平方两边平方,得得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa oyx由椭圆的定义，椭圆就是集合由椭圆的定义，椭圆就是集合2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得
4、)()(22222222caayaxca 整理得设所以即由椭圆的定义可知,0,22,22 cacaca)0(,222 bbca222222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得)0(,12222 babyax-这就是椭圆方程这就是椭圆方程二二椭圆的标准方程椭圆的标准方程1)0(12222babyax它表示：它表示：1椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴轴 2焦点是焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)3 c2=a2-b2 F1F2M0 xy二二椭圆的标准方程椭圆的标准方程2)0(12222babxay它表示：它表示：1椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴轴 2焦点是焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)
5、3c2=a2-b2 F1F2M0 xy1、椭圆的标准方程有焦点在、椭圆的标准方程有焦点在x轴和在轴和在y轴两种。轴两种。2、椭圆标准方程的等号左边是两项的完全平方、椭圆标准方程的等号左边是两项的完全平方和，等号右边是和，等号右边是1。3、椭圆标准方程中的、椭圆标准方程中的a，b及及c有着特定的含义，有着特定的含义，且是一组三角勾股数且是一组三角勾股数ac0,ab0,a2-c2=b2,a最大最大.4、由标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方、由标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母程中含字母x，y项的分母的大小来确定，焦点在项的分母的大小来确定，焦点在分母大的项对应的字母所在的坐标轴上。分
6、母大的项对应的字母所在的坐标轴上。例例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方写出适合下列条件的椭圆的标准方程程15 (1)a=4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴 (2)a=4，c=，焦点在，焦点在 y 轴上轴上 (3)两个焦点的坐标是（两个焦点的坐标是（0，-2）和（）和（0，2）并且经过点（并且经过点（-1.5，2.5）解解:(1)因为焦点在因为焦点在x轴上轴上,所以设所求方程为所以设所求方程为 a=4,b=1 所求方程为所求方程为11622 yx)0(,12222 babyax(2)因为焦点在因为焦点在y轴上轴上,所以设所求方程为所以设所求方程为 a=4,b=1 所求方程为所求方程为)0(1
7、2222baaybx11622yx(3)因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上轴上,所以设它的标准方所以设它的标准方程为程为 由椭圆的定义知由椭圆的定义知,)0(12222baaybx222235352()(2)()(2)2222a 求一个椭圆的标准方程需求几个量？求一个椭圆的标准方程需求几个量？答：两个。答：两个。a、b或或a、c或或b、c。且。且a2=b2+c2注意：注意：“椭圆的标准方程椭圆的标准方程”是个专有名是个专有名词，就是指上述的两个方程。形式是固定的。词，就是指上述的两个方程。形式是固定的。10211023102 又又 所以所求椭圆方程为所以所求椭圆方程为10a2c.64102
8、22cab.110622yx例2.判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标，写出焦点坐标1162522yx答：在答：在 x轴。（轴。（-3，0）和（）和（3，0）116914422yx答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和（）和（0，5）112222mymx答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上。焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上。例例3.将下列方程化为标准方程，并判将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，
9、写出焦点坐标定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标022525922yx192522yx0,22CBACByAx在上述方程中，在上述方程中，A、B、C满足什么条件，满足什么条件，就表示椭圆？就表示椭圆？答：答：A、B、C同号，且同号，且A不等于不等于B。13222yx1312122 yx122 BCyACx例例4(1)方程方程 表示椭圆表示椭圆,求求k的取值范围的取值范围.变式变式:若焦点在若焦点在y轴上轴上,求求k的范围的范围 解解:因为因为 表示椭圆表示椭圆,所以所以2212416xykk024016kk即即 16k24 k的取值范围是的取值范围是(16,24)1162422kykx解解:因为因为
10、 表示椭圆表示椭圆,所以所以2212416xykk024016kk即即 16k24 k的取值范围是的取值范围是(16,24)解解:将椭圆方程将椭圆方程5x2-ky2=5化为标准方程化为标准方程2215yxk 焦点是焦点是(0,2)c2=4,b2=1,ka52 1=4 k=-1k5(2)椭圆椭圆 的一个焦点是的一个焦点是(0,2),求求k的值的值.2255x ky例例5 已知已知B、C是两定点，是两定点，|BC|=6，且，且 ABC的周长等于的周长等于16，求顶点，求顶点A的轨迹方程的轨迹方程。分析：分析：1判断：和是常数；常数大于两个定判断：和是常数；常数大于两个定点之间的距离。故点的轨迹是椭
11、圆。点之间的距离。故点的轨迹是椭圆。2取过两个定点的直线做取过两个定点的直线做 x 轴，它的轴，它的线段垂直平分线做线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。从而保证方程是标准方程。3根据已知求出根据已知求出a、c，再推出，再推出a、b写写出椭圆的标准方程。出椭圆的标准方程。解：解：如图，以如图，以BC所在直线为所在直线为x轴，以线段轴，以线段BC的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。轴，建立直角坐标系。由已知由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，有，有|AB|+|AC|=10，但当点但当点A在在BC上，即上，即y=0时
12、，时，A、B、C、三、三点不能构成三角形，所以点不能构成三角形，所以A的轨迹方程是的轨迹方程是 01162522yyx即点即点A的轨迹是椭圆，且的轨迹是椭圆，且 1 2c=6，2a=16-6=10，c=3，a=5，b2=52-32=16ABC oxy 解题程序：解题程序：1根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆2象推导椭圆的标准方程时一样，以焦点所在象推导椭圆的标准方程时一样，以焦点所在 直线为一个坐标轴，以焦点所在线段的垂直平直线为一个坐标轴，以焦点所在线段的垂直平分线为另一坐标轴，建立直角坐标系。从而保分线为另一坐标轴，建立直角坐标系。从而保证椭圆的方程是标准方程。证
13、椭圆的方程是标准方程。3设椭圆标准方程，即用待定系数法设椭圆标准方程，即用待定系数法4写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程练习练习：1 已知三角形已知三角形ABC的一边的一边 BC 长为长为8，周长为周长为18，求顶点，求顶点A的轨迹方程的轨迹方程答：答：)0(192522yyx 1、本节课我们了解了椭圆的概念和椭圆的形、本节课我们了解了椭圆的概念和椭圆的形成过程。成过程。2、给出了椭圆的准确定义并推出了椭圆的标、给出了椭圆的准确定义并推出了椭圆的标准方程。准方程。3、椭圆的标准方程有两种，一种焦点在、椭圆的标准方程有两种，一种焦点在x轴。轴。另一种焦点在另一种焦点在y轴。轴。4、给出了椭圆标准方程焦点位置的判断方法。、给出了椭圆标准方程焦点位置的判断方法。5、求椭圆标准方程的方法主要是利用待定系数、求椭圆标准方程的方法主要是利用待定系数的方法求解出的方法求解出a和和b。作作 业业教材教材 96页页 1(3)，2，3(1)、(3)
