1、灿若寒星整理制作灿若寒星整理制作3.1.2 空间向量的数乘运算第三章 空间向量与立体几何本节课主要学习空间向量的数乘运算；共线向量定理及推论；共面向量定理及推论.本课以复习空间向量加法、减法的运算法则、几何意义、运算率及平面向量的数乘运算进行新课导入，学习空间向量的数乘运算.运用类比的思想，类比平面向量的数乘运算学习空间向量的数乘运算培养类比联想的探究意识和能力，二维到三维，平面到空间，思维拓展.例1和例2都是关于共面向量定理的应用。例1是寻找四点共面的条件，例2是证明四点共面。abba 加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律()()abcabc 注:两个空间向量
2、的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.abab bb 我们知道平面向量还有数乘运算我们知道平面向量还有数乘运算.类似地类似地,同样可以定义空间向量的同样可以定义空间向量的数乘运算数乘运算,其运算律是否也与平面向量其运算律是否也与平面向量完全相同呢完全相同呢?结论：结论：（1）空间中任意两个向量都是共面向量；）空间中任意两个向量都是共面向量；（2）涉及空间中任意两个向量问题，平面向量中的有关）涉及空间中任意两个向量问题，平面向量中的有关结论仍适用它们。结论仍适用它们。例如例如:a3a3a空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算与平面
3、向量一样，实数与平面向量一样，实数 与与 空间向量空间向量 的乘积的乘积 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.（1）当）当 时，时，与与 的方向相同的方向相同.（2）当）当 时，时，与与 的方向相同的方向相同.（3）当）当 时，时，是零向量是零向量.的长度是的长度是 的长度的的长度的 倍倍.aa0aaaaa00aa 显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()()()a babaa 即：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合重合,则这些向量叫做则这些向量叫做共线向量共线向量或或平行向量平行向量.ab 若若
4、P P为为A,BA,B中点中点,则则12 OPOAOBOABPal如图，为经过已知点如图，为经过已知点A且平行与已知非零向量且平行与已知非零向量 的直线，对空间任意一点的直线，对空间任意一点O，点，点P在直线在直线 上的上的充充要条件要条件是存在实数是存在实数t，使得，使得 ，其中向量，其中向量 叫做直线叫做直线 的方向向量的方向向量.lalOPOA ta al和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定.由此可判断空间任意三点是否共线.lABPOa ，由由a a知知存存在在一一的的t t,满满足足A AP P=t ta a,对对空空间间任任意意一一点点O O,
5、A AP P=O OP P-O OA A,所所以以O OP P-O OA A=t ta a即即O OP P=O OA A+t ta a 若若在在 上上取取A AB B=a a,则则有有O OP P=O OA A+t tA AB B.ll惟惟 共面向量共面向量共面向量共面向量:平行于同一个平面的向量平行于同一个平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面.dbac那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？由平面向量基本定理知，如果 ，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数
6、，使 a21 12aee 1e2e1 2 a1e2e得证.为什么?必要性必要性判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：（1）只需得到存在实数 ，使BCABACkAB 或（2）对空间任意点O，存在实数t,使OBtOAtOC)1(特别地，当t=1/2时，)(21OBOAOC此时，点C恰为线段AB的中点例例1.1.若对任一点若对任一点O O和不共线的三点和不共线的三点A A，B B，C C，有，有(,),OPxOAyOBzOC x y zR 则则x+y+zx+y+z=1=1是四点是四点P P，A A，B B，C C共面的共面的 （）A.A.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件B.B.
7、充分不必要条件充分不必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件C C典例展示典例展示.,OEOFOGOHkOAOBOCODABCDACOOAOBOCODEFGHEFGH2如如，已已知知平平行行四四形形，平平面面外外一一作作射射，在在四四射射上上分分取取，并并且且使使求求：，四四共共面面.例例图图边边过过点点线线条条线线别别点点证证点点OBAHGFECD,.(ABCD.=因因所所以以由由于于四四形形是是平平行行 四四 形形，所所因因 此此：以以OEOFOGOHkOAOBOCODOEkOA OFkOBOGkOC OHkODACABADEGOGOEkOCkOA k ACk ABAD)
8、()由由向向量量共共面面的的充充要要件件知知E E,F F,G G,H H 四四共共面面.k OBOAODOAOFOEOHOEEFEH证明证明1 1下列命题中正确的个数是下列命题中正确的个数是()若若 与与 共线，共线，与与 共线，则共线，则 与与 共线；共线；向量向量 ,共面即它们所在的直线共面；共面即它们所在的直线共面；若若 ，则存在惟一的实数，则存在惟一的实数，使，使 .A A1 1B B2 2C C3 3 D D0 0DaaaaabbbbbcccC3.3.下列说法正确的是（下列说法正确的是（）A.A.在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线B.B.在空间共线
9、的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线C.C.在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线D.D.在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线D4.4.下列说法正确的是（下列说法正确的是（）A.A.平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线B.B.空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面C.C.空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面D.D.空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面C 共线向量 共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共线，或直线平行于平面)0(/ababa)1(APyxOByOxOpabbyxpABtOAOPACyABxOAOP共面共面)1(0zyxOCzOByOAxOP1.1.空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算.2.2.共线向量的概念共线向量的概念.3.3.直线直线l的方向向量的方向向量.4.4.共面向量的概念共面向量的概念.课后练习课后练习课后习题课后习题
