1、灿若寒星整理制作灿若寒星整理制作2.3.4平面与平面垂直的性质平平面面与与平平面面垂垂直直的的性性质质定定理理文文字字语语言言两两个个平平面面垂垂直直,则则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _垂垂直直于于_ _ _ _ _ _的的直直线线与与另另一一个个平平面面_ _ _ _ _ _符符号号语语言言,=l,_ _ _ _ _ _ _,_ _ _ _ _ _a a图图形形语语言言一一个个平平面面内内交交线线垂垂直直a aa al思思考考:如如果果,那那么么平平面面内内的的直直线线都都和和平平面面垂垂直直吗吗?提提示示:如如果果,那那么么平平面面内内的的直直线线不不一一定定与与平平面面垂
2、垂直直.【知知识识点点拨拨】对对平平面面与与平平面面垂垂直直的的性性质质定定理理的的两两点点说说明明(1 1)定定理理的的作作用用该该定定理理也也可可以以视视为为直直线线与与平平面面垂垂直直的的判判定定定定理理.(2 2)定定理理的的意意义义从从平平面面与与平平面面垂垂直直的的性性质质定定理理可可以以看看出出,由由平平面面与与平平面面垂垂直直可可以以得得到到直直线线与与平平面面垂垂直直.而而由由平平面面与与平平面面垂垂直直的的判判定定定定理理可可以以看看出出,由由直直线线与与平平面面垂垂直直可可以以得得到到平平面面与与平平面面垂垂直直,其其转转化化关关系系可可表表示示为为这这种种相相互互转转化
3、化的的关关系系是是解解决决空空间间图图形形问问题题的的重重要要思思想想方方法法.面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理线面垂直面面垂直类类型型一一平平面面与与平平面面垂垂直直的的性性质质及及应应用用【典典型型例例题题】1 1.(2 20 01 13 3运运城城高高一一检检测测)已已知知直直线线m m，n n和和平平面面，,若若,m m,n n,要要使使n n,则则应应增增加加的的条条件件是是()A A.m mn nB B.n nm mC C.n nD D.n n2 2.如如图图,在在斜斜三三棱棱柱柱A AB BC C-A A1 1B B1 1C C1 1中中,B BA AC C=9 90 0,B
4、 BC C1 1A AC C,则则点点C C1 1在在平平面面A AB BC C上上的的射射影影H H必必在在()A A.直直线线A AB B上上B B.直直线线B BC C上上C C.直直线线A AC C上上D D.A AB BC C的的内内部部3 3.如如图图,已已知知P PA A平平面面A AB BC C,平平面面P PA AB B平平面面P PB BC C,求求证证:B BC C平平面面P PA AB B.【解解题题探探究究】1 1.应应用用面面面面垂垂直直的的性性质质定定理理需需要要具具备备哪哪些些条条件件?能能得得到到什什么么结结论论?2 2.题题2 2中中有有哪哪些些线线面面垂垂
5、直直?由由此此可可以以推推出出哪哪些些面面面面垂垂直直关关系系?若若,则则过过平平面面内内的的一一点点作作平平面面的的垂垂线线,该该垂垂线线与与平平面面有有什什么么关关系系?3 3.题题3 3中中为为了了应应用用“平平面面P PA AB B平平面面P PB BC C”应应如如何何作作出出辅辅助助线线?结结合合条条件件“P PA A平平面面A AB BC C”,应应如如何何作作辅辅助助线线?探探究究提提示示:1 1.应应用用面面面面垂垂直直的的性性质质定定理理需需要要具具备备以以下下条条件件:(1 1)两两个个平平面面垂垂直直.(2 2)在在其其中中一一个个平平面面内内作作交交线线的的垂垂线线.
6、结结论论:可可以以得得到到垂垂线线与与另另一一个个平平面面垂垂直直.2 2.A AC C平平面面A AB BC C1 1.由由此此可可以以推推出出平平面面A AB BC C平平面面A AB BC C1 1,平平面面A AA A1 1C C1 1C C平平面面A AB BC C1 1,平平面面A AB B1 1C C平平面面A AB BC C1 1.若若,则则过过平平面面内内的的一一点点作作平平面面的的垂垂线线,该该垂垂线线在在平平面面内内.3 3.为为了了应应用用“平平面面P PA AB B平平面面P PB BC C”应应在在平平面面P PA AB B(或或平平面面P PB BC C)内内作作
7、直直线线P PB B的的垂垂线线.结结合合条条件件“P PA A平平面面A AB BC C”应应在在平平面面P PA AB B内内作作直直线线P PB B的的垂垂线线.【解解析析】1 1.选选B B.已已知知直直线线m m,n n和和平平面面,若若,=m m,n n,应应增增加加条条件件n nm m,才才能能使使得得n n.2 2.选选A A.因因为为B BC C1 1A AC C,A AB BA AC C,B BC C1 1A AB B=B B,所所以以A AC C平平面面A AB BC C1 1,又又A AC C平平面面A AB BC C,所所以以平平面面A AB BC C平平面面A AB
8、 BC C1 1.又又平平面面A AB BC C平平面面A AB BC C1 1=直直线线A AB B,所所以以过过点点C C1 1再再作作C C1 1H H平平面面A AB BC C,则则H HA AB B,即即点点C C1 1在在平平面面A AB BC C上上的的射射影影H H在在直直线线A AB B上上.3 3.过过点点A A作作A AE EP PB B,垂垂足足为为E E,因因为为平平面面P PA AB B平平面面P PB BC C,平平面面P PA AB B平平面面P PB BC C=P PB B,所所以以A AE E平平面面P PB BC C,因因为为B BC C平平面面P PB
9、BC C,所所以以A AE EB BC C,因因为为P PA A平平面面A AB BC C,B BC C平平面面A AB BC C,所所以以P PA AB BC C,因因为为P PA AA AE E=A A,所所以以B BC C平平面面P PA AB B.【拓拓展展提提升升】1 1.应应用用面面面面垂垂直直性性质质定定理理应应注注意意的的问问题题应应用用面面面面垂垂直直性性质质定定理理证证明明相相关关问问题题时时,一一般般需需要要作作辅辅助助线线过过其其中中一一个个平平面面内内一一点点作作交交线线的的垂垂线线,使使之之转转化化为为线线面面垂垂直直,然然后后,进进一一步步转转化化为为线线线线垂垂
10、直直.2 2.平平面面与与平平面面垂垂直直的的其其他他性性质质(1 1)如如果果两两个个平平面面垂垂直直,那那么么经经过过第第一一个个平平面面内内一一点点垂垂直直于于第第二二个个平平面面的的直直线线在在第第一一个个平平面面内内.(2 2)如如果果两两个个平平面面垂垂直直,那那么么与与其其中中一一个个平平面面平平行行的的平平面面垂垂直直于于另另一一个个平平面面.(3 3)如如果果两两个个平平面面垂垂直直,那那么么其其中中一一个个平平面面的的垂垂线线平平行行于于另另一一个个平平面面或或在在另另一一个个平平面面内内.【变变式式训训练练】在在斜斜三三棱棱柱柱A AB BC C-A A1 1B B1 1
11、C C1 1中中,侧侧面面A AC CC C1 1A A1 1平平面面A AB BC C,A AC CB B=9 90 0.求求证证:B BC CA AA A1 1.【证证明明】因因为为A AC CB B=9 90 0,所所以以B BC CA AC C,又又因因为为侧侧面面A AC CC C1 1A A1 1平平面面A AB BC C,侧侧面面A AC CC C1 1A A1 1平平面面A AB BC C=A AC C,所所以以B BC C侧侧面面A AC CC C1 1A A1 1,又又A AA A1 1侧侧面面A AC CC C1 1A A1 1,所所以以B BC CA AA A1 1.类
12、类型型二二折折叠叠问问题题【典典型型例例题题】1 1如如图图,在在平平行行四四边边形形A AB BC CD D中中,A AB B=2 2,A AD D=4 4,B BD D=将将C CB BD D沿沿B BD D折折起起到到E EB BD D的的位位置置,使使平平面面E EB BD D平平面面A AB BD D,则则四四面面体体A AB BD DE E的的表表面面积积是是_ _ _ _ _ _.2 3,2 2.(2 20 01 13 3济济宁宁高高一一检检测测)如如图图,正正方方形形A AB BC CD D的的边边长长为为4 4,沿沿对对角角线线B BD D将将B BC CD D折折起起,使使
13、二二面面角角C C-B BD D-A A为为直直二二面面角角.(1 1)求求证证:A AC C=B BC C.(2 2)求求三三棱棱锥锥C C-A AB BD D的的体体积积.【解解题题探探究究】1 1.四四面面体体A AB BD DE E的的四四个个面面是是什什么么图图形形?如如何何证证明明?2 2.折折叠叠之之后后有有哪哪些些线线线线垂垂直直关关系系是是不不变变的的?有有哪哪些些线线段段的的长长度度不不变变?探探究究提提示示:1 1.通通过过证证明明A AB B平平面面B BD DE E,E ED D平平面面A AB BD D可可知知,四四面面体体A AB BD DE E的的四四个个面面都
14、都是是直直角角三三角角形形.2 2.折折叠叠之之后后有有O OC CO OD D,O OC CO OB B,A AO OO OB B,A AO OO OD D,B BC CC CD D,A AB BA AD D.线线段段O OA A,O OB B,O OC C,O OD D,A AB B,B BC C,C CD D,D DA A的的长长度度不不变变.【解解析析】1 1.因因为为A AB B=2 2,A AD D=4 4,B BD D=所所以以A AB B2 2+B BD D2 2=A AD D2 2,所所以以A AB BB BD D，因因为为平平面面E EB BD D平平面面A AB BD D
15、,所所以以A AB B平平面面B BD DE E,同同理理可可证证E ED D平平面面A AB BD D,所所以以A AB BB BE E,E ED DB BD D,E ED DA AD D，所所以以四四面面体体A AB BD DE E的的四四个个面面都都是是直直角角三三角角形形，所所以以S SA AB BD D=又又S SB BD DC C=S SA AB BD D=而而E EB BD D即即为为B BD DC C，2 3,1AB BD2 32，2 3,所所以以S SB BD DE E=因因为为B BE E=B BC C=A AD D=4 4，所所以以S SA AB BE E=A AB BB
16、 BE E=4 4,又又D DE E=D DC C=A AB B=2 2，所所以以S SA AD DE E=A AD DD DE E=4 4.故故四四面面体体A AB BD DE E的的表表面面积积为为答答案案：2 3.121284 3.84 32 2.(1 1)因因为为C CO OB BD D,平平面面B BC CD D平平面面A AB BD D，C CO O平平面面B BC CD D,平平面面B BC CD D平平面面A AB BD DB BD D,所所以以C CO O平平面面A AB BD D.因因为为正正方方形形A AB BC CD D边边长长为为4 4,所所以以C CO O=O OA
17、 A=在在R Rt tC CO OA A中中,所所以以A AC C=B BC C.(2 2)V VC C-A AB BD D=2 2,2222ACCOAO2 22 24,21116 242 2.323【拓拓展展提提升升】解解决决折折叠叠问问题题的的关关键键和和解解题题步步骤骤(1 1)关关键键：解解决决折折叠叠问问题题的的关关键键在在于于认认真真分分析析折折叠叠前前后后元元素素的的位位置置变变化化情情况况,看看看看哪哪些些元元素素的的位位置置变变了了,哪哪些些没没有有变变.(2 2)解解题题步步骤骤：平平面面空空间间：根根据据平平面面图图形形折折出出满满足足条条件件的的空空间间图图形形.想想象
18、象出出空空间间图图形形,完完成成平平面面图图形形与与空空间间图图形形在在认认识识上上的的转转化化.另另外外弄弄清清楚楚变变与与不不变变的的元元素素以以后后,再再立立足足于于不不变变的的元元素素的的位位置置关关系系、数数量量关关系系去去探探求求变变化化后后元元素素在在空空间间中中的的位位置置关关系系与与数数量量关关系系.空空间间平平面面：为为解解决决空空间间图图形形问问题题,要要回回到到平平面面上上来来,重重点点分分析析元元素素的的变变与与不不变变.【变变式式训训练练】(2 20 01 13 3焦焦作作高高一一检检测测)已已知知矩矩形形A AB BC CD D,A AB B=1 1,B BC C
19、=将将A AB BD D沿沿矩矩形形的的对对角角线线B BD D所所在在的的直直线线进进行行翻翻折折,在在翻翻折折过过程程中中()A A.存存在在某某个个位位置置,使使得得直直线线A AC C与与直直线线B BD D垂垂直直B B.存存在在某某个个位位置置,使使得得直直线线A AB B与与直直线线C CD D垂垂直直C C.存存在在某某个个位位置置,使使得得直直线线A AD D与与直直线线B BC C垂垂直直D D.对对任任意意位位置置,三三对对直直线线“A AC C与与B BD D”,“A AB B与与C CD D”,“A AD D与与B BC C”均均不不垂垂直直2,【解解题题指指南南】对
20、对A A，C C的的判判断断可可以以采采用用反反证证法法,即即假假设设两两条条直直线线垂垂直直推推出出线线面面垂垂直直关关系系,再再推推出出线线线线垂垂直直关关系系与与题题目目条条件件中中线线段段长长度度关关系系矛矛盾盾.对对于于B B可可以以利利用用面面面面垂垂直直的的性性质质推推导导其其正正确确.【解解析析】选选B B.A A错错误误.理理由由如如下下:过过A A作作A AE EB BD D,垂垂足足为为E E,若若直直线线A AC C与与直直线线B BD D垂垂直直,则则可可得得B BD D平平面面A AC CE E,于于是是B BD DC CE E,而而由由矩矩形形A AB BC CD
21、 D边边长长的的关关系系可可知知B BD D与与C CE E并并不不垂垂直直.所所以以直直线线A AC C与与直直线线B BD D不不垂垂直直.B B正正确确.理理由由:翻翻折折到到点点A A在在平平面面B BC CD D内内的的射射影影恰恰好好在在直直线线B BC C上上时时,平平面面A AB BC C平平面面B BC CD D,此此时时由由C CD DB BC C可可证证C CD D平平面面A AB BC C,于于是是有有A AB BC CD D.故故B B正正确确.C C错错误误.理理由由如如下下:若若直直线线A AD D与与直直线线B BC C垂垂直直,则则由由B BC CC CD D
22、可可知知B BC C平平面面A AC CD D,于于是是B BC CA AC C,但但是是A AB B B BC C,在在A AB BC C中中A AC CB B不不可可能能是是直直角角.故故直直线线A AD D与与直直线线B BC C不不垂垂直直.由由以以上上分分析析显显然然D D错错误误.类类型型三三平平行行、垂垂直直关关系系的的综综合合应应用用【典典型型例例题题】1 1.(2 20 01 13 3攀攀枝枝花花高高一一检检测测)已已知知直直线线m m,n n与与平平面面,下下列列说说法法正正确确的的是是()A A.m m,n n且且,则则m mn nB B.m m,n n且且,则则m mn
23、 nC C.=m m,n nm m且且,则则n nD D.m m,n n且且,则则m mn n2 2.(2 20 01 13 3朝朝阳阳高高一一检检测测)如如图图,在在A AB BC C中中,A AC C=B BC C=A AB B,四四边边形形A AB BE ED D是是边边长长为为a a的的正正方方形形,平平面面A AB BE ED D平平面面A AB BC C,若若G G,F F分分别别是是E EC C,B BD D的的中中点点.(1 1)求求证证:G GF F平平面面A AB BC C.(2 2)求求证证:平平面面E EB BC C平平面面A AC CD D.(3 3)求求几几何何体体
24、A A-D DE EB BC C的的体体积积V V.22【解解题题探探究究】1 1.面面面面垂垂直直的的性性质质定定理理在在应应用用时时要要特特别别注注意意什什么么?2 2.判判定定线线面面平平行行的的常常用用方方法法有有哪哪些些?证证明明面面面面垂垂直直的的基基本本方方法法是是什什么么?求求锥锥体体的的体体积积关关键键是是什什么么?探探究究提提示示:1 1.面面面面垂垂直直的的性性质质定定理理在在应应用用时时要要特特别别注注意意在在其其中中一一个个平平面面内内作作交交线线的的垂垂线线.2 2.判判定定线线面面平平行行的的常常用用方方法法:(1 1)用用线线面面平平行行的的判判定定定定理理.(
25、2 2)用用面面面面平平行行的的性性质质.证证明明面面面面垂垂直直的的基基本本方方法法是是判判定定定定理理,即即证证明明一一个个平平面面经经过过另另一一个个平平面面的的垂垂线线.求求锥锥体体的的体体积积关关键键是是求求锥锥体体的的底底面面积积和和高高.【解解析析】1 1.选选B B.A A.错错误误.由由m m,可可知知m m或或m m.又又n n,所所以以m m与与n n的的位位置置关关系系不不确确定定.B B.正正确确.因因为为,设设=l,在在l上上取取点点O O,过过O O在在内内作作O OA Al,则则O OA A,又又n n,所所以以O OA An n.过过O O在在内内作作O OB
26、 Bl,则则O OB B,又又m m,所所以以O OB Bm m.A AO OB B是是二二面面角角-l-的的平平面面角角,由由知知A AO OB B=9 90 0,所所以以m mn n.C C.错错误误.由由面面面面垂垂直直的的性性质质定定理理可可知知,因因为为缺缺少少n n,所所以以无无法法推推出出n n.D D.错错误误.m m与与n n位位置置关关系系不不确确定定.2 2.(1 1)如如图图,取取B BE E的的中中点点H H,连连接接H HF F,G GH H.因因为为G G,F F分分别别是是E EC C和和B BD D的的中中点点,所所以以H HG GB BC C,H HF FD
27、 DE E.又又因因为为四四边边形形A AD DE EB B为为正正方方形形,所所以以D DE EA AB B,从从而而H HF FA AB B.所所以以H HF F平平面面A AB BC C,H HG G平平面面A AB BC C.所所以以平平面面H HG GF F平平面面A AB BC C.所所以以G GF F平平面面A AB BC C.(2 2)因因为为四四边边形形A AD DE EB B为为正正方方形形,所所以以E EB BA AB B.又又因因为为平平面面A AB BE ED D平平面面A AB BC C,所所以以B BE E平平面面A AB BC C.所所以以B BE EA AC
28、C.又又因因为为C CA A2 2+C CB B2 2=A AB B2 2,所所以以A AC CB BC C.所所以以A AC C平平面面B BC CE E.从从而而平平面面E EB BC C平平面面A AC CD D.(3 3)取取A AB B的的中中点点N N,连连接接C CN N,因因为为A AC CB BC C,所所以以C CN NA AB B,且且又又平平面面A AB BE ED D平平面面A AB BC C,所所以以C CN N平平面面A AB BE ED D.因因为为C C-A AB BE ED D是是四四棱棱锥锥,所所以以11CNABa.2223C ABEDABED1111VS
29、CNaaa.3326【互互动动探探究究】题题1 1选选项项C C改改为为“m m,n n且且m mn n，则则”是是否否正正确确？【解解析析】此此说说法法正正确确.理理由由：显显然然与与相相交交,否否则则m mn n.设设=l,在在空空间间中中取取点点O O,过过O O作作O OA A,O OB B,因因为为m m,n n,所所以以O OA Am m,O OB Bn n.由由m mn n知知A AO OB B=9 90 0，设设平平面面A AO OB B与与直直线线l相相交交于于点点C C，由由l平平面面A AO OB B知知A AC CB B是是二二面面角角-l-的的平平面面角角.因因为为四
30、四边边形形O OA AC CB B是是矩矩形形,所所以以A AC CB B=9 90 0，所所以以.【拓拓展展提提升升】1 1.垂垂直直关关系系之之间间的的相相互互转转化化2 2.平平行行关关系系与与垂垂直直关关系系之之间间的的相相互互转转化化【变变式式训训练练】(2 20 01 12 2江江苏苏高高考考)如如图图,在在直直三三棱棱柱柱A AB BC C-A A1 1B B1 1C C1 1中中,A A1 1B B1 1=A A1 1C C1 1,D D,E E分分别别是是棱棱B BC C,C CC C1 1上上的的点点(点点D D不不同同于于点点C C),且且A AD DD DE E,F F
31、为为B B1 1C C1 1的的中中点点.求求证证:(1 1)平平面面A AD DE E平平面面B BC CC C1 1B B1 1.(2 2)直直线线A A1 1F F平平面面A AD DE E.【证证明明】(1 1)D D,E E分分别别是是棱棱B BC C,C CC C1 1上上的的点点(点点D D不不同同于于点点C C),且且A AD DD DE E,又又因因三三棱棱柱柱A AB BC C-A A1 1B B1 1C C1 1为为直直三三棱棱柱柱,所所以以有有B BB B1 1平平面面A AD DC C,即即有有A AD DB BB B1 1.又又在在平平面面B BC CC C1 1B
32、 B1 1内内B BB B1 1与与D DE E必必相相交交,所所以以A AD D平平面面B BC CC C1 1B B1 1.又又A AD D平平面面A AD DE E,所所以以平平面面A AD DE E平平面面B BC CC C1 1B B1 1.(2 2)在在直直三三棱棱柱柱A AB BC C-A A1 1B B1 1C C1 1中中,A A1 1B B1 1=A A1 1C C1 1,所所以以有有A AB B=A AC C.又又由由(1 1)知知A AD D平平面面B BC CC C1 1B B1 1,所所以以A AD DB BC C,所所以以D D为为边边B BC C上上的的中中点点
33、,连连接接D DF F,得得A AA A1 1F FD D为为平平行行四四边边形形,故故A A1 1F FA AD D,又又A AD D平平面面A AD DE E,A A1 1F F 平平面面A AD DE E,所所以以直直线线A A1 1F F平平面面A AD DE E.空空间间角角、距距离离的的计计算算问问题题【典典型型例例题题】1 1.如如图图,矩矩形形A AB BC CD D中中,A AB B=2 2,B BC C=4 4,将将A AB BD D沿沿对对角角线线B BD D折折起起到到A AB BD D的的位位置置,使使点点A A在在平平面面B BC CD D内内的的射射影影点点O O
34、恰恰好好落落在在B BC C边边上上,则则异异面面直直线线A AB B与与C CD D所所成成角角的的大大小小为为.2 2.(2 20 01 13 3攀攀枝枝花花高高一一检检测测)如如图图所所示示,正正方方形形A AB BC CD D和和矩矩形形A AD DE EF F所所在在平平面面相相互互垂垂直直,G G是是A AF F的的中中点点.(1 1)求求证证:E ED DA AC C.(2 2)若若直直线线B BE E与与平平面面A AB BC CD D成成4 45 5角角,求求异异面面直直线线G GE E与与A AC C所所成成角角的的余余弦弦值值.【解解析析】1 1.如如题题图图所所示示,由
35、由A AO O平平面面A AB BC CD D,可可得得平平面面A AB BC C平平面面A AB BC CD D,又又由由D DC CB BC C,可可得得D DC C平平面面A AB BC C,所所以以D DC CA AB B,即即得得异异面面直直线线A AB B与与C CD D所所成成角角的的大大小小为为9 90 0.答答案案:9 90 02 2.(1 1)由由矩矩形形A AD DE EF F可可知知E ED DA AD D,又又因因为为平平面面A AD DE EF F平平面面A AB BC CD D,得得到到E ED D平平面面A AB BC CD D,从从而而有有E ED DA AC
36、 C.(2 2)由由(1 1)知知:E ED D平平面面A AB BC CD D,所所以以E EB BD D是是直直线线B BE E与与平平面面A AB BC CD D所所成成的的角角,即即E EB BD D=4 45 5,设设A AB B=a a,则则D DE E=B BD D=a a,取取D DE E中中点点M M,连连接接A AM M,因因为为G G是是A AF F的的中中点点,所所以以A AM MG GE E,2所所以以M MA AC C是是异异面面直直线线G GE E与与A AC C所所成成角角或或其其补补角角，连连接接B BD D交交A AC C于于点点O O，因因为为O O是是A
37、 AC C的的中中点点，所所以以M MO OA AC C，所所以以即即异异面面直直线线G GE E与与A AC C所所成成角角的的余余弦弦值值为为2226AMCMa(a)a,222aAO32cos MACAM36a2，33【拓拓展展提提升升】1 1.与与面面面面垂垂直直有有关关的的计计算算问问题题的的类类型型(1 1)求求角角的的大大小小(或或角角的的某某个个三三角角函函数数值值)：如如两两异异面面直直线线所所成成的的角角、二二面面角角等等.(2 2)求求线线段段的的长长度度或或点点到到直直线线、平平面面的的距距离离等等.(3 3)求求几几何何体体的的体体积积或或平平面面图图形形的的面面积积.
38、2 2.空空间间角角、距距离离的的计计算算问问题题的的解解决决方方法法(1 1)空空间间角角、距距离离的的计计算算问问题题一一般般在在三三角角形形中中求求解解.所所给给条条件件中中的的面面面面垂垂直直首首先先转转化化为为线线面面垂垂直直，然然后后转转化化为为线线线线垂垂直直.往往往往把把计计算算问问题题归归结结为为一一个个直直角角三三角角形形中中的的计计算算问问题题.(2 2)作作二二面面角角的的平平面面角角常常用用方方法法如如图图所所示示，过过P P作作P PO O,垂垂足足为为O O，过过O O作作O OA Al于于A A，连连接接A AP P，则则P PA AO O为为二二面面角角-l-
39、的的平平面面角角.此此法法的的关关键键是是作作垂垂线线P PO O，高高考考题题中中利利用用面面面面垂垂直直的的性性质质定定理理作作线线面面垂垂直直是是一一种种常常见见的的命命题题方方式式.【规规范范解解答答】面面面面垂垂直直性性质质的的应应用用【典典例例】【条条件件分分析析】【规规范范解解答答】(1 1)如如图图，因因为为S SD D平平面面A AB BC CD D，故故B BC CS SD D，又又B BC CB BD D，所所以以B BC C平平面面B BD DS S，所所以以B BC CD DE E.2 2分分作作B BK KE EC C，K K为为垂垂足足，由由平平面面E ED DC
40、 C平平面面S SB BC C，平平面面E ED DC C平平面面S SB BC C=E EC C，故故B BK K平平面面E ED DC C.又又D DE E平平面面E ED DC C,所所以以B BK KD DE E.4 4分分又又因因为为B BK K平平面面S SB BC C,B BC C平平面面S SB BC C,B BK KB BC C=B B,所所以以D DE E平平面面S SB BC C.6 6分分(2 2)由由(1 1)知知D DE ES SB B,所所以以在在直直角角三三角角形形S SD DB B中中,由由等等积积法法知知S SD DD DB B=S SB BD DE E，所
41、所以以1 10 0分分所所以以S SE E=2 2E EB B.1 12 2分分22DBADBA2,222SBSDDB226.SD DB2 3DE.SB32262 6EBDBDESESBEB.33，【失失分分警警示示】【防防范范措措施施】1 1.转转化化意意识识在在证证明明时时要要善善于于把把已已知知条条件件转转化化,如如本本例例中中的的面面面面垂垂直直,则则需需转转化化为为线线面面垂垂直直进进而而得得出出线线线线垂垂直直.2 2.计计算算能能力力在在解解题题时时要要注注意意条条件件的的应应用用及及计计算算能能力力的的培培养养,如如本本例例中中处处的的计计算算是是证证明明(2 2)的的关关键键
42、.【类类题题试试解解】正正方方形形A AB BC CD D和和四四边边形形A AC CE EF F所所在在的的平平面面互互相相垂垂直直,E EF FA AC C,A AB B=,C CE E=E EF F=1 1.求求证证:C CF F平平面面B BD DE E.【证证明明】设设A AC CB BD D=G G,连连接接F FG G,因因为为E EF FC CG G,E EF F=C CG G=1 1,且且C CE E=1 1,所所以以四四边边形形C CE EF FG G为为菱菱形形,所所以以C CF FE EG G.由由四四边边形形A AB BC CD D为为正正方方形形,得得B BD DA
43、 AC C.又又平平面面A AC CE EF F平平面面A AB BC CD D且且平平面面A AC CE EF F平平面面A AB BC CD D=A AC C,所所以以B BD D平平面面A AC CE EF F,所所以以B BD DC CF F.又又B BD DE EG G=G G,故故C CF F平平面面B BD DE E.21 1.已已知知平平面面平平面面,=l,点点A A,A A l,直直线线A AB Bl,直直线线A AC Cl,直直线线m m,m m,则则下下列列四四种种位位置置关关系系中中,不不一一定定成成立立的的是是()A A.A AB Bm mB B.A AC Cm mC
44、 C.A AB BD D.A AC C【解解析析】选选D D.如如图图所所示示:A AB Blm m;A AC Cl,m mlA AC Cm m;A AB BlA AB B.但但是是A AC C与与不不垂垂直直.2 2.(2 20 01 13 3广广东东高高考考)设设m m,n n是是两两条条不不同同的的直直线线,是是两两个个不不同同的的平平面面,下下列列命命题题中中正正确确的的是是()A A.若若,m m,n n,则则m mn nB B.若若,m m,n n,则则m mn nC C.若若m mn n,m m,n n,则则D D.若若m m,m mn n,n n,则则【解解析析】选选D D.对
45、对于于选选项项A A,分分别别在在两两个个垂垂直直平平面面内内的的两两条条直直线线平平行行、相相交交、异异面面都都可可能能,但但未未必必垂垂直直;对对于于选选项项B B,分分别别在在两两个个平平行行平平面面内内的的两两条条直直线线平平行行、异异面面都都可可能能;对对于于选选项项C C,两两个个平平面面分分别别经经过过两两垂垂直直直直线线中中的的一一条条,不不能能保保证证两两个个平平面面垂垂直直;对对于于选选项项D D,m m,m mn n,则则n n;又又因因为为n n,则则内内存存在在与与n n平平行行的的直直线线l,因因为为n n,则则l,由由于于l,l,所所以以.3 3.平平面面平平面面,直直线线l,直直线线m m,则则直直线线l,m m的的位位置置关关系系是是.【解解析析】根根据据题题意意,l,m m可可能能相相交交、平平行行或或异异面面.答答案案:相相交交、平平行行或或异异面面4 4.如如图图,=l,A AB B,A AB Bl,B BC C,D DE E,B BC CD DE E.求求证证:A AC CD DE E.【证证明明】因因为为,=l,A AB B,A AB Bl,所所以以A AB B,又又D DE E,所所以以A AB BD DE E,因因为为D DE EB BC C,所所以以D DE E平平面面A AB BC C,所所以以D DE EA AC C.
