1、Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-1第四章第四章 受弯截面弹塑性全过程分析受弯截面弹塑性全过程分析Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-24.1 4.1 弹性分析弹性分析4.1.1 4.1.1 第第阶段（开裂前）阶段（开裂前）计算图式：计算图式：Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-3（一）基本方程（一）基本方程1.1.平衡条件平衡条件00XM00000)0(0 xh xssxh xssbdybdyAMyb
2、dyybdyA hx（4-14-1）（4-24-2）2.2.变形条件变形条件0()syhx（4-34-3）（4-44-4）根据平截面假定：根据平截面假定：Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-4sssEE3.3.物理条件物理条件（4-54-5）（4-64-6）6 6个独立方程，个独立方程，1313个参数，即个参数，即如果已知其中的任意如果已知其中的任意7 7个，便可解出其余个，便可解出其余6 6个未知数。个未知数。0,ssssb h hx Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures
3、 A-5将式将式(4-3)(4-3)、(4-4)(4-4)分别代入式分别代入式(4-5)(4-5)、(4-6)(4-6)得：得：再将式再将式(4-7)(4-7)、(4-8)(4-8)代入式代入式(4-1)(4-1)得：得：0()ssEyEhx（4-74-7）（4-84-8）000()0Sxhxsybdyybdyhx A 即：即：000()0Sxh xy bdyy bdyAhx（4-94-9）由式（由式（4-94-9）即可求得）即可求得x x的值，也即确定了中性轴的位置。的值，也即确定了中性轴的位置。Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures
4、A-6l 特别地特别地,对于矩形截面，对于矩形截面，b b为常数，则由式（为常数，则由式（4-94-9）可得：）可得：220()00022SxhxyybbAhx2012SSbhA hxbhA20001()2hhxhhh即：即：（4-104-10）（4-10a4-10a）式中：式中：0sAb h(纵向配筋率纵向配筋率)Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-7 式式(4-10a(4-10a）说明：）说明：在第在第阶段，中性轴位置与阶段，中性轴位置与M M无关无关,且为常数。且为常数。值略大于而接近于值略大于而接近于0.50.5，中性轴偏
5、于受拉区，中性轴偏于受拉区，若为纯砼截面，则若为纯砼截面，则 0,0.5xh。303200()()33ssAbhAbxb hxA hx（4-124-12）（4-134-13）其中：其中：x x按（按（4-104-10）式确定。）式确定。0 xhBridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-8（四）弯矩曲率关系（四）弯矩曲率关系 （即内力与变形的关系）（即内力与变形的关系）将式（将式（4-74-7）、式（）、式（4-84-8）代入（）代入（4-24-2）式得：）式得：2220000)(xh xsMy bdyy bdyA hx （4-144-1
6、4）曲率曲率 的单位是：的单位是：或者或者 ，且，且 ，为曲率为曲率半径。半径。1m1mm1Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-9（五）抗弯刚度（五）抗弯刚度定义式：定义式：将（将（4-144-14）式代入上式得：）式代入上式得：00 B B的单位为：的单位为：或或 2N mm2KN m(4-15)(4-15)Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-10（六）弯矩与应力的关系（六）弯矩与应力的关系 ()将式（将式（4-144-14）变形得）变形得的表达式，再代入（的表达式
7、，再代入（4-74-7）式得：）式得：00yyy （4-164-16）由物理条件，变形条件及（由物理条件，变形条件及（4-144-14）式得：）式得：00000()()()ssshxhxhx （4-174-17）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-114.1.2 4.1.2 第第阶段末（即将开裂）阶段末（即将开裂）在第在第阶段末，截面即将开裂，也就是说，受拉边缘的阶段末，截面即将开裂，也就是说，受拉边缘的砼拉应力砼拉应力 达到其抗拉强度达到其抗拉强度 ，裂缝即将出现，此时的，裂缝即将出现，此时的弯矩称为弯矩称为RCRC开裂弯矩，记
8、为开裂弯矩，记为 ，可由式（，可由式（4-164-16）确定：）确定：2otcr0200()crcrotyhx 则则00()crotcrhx（4-184-18）其中：其中：由（由（4-104-10）式确定。）式确定。crxBridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-124.1.3 4.1.3 第第阶段（开裂后）阶段（开裂后）计算图式与第计算图式与第阶段相比有所变化阶段相比有所变化:（受拉区砼退出工作）（受拉区砼退出工作）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-13（一）基本方程（
9、一）基本方程1 1、平衡条件、平衡条件000)0(0 xxssssbdyAMybdyA hx00XM（4-194-19）（4-204-20）2 2、变形条件、变形条件0()syhx （4-34-3）（4-44-4）3 3、物理条件、物理条件sssEE（4-54-5）（4-64-6）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-14（二）中性轴的位置（二）中性轴的位置将变形条件，物理条件代入式（将变形条件，物理条件代入式（4-194-19）得：）得：00()0Sxy bdyAhx（4-214-21）由式（由式（4-214-21）即可求得中性轴
10、的位置）即可求得中性轴的位置x x。20()002SxybAhx201()02sbxhx 可知：可知：x x仍为常数，与仍为常数，与M M无关。无关。由式由式(4-22)(4-22)求得的求得的x x远小于式（远小于式（4-10a4-10a）求得的）求得的x x，说明受拉区砼，说明受拉区砼开裂时，中性轴突然上升，往受压区移动，使得开裂时，中性轴突然上升，往受压区移动，使得x x减小，这是一个减小，这是一个非常重要的物理现象。非常重要的物理现象。对于矩形截面，对于矩形截面，b b为常数，则由式（为常数，则由式（4-214-21）可得：）可得：（4-224-22）Bridge E30 Oct,20
11、06Advanced Concrete Structures A-15（三）换算截面（三）换算截面022000()sxsb xybdyhx （4-234-23）（4-244-24）对于矩形截面，对于矩形截面，b b为常数，则为常数，则3200()3sbxhx （4-24a4-24a）其中，其中，x x按（按（4-224-22）确定。）确定。（四）（四）()s 、与前式（与前式（4-144-14）、（）、（4-154-15）、（）、（4-164-16）、（）、（4-174-17）相同，）相同，只不过式中只不过式中I I0 0应按式应按式（4-24）计算。计算。Bridge E30 Oct,200
12、6Advanced Concrete Structures A-164.1.4 4.1.4 第第阶段末（纵筋屈服）阶段末（纵筋屈服）4 17sy由于，由式（）得0000()()yysyhxhx00()yyyhx（4-254-25）其中：其中：按式（按式（4-214-21）计算。）计算。yxBridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-174.2 4.2 受弯截面弹塑性分析受弯截面弹塑性分析 平衡条件，变形条件与弹性分析时相同，物理平衡条件，变形条件与弹性分析时相同，物理关系不用虎克定律的线弹性模型，而采用与实验结关系不用虎克定律的线弹性模型
13、，而采用与实验结果较为吻合的本构关系，即砼本构关系（拉、压）果较为吻合的本构关系，即砼本构关系（拉、压）采用采用非线性模式非线性模式（二次抛物线）。（二次抛物线）。Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-184.2.1 4.2.1 第第阶段（开裂前）阶段（开裂前）计算图式：计算图式：Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-19（一）基本方程（一）基本方程1.1.平衡条件平衡条件00XM00000)0(0 xh xxh xssssbdybdyAMybdyybdyA hx（4-1
14、4-1）（4-24-2）2 2、变形条件、变形条件0()syhx（4-34-3）（4-44-4）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-203.3.物理条件物理条件20002 a a砼受压砼受压二次抛物线二次抛物线(4-26)(4-26)Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-2122ototot b b砼受拉砼受拉二次抛物线二次抛物线 (4-27)(4-27)Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-22c c钢筋受
15、拉（压）（理想弹塑性）钢筋受拉（压）（理想弹塑性）ssssysyysu Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-23（二）（二）中性轴位置中性轴位置将变形（相容）条件代入物理条件得：将变形（相容）条件代入物理条件得：20002yy22otototyy0sshx 压区砼：压区砼：拉区砼：拉区砼：拉区钢筋：拉区钢筋：（4-284-28）（4-294-29）（4-304-30）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-24再将式（再将式（4-284-28、4-294-29、4-304
16、-30）代入式（）代入式（4-14-1）得：）得：22000000022xh xotototssyyyydybdyhxA33220000330otototshxbxbxhxhxs（4-314-31）上式为上式为x x的一元三次方程，已知材料性能的一元三次方程，已知材料性能 几何尺寸几何尺寸b b、h h、h h0 0、AsAs，曲率，曲率 ，则可求解受压区高度，则可求解受压区高度 。s00otot、,xBridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-25（三）（三）关系关系 将变形条件代入物理条件，再代入式（将变形条件代入物理条件，再代入式（
17、4-24-2）得：）得：220000020)(22xh xotototssyyyyMybdyybdyhx A443320223434otoototoosshxbxbxhxhx （4-324-32）式中：式中：由式（由式（4-314-31）确定。）确定。x由式（由式（4-324-32）可知：）可知：为为非线性非线性关系。关系。Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-26（四）抗弯刚度（四）抗弯刚度由由 ，将式（，将式（4-324-32）代入该式得）代入该式得 44332022()3434otossototoohxbxbxhxhx（4-3
18、34-33）B B不再是常数，与不再是常数，与 及及 有关，且为有关，且为 的的非线性非线性式。式。xxBridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-27（五）钢筋和砼的应力（五）钢筋和砼的应力按（按（4-284-283030）进行计算。）进行计算。20002yy22otototyy0sshx 压区砼：压区砼：拉区砼：拉区砼：拉区钢筋：拉区钢筋：（4-284-28）（4-294-29）（4-304-30）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-284.2.2 4.2.2 第第阶段末
19、（即将开裂）阶段末（即将开裂）计算图式：计算图式：Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-291.1.曲率曲率 ：utcrcrhx（4-344-34）2.2.中性轴位置中性轴位置 将式（将式（4-314-31）类比变形，用）类比变形，用 代替式（代替式（4-314-31）中的）中的 ，代替式代替式（4-314-31）中的）中的 得：得：crcrxx33220330crututcrotututocrcrcrcrotcrcrotooutscrscrh xbxbxh xh xh xh xh xhxh x（4-354-35）由式（由式（4-3
20、54-35）可解得到）可解得到 。（迭代解。（迭代解x x的三次方程）的三次方程）crxBridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-30 可由式（可由式（4-324-32）变形改写得到）变形改写得到 ，用，用 代替代替 ,代替代替 得：得：crx3.3.crcrx424320234234ututcrocrcrcrcroocrotututcrotcrcrotutscrscrbxxhxhxhxbhxhxhxhxhx(4-36)(4-36)4.4.抗弯刚度抗弯刚度B B crcrcr(4-37)(4-37)Bridge E30 Oct,2006
21、Advanced Concrete Structures A-314.2.3 4.2.3 第第阶段（开裂后）阶段（开裂后）（不计中性轴以下受拉砼的作用）（不计中性轴以下受拉砼的作用）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-32（一）基本方程（一）基本方程1.1.平衡条件平衡条件00XM000)0(0 xssxssbdyAMybdyA h x（4-38）（4-39）2 2、变形条件、变形条件0()syhx （4-3）（4-4）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-333 3、
22、物理条件、物理条件 a a受压区砼受压区砼 ：20002()(426)o b b受拉钢筋：受拉钢筋：(427)ssssy Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-34（二）中性轴的位置（二）中性轴的位置32000003ssbxxhx 4220234ossoobxxhx（三）（三）关系关系（4-404-40）（4-414-41）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-35计算图式：计算图式：Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structu
23、res A-361.1.曲率曲率 ：yyyhx2 2、中性轴位置、中性轴位置将式（将式（4-314-31）中）中 用用 代替得：代替得：xyx320000003yyyyysyybxxhxhx（4-434-43）（4-424-42）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-373 3、弯矩、弯矩 （纵筋屈服弯矩）（纵筋屈服弯矩）y42000234yyyoyyysyyyoobxxhxhxhx 4 4、抗弯刚度、抗弯刚度 yyy（4-444-44）（4-454-45）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete S
24、tructures A-384.2.5 4.2.5 第第阶段（纵筋屈服后）阶段（纵筋屈服后）计算图式：计算图式：Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-39（一）基本方程（一）基本方程1.1.平衡条件平衡条件00XM000)0(0 xysxysbdyAMybdyA hx（4-384-38）（4-394-39）2 2、变形条件、变形条件（4-34-3）纵筋屈服，只有砼：纵筋屈服，只有砼：yBridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-403 3、物理条件（砼受压）、物理条件（砼受压）
25、a a受压区砼受压区砼 ：20002 b b受拉钢筋：受拉钢筋：sy（4-464-46）（4-474-47）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-41（二）中性轴位置（二）中性轴位置3203oysoobxx（4-484-48）求解求解x x的一个一元三次方程。的一个一元三次方程。420234oooysbxxhx（三）（三）关系关系（4-494-49）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-424.2.5 4.2.5 第第阶段末（砼压坏）阶段末（砼压坏）计算图式：计算图式：B
26、ridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-431.1.曲率曲率 ：uuuhx2.2.中性轴位置中性轴位置（4-504-50）000113uysuuooxhbh（4-514-51）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-443.3.截面破坏时所承受的弯矩截面破坏时所承受的弯矩20234uouuuysuoobxhx（4-524-52）将式（将式（4-514-51）代入（）代入（4-524-52），并整理得：），并整理得：00200001143113uysuysuuhbh（4-52a4
27、-52a）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-453.3.截面破坏时所承受的弯矩截面破坏时所承受的弯矩如取：如取：=0.002=0.002，=0.0033=0.0033，代入（，代入（4-514-51）、（）、（4-524-52）得）得 ou01.347uyoxh（4-51b4-51b）001 0.586yuysh（4-52b4-52b）4.4.刚度刚度uuu（4-534-53）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-46,uy发展 4.3 4.3 受弯截面的延性受弯截面
28、的延性概念概念：截面的延性是指从纵筋屈服直到砼压坏，截面的变：截面的延性是指从纵筋屈服直到砼压坏，截面的变形能力。形能力。定义式定义式：即受弯截面的延性等于第即受弯截面的延性等于第阶段末与第阶段末与第阶段末的曲率的比值，为一无量纲的数。阶段末的曲率的比值，为一无量纲的数。l讨论讨论：延性大就是塑性大，延性小表示脆性大，延性在延性大就是塑性大，延性小表示脆性大，延性在超静定结构的内力重分布及结构的抗震设计中有重要的意超静定结构的内力重分布及结构的抗震设计中有重要的意义。（抗震的延性设计义。（抗震的延性设计 倒塌分析）倒塌分析）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concret
29、e Structures A-474.4 4.4 受弯截面的塑性分析受弯截面的塑性分析计算图式：计算图式：Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-481.1.物理条件物理条件syu受拉区钢筋：受拉区钢筋：受压区砼：受压区砼：4.4.1 4.4.1 基本公式基本公式2.2.平衡条件平衡条件00XM0)(02uysuuysb xAxMb xAhx （4 45454）（4 45555）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-49ysux0yuxh将式（将式（4-564-56）代入式
30、（）代入式（4-554-55）得）得0)(10.5yuysuMAh3.3.中性轴位置中性轴位置由式（由式（4-544-54）得）得或：或：（4-564-56）（4-56a4-56a）（4-574-57）Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-50000crototcrWhx 2012scrsbhhxbh33)300()33crcrscrbxb hxhx（4-104-10）（4-134-13）（4-184-18）4.5 塑性系数法（针对即将开裂截面）该法为另一种即将开裂时的简化计算方法。该法为另一种即将开裂时的简化计算方法。方法原理：方
31、法原理：对受弯截面作弹性分析，然后乘以塑性系数对受弯截面作弹性分析，然后乘以塑性系数r rm m，即得，即得开裂弯矩开裂弯矩M Mcrcr。公式：公式：按弹性分析得：按弹性分析得：式中式中x xcrcr和和I I0 0分别按式（分别按式（4-104-10）、（）、（4-134-13）计算，则有）计算，则有:Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-512220.2920.811031mcrrxcxcrhxcrhhhhxh;sb hcrx0crmotrW 由于式（由于式（4-184-18）没有考虑截面受拉区的塑性，故按式（）没有考虑截面受
32、拉区的塑性，故按式（4-184-18）计算的计算的M Mcrcr值偏小，而实际的值偏小，而实际的M Mcrcr应乘以塑性系数应乘以塑性系数r rm m ，且，且 式中：式中：按式（按式（4-104-10）计算。）计算。（4-584-58）则则对于矩形截面：一般可取对于矩形截面：一般可取r rm m =1.75=1.75Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-520630010.51 10crWmmhx0661.752.2 10.51 10 40.46 10 mm crmotrW 精确值精确值:637.55 10crN mml评述评述：
33、可见塑性系数法具有一定的精度，且简便实用。：可见塑性系数法具有一定的精度，且简便实用。求：考虑塑性系数的求：考虑塑性系数的McrMcr 。例：例：已知：已知：267crmmx402447930000mm 22.2otN mm其余同例其余同例3.23.2。，误差：误差：7.2%7.2%Bridge E30 Oct,2006Advanced Concrete Structures A-53 1.1.将例将例3.23.2中的砼本构模型改为清华模式，对该轴心受压进行弹塑性分析，并与例中的砼本构模型改为清华模式，对该轴心受压进行弹塑性分析，并与例3.3.2 2的结果（的结果（N-N-、N-N-、N-BN
34、-B）进行对比分析。）进行对比分析。已知条件：已知条件：A=300A=300300mm300mm，E=2.2E=2.210104 4MPaMPa，A As s=1964mm=1964mm2 2(425),E(425),Es s=2=210105 5MPa,MPa,y y=0.00182,0.00182,y y=364MPa=364MPa，0 0=22MPa=22MPa。2.2.已知某钢筋混凝土受弯构件，截面尺寸如右图。已知某钢筋混凝土受弯构件，截面尺寸如右图。已知：已知：A As s=942mm=942mm2 2，E Es s=2=210105 5MPaMPa，otot=2.2MPa=2.2M
35、Pa，y y=364MPa=364MPa。假设砼与钢筋两种材料均为弹性体，假设砼与钢筋两种材料均为弹性体，试求第试求第、阶段的阶段的M-M-、M-(M-(s s)、M-BM-B的关系。的关系。如果已知材料的本构关系，按如果已知材料的本构关系，按4.3.14.3.1的模型选用。的模型选用。其中：其中：0 0=22MPa=22MPa，o o=0.002,=0.002,u u=0.0033,=0.0033,otot=2.2MPa=2.2MPa，otot=0.00015,=0.00015,ut ut=0.=0.0002,0002,y y=364MPa,=364MPa,y y=0.00182=0.00182。试按弹塑性分析方法，求截面即将开裂、纵筋屈试按弹塑性分析方法，求截面即将开裂、纵筋屈服和砼被压坏时的弯矩和应力分布，以及截面的服和砼被压坏时的弯矩和应力分布，以及截面的M-M-、M-(M-(s s)、M-BM-B的关系。的关系。将将 、的计算结果对比分析。的计算结果对比分析。3.3.任选一个专题（如构件的扭转、剪切、弯矩组合、裂缝分析等）进行弹塑性全过任选一个专题（如构件的扭转、剪切、弯矩组合、裂缝分析等）进行弹塑性全过程分析，并提交读书报告。程分析，并提交读书报告。作业：作业：
