1、 二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上的最值石家庄市石家庄市42中学中学于祝于祝 高中数学高中数学例例1、已知函数、已知函数f(x)=x22x 3.（1）若）若x 2，0,求函数求函数f(x)的最值；的最值；10 xy2 3例例1、已知函数、已知函数f(x)=x2 2x 3.（1）若）若x 2，0，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；10 xy2 34 1（2）若）若x 2，4，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 2x 3.3.（1 1）若）若xx 2 2，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2
2、）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；y10 x2 34 1 2125（3）若）若x ,求求 函数函数f(x)的最值；的最值；25,21例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 2x 3 3（1 1）若）若xx 2 2，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；25,2110 xy2 34 1 232123,21（4 4）若）若xx ，求函数求函数f(x)f(x)的最值的
3、最值；10 xy2 34 1（5 5）若）若 xxtt，t+2t+2时，时，求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值.tt+2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 2x 3.3.（1 1）若）若xx 2 2，00,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；25,2123,2110 xy2 34 1 tt+2例例1 1、已知函数、已知函数f(x
4、)=xf(x)=x2 2 2x 2x 3.3.（1 1）若）若xx 2 2，00,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（5 5）若）若xxtt，t+2t+2时，时，求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值.25,2123,2110 xy2 34 1 tt+2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 2x 3.3.（1 1）若）若xx 2 2
5、，00,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（5 5）若）若xxtt，t+2t+2时，时，求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值.25,2123,2110 xy2 34 1 tt+2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 2x 3.3.（1 1）若）若xx 2 2，00,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx
6、2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（5 5）若）若xxtt，t+2t+2时，时，求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值.25,2123,2110 xy2 34 1 tt+2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 2x 3.3.（1 1）若）若xx 2 2，00,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）
7、若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（5 5）若）若xxtt，t+2t+2时，时，求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值.25,2123,21评注评注：例例1 1属于属于“轴轴定区间变定区间变”的问题，的问题，看作动区间沿看作动区间沿x x轴移轴移动的过程中，函数最动的过程中，函数最值的变化，即动区间值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，及包含定轴的变化，要注意开口方向及端要注意开口方向及端点情况。点情况。10 xy2 3 34 1 tt+2例例2 2、求函数、求函数
8、f(x)=axf(x)=ax2 22a2a2 2x+1(a0)x+1(a0)在区间在区间 1 1，22上的最值上的最值.10 xy2 1 例例2 2、求函数、求函数f(x)=axf(x)=ax2 22a2a2 2x+1(a0)x+1(a0)在区间在区间 1 1，22上的最值上的最值.10 xy2 1 例例2 2、求函数、求函数f(x)=axf(x)=ax2 22a2a2 2x+1(a0)x+1(a0)在区间在区间 1 1，22上的最值上的最值.10 xy2 1 例例2 2、求函数、求函数f(x)=axf(x)=ax2 22a2a2 2x+1(a0)x+1(a0)在区间在区间 1 1，22上的最
9、值上的最值.10 xy2 1 10 xy2 1 10 xy2 1 例例2 2、求函数、求函数f(x)=axf(x)=ax2 22a2a2 2x+1(a0)x+1(a0)在区间在区间 1 1，22上的最值上的最值.10 xy2 1 10 xy2 1 例例2 2、求函数、求函数f(x)=axf(x)=ax2 22a2a2 2x+1(a0)x+1(a0)在区间在区间 1 1，22上的最值上的最值.评注评注：例例2 2属于属于“轴变区间定轴变区间定”的问题，看作的问题，看作对称轴沿对称轴沿x x轴移动的过程中轴移动的过程中,函数最值的变化函数最值的变化,即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定即对称轴
10、在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。要注意开口方向及端点情况。10 xy2 1 10 xy2 1 例例3 3、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax+b+ax+b，x0,1x0,1，试确定试确定a a、b,b,使使f(x)f(x)的值域是的值域是0,1.0,1.10 xy2 1 例例3 3、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax+b+ax+b，x0,1x0,1，试确定试确定a a、b,b,使使f(x)f(x)的值域是的值域是0,1.0,1.10 xy2 1 例例3 3、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x
11、2 2+ax+b+ax+b，x0,1x0,1，试确定试确定a a、b,b,使使f(x)f(x)的值域是的值域是0,1.0,1.10 xy2 1 例例3 3、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax+b+ax+b，x0,1x0,1，试确定试确定a a、b,b,使使f(x)f(x)的值域是的值域是0,1.0,1.10 xy2 1 例例3 3、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax+b+ax+b，x0,1x0,1，试确定试确定a a、b,b,使使f(x)f(x)的值域是的值域是0,1.0,1.10 xy2 1 总结总结：求二次函数：求二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm，nn上上 的最值或值域的一般方法是：的最值或值域的一般方法是：（2 2）当）当x x0 0mm，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)、f(xf(x0 0）中的较大者是最大值中的较大者是最大值,较小者是最小值；较小者是最小值；（1）检查）检查x0=是否属于是否属于 m，n；ab2（3 3）当）当x x0 0 m m，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)中的较大中的较大 者是最大值，较小者是最小值者是最大值，较小者是最小值.
