1、高中数学必修二教学课件第一章第一章 空间几何体空间几何体1.3.2 球的体积和表面积制作一个乒乓球和一个篮球，分别需要多少材质？制作一个乒乓球和一个篮球，分别需要多少材质？把氢气球充满，需要多少氢气呢？把氢气球充满，需要多少氢气呢？1.1.了解球的体积、表面积的推导过程了解球的体积、表面积的推导过程.（难点）（难点）2.2.会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题.（重点）（重点）3.3.能解决与球的截面有关的计算问题及球的能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接内接”与与“外切外切”的几何体问题的几何体问题（难点）（难点）怎样求球的体积怎样求球的体积
2、?知识探究知识探究r=r=mVVm怎样求球的体积怎样求球的体积?h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积放入小球前放入小球前hH小球的体积小球的体积 等于等于它排开它排开液体的体积液体的体积实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积放入小球后放入小球后割圆术割圆术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了积公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”.他用加倍的方式他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小
3、割之弥细，所失弥小”.这样这样重复下去，就达到了重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的这是世界上最早的“极限极限”思想思想.AO球体由球体由N N个这样形状的几何体个这样形状的几何体组成组成球体的分割球体的分割334RV=这样可以求出球体的体积为这样可以求出球体的体积为球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为个网格，表面积分别为nSSSS ,321，则球的表面积为则球的表面积为nSSSSS =321iViSO OO O球的表面积球的表面积半径是半径是 的球的表面积：的球的表面积：R24SR=
4、球的表面积是大圆球的表面积是大圆面积的面积的4 4倍倍球的体积与表面积球的体积与表面积1.1.球的体积公式：球的体积公式：34VR.3=2.2.球的表面积公式：球的表面积公式：2S4 R.=例例1 1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：求证：（1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积.2.3知识应用知识应用证明证明:（1 1）设球的半径为）设球的半径为R R，则圆柱的底面半径为，则圆柱的底面半径为R R，高为高为2R.2R.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为设三
5、棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()()A.a A.a2 2B.aB.a2 2 C.a C.a2 2D.5aD.5a2 2【解题提示解题提示】这是一个组合体问题，解答此题只需这是一个组合体问题，解答此题只需画出三棱柱的直观图，弄清球心位置求出球的半径画出三棱柱的直观图，弄清球心位置求出球的半径即可即可.73113【变式练习变式练习】B B【解析解析】选选B.B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱，由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为且侧棱与底面边长相等，均为a.a.如图，设如图，设O,O1 1分别
6、为下、上底面中心，且球心分别为下、上底面中心，且球心O2 2为为O1 1O的中点，的中点，又又AD=a=a，AO=a=a，OO2 2=，设球的半径为，设球的半径为R R，则则所以所以S S球球=3 32 23 33 3a a2 222222222222 2117117R=AO=a+a=a.R=AO=a+a=a.34123412222222777744R=4R=4 a=a=a.a.1231231.1.（20122012广东高考）某几何广东高考）某几何体体的三视图如图所示，的三视图如图所示，它的体积为（它的体积为（）A.72 A.72 B.48 B.48 C.30 C.30 D.24 D.24【解
7、析解析】选选C.C.由三视图可知由三视图可知几何体是几何体是由一个半球和由一个半球和 一个一个倒立的圆锥组成的组合体倒立的圆锥组成的组合体.2323114114V=V=3 3 4+4+3=303=30.323323C C2.2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,53,4,5，且它，且它的的8 8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 （）A A2525 B B 50 50 C C 125 125 D D都不对都不对B3.3.一个球的半径扩大到原来的一个球的半径扩大到原来的3 3倍，则其表面积扩大倍，则其表面积扩大到
8、原来的到原来的_倍，体积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的_倍倍.【解析解析】设球原来的半径为设球原来的半径为R R，表面积为，表面积为S S表表，体积为，体积为V V，则扩大后的半径为则扩大后的半径为3R3R，表面积为，表面积为 ，体积为，体积为V,V,所以所以答案：答案：9 27 9 27 2 2表表2 2表表S S44(3R)(3R)=9，=9，S4S4R R3 33 34 4(3R)(3R)V V3 3=27.=27.4 4V VR R3 39 92727表表S S4.4.已知过球面上三点已知过球面上三点 的截面和球心的距离为球的截面和球心的距离为球半径的一半，且半径的一半，且 ，求球的
9、表面积，求球的表面积.,A B C2ABBCCA=C B A O O【解析解析】设截面圆心为设截面圆心为 ,连接连接 ,设球半径为设球半径为 ，则则OOAR.2 23 32 2 3 3O O A A=2 2=3 32 23 3在R Rt tO O O OA A中，中，2 22 22 2O OA A=O O A A+O O O O，所以2222222 312 31R=()+R，R=()+R，3434所以，4 4R R=3 3所以2 26464S=4S=4R=R=.9 9关键要求出半径关键要求出半径.熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练掌握球的体积、表面积公式：324VR3S4 R=不能忍受批评，就无法尝试新事物。本节结束，谢谢观看！
