1、 任何一个人，都必须养成自学的习惯，任何一个人，都必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。行就是一种独立学习，独立思考的能力。行路，还是要靠行路人自己。路，还是要靠行路人自己。科学是老老实实的学问，不可能靠运气来创造科学是老老实实的学问，不可能靠运气来创造发明，对一个问题的本质不了解，就是碰上机会也发明，对一个问题的本质不了解，就是碰上机会也是枉然。入宝山而空手回，原因在此。是枉然。入宝山而空手回，原因在此。学习有两个必经的过程：即学
2、习有两个必经的过程：即“由薄到厚由薄到厚”和和“由厚到薄由厚到薄”的过程的过程.-华罗庚华罗庚2.1 解析函数的概念解析函数的概念一一 复变函数的导数复变函数的导数二二 解析函数概念解析函数概念三三 柯西柯西-黎曼方程黎曼方程 一、复变函数的导数一、复变函数的导数1.复变函数的导数复变函数的导数zwz 0limzzfzzfz )()(lim000则称则称 在在 处处可导可导，)(zf0z设函数设函数 在在 点的某邻域内有定义，点的某邻域内有定义，)(zfw 0z定义定义zz 0是是0z,)()(00zfzzfw 的邻域内的任意一点，的邻域内的任意一点，如果如果存在有限的极限值存在有限的极限值
3、A，且称且称 A为为 在在 处的处的导数导数，)(zf0z.)(0zf 记作记作 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内的每一点都可导，内的每一点都可导，)(zf在在 D 内可导内可导，此时即得，此时即得 的的导导(函函)数数)(zf.)(zf )(zf则称则称 P22定义定义 2.1 .ddzAw 一、复变函数的导数一、复变函数的导数2.复变函数的微分复变函数的微分则称则称 在在 处处可微可微，)(zfz设函数设函数 在在 点的某邻域内有定义，点的某邻域内有定义，)(zfw zzz z定义定义是是的邻域内的任意一点，的邻域内的任意一点，若若 在区域在区域 D 内处处可微，则称内处处可微，则称
4、 在在 D 内可微内可微。)(zf)(zf如果存在如果存在 A，使得，使得,)|()()(zozAzfzzfw 记作记作zA.dzAw 为为微分微分，特别地，有特别地，有.dzz (考虑函数考虑函数 即可即可)()wf zz 导数导数反映的是反映的是“变化率变化率”；而而微分微分更能体现更能体现“逼近逼近”的的思想。思想。补补 3.可导与可微以及连续之间的关系可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可导 可微可微(2)可导可导 连续连续 由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。对二元实函数：对二元实函数：偏导数存在偏导数存在 可微可微 偏导数连续偏导数连续
5、。一、复变函数的导数一、复变函数的导数例例1 .)(2的导数的导数求求zzf 0()()limzf zzf zzCz 解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 2().f zzz 在在 平平面面上上处处处处可可导导4.求导法则求导法则;)()()()(zgzfzgzf ;)()()()()()(zgzfzgzfzgzf ,)()()()()()()(2zgzgzfzgzfzgzf .)0)(zg(1)四则运算法则四则运算法则P25 一、复变函数的导数一、复变函数的导数 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的
6、定义在形式上完全一致定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.4.求导法则求导法则(1)四则运算法则四则运算法则.)()()(zgzgfzgf .)(1)(1)()(wfzfwwz (2)复合函数的求导法则复合函数的求导法则(3)反函数的求导法则反函数的求导法则其中，其中，与与 是两个互为反函数的单值是两个互为反函数的单值)(wz )(zfw .0)(zf函数，且
7、函数，且一、复变函数的导数一、复变函数的导数二、二、解析函数概念解析函数概念则称则称 在在 点解析点解析；)(zf0z(1)如果函数如果函数 在在 点点以及以及 点的邻域内点的邻域内处处可导，处处可导，)(zf0z0z定义定义(2)如果函数如果函数 在区域在区域 D 内的每一点解析，内的每一点解析，)(zf则称则称)(zf或者称或者称 是是 D 内的内的解析函数解析函数。在在区域区域 D 内解析内解析，)(zf P25定义定义 2.2 (解析函数的由来解析函数的由来)DGz0:,().()()DGf zA GGf zDf zA D 如如果果存存在在区区域域闭闭区区域域且且则则称称在在闭闭区区域
8、域 上上解解析析 记记作作(3)(2)区域可导区域可导 区域解析。区域解析。关系关系(1)点可导点可导 点解析点解析；函数解析是与函数解析是与区域区域密切相伴的密切相伴的,要比可导的要求要高得多要比可导的要求要高得多.说明说明(3)闭区域可导闭区域可导 闭区域解析。闭区域解析。奇点奇点000(),()().f zzzzfzzf如如果果函函数数在在但但在在 的的任任一一邻邻域域,那那末末称称为为不不解解析析都都有有的的析析点点的的奇奇点点解解通常泛指的解析函数是容许有奇点的。通常泛指的解析函数是容许有奇点的。1wz 以以z=0为奇点。为奇点。u注解注解1、“可微可微”有时也可以称为有时也可以称为
9、“单演单演”，而，而“解析解析”有时也称为有时也称为“单值解析单值解析”、“全纯全纯”、“正则正则”等；等；u注解注解2、解析性与可导性的关系：在一个点、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；个整体概念；注解：注解：u注解注解3、函数在一个点解析，是指在这、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；在这个点解析；u注解注解4、闭区域上的解析函数是指在包、闭区域上的解析函数是指在包含这个区
10、域的一个更大的区域上解析；含这个区域的一个更大的区域上解析；注解：注解：性质性质(1)在区域在区域 D 内解析的两个函数内解析的两个函数 与与 的和、的和、差、积、商差、积、商(除去分母为零的点除去分母为零的点)在在 D 内解析。内解析。)(zf)(zg(2)如果函数如果函数 在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析，内解析，)(zg 则复合函数则复合函数 在在 D 内解析。内解析。)(gfw 函数函数 在在 平面上的区域平面上的区域 G 内解析，内解析，)(fw 且对且对 D 内的每一点内的每一点 z，函数，函数 的值都属于的值都属于 G，)(zg二、二、解析函数概念解析函数概念极限不
11、存在极限不存在(见见1.3)讨论函数讨论函数 的解析性。的解析性。2|)(zzfw 例例zwz 0lim当当 时，时，0 z即即,0lim0 zwz;0)0(f当当 时，时，0 zzwz 0lim不存在。不存在。因此，因此，仅在仅在 点可导，点可导，处处不解析处处不解析。0 z2|)(zzfw zzzzzzzz )()(lim0解解,|)(2zzzzfw )(22yx 由由有有.)(lim0zzzzzz 讨论函数讨论函数 的解析性。的解析性。yixzfw2)(例例yixyixyyixxyx )2()(2)(lim00解解zwz 0lim,2lim00yixyixyx 当当 时，时，0,0 yx
12、,2lim0 zwz当当 时，时，0,0 xy,1lim0 zwz因此，因此，处处不可导，处处不解析。处处不可导，处处不解析。yixzfw2)(对函数对函数 如何判别其解析性如何判别其解析性？问题问题,),(),()(yxviyxuzf 寻求研究解寻求研究解析性的更好析性的更好的方法的方法任务！任务！用定义讨论函数的解析用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！性绝不是一种好办法！三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1.点可导的充要条件点可导的充要条件且满足柯西且满足柯西 黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程：方程：和和 在点在点 处可微，处可微，),(yxu),(yxv),(yx(简称简
13、称 方程方程)RC ,yvxu .xvyu 函数函数 在点在点 处可导处可导),(),()(yxviyxuzfw 定理定理yixz 的充要条件是：的充要条件是：P24定理定理 2.2 .)(xvixuzf 求导公式求导公式三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1.点可导的充要条件点可导的充要条件)(zf若若在在 处可导，处可导，yixz 则则uuixyvuiyy.vviyx(关于关于C-R条件条件)()(,)(,),():(1),(,.)2(,),(,)(,)xyxyf zu x yiv x yDf zDzxyiu uvvx yu x yuvuvxyyv x yyxx 设设函函数数定定义义在在区区
14、域域内内 则则在在内内一一点点可可(微微)导导的的是是在在点点连连续续 ()()在在点点满满足足C-RC-R条条件件充充分分条条件件三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程2.区域解析的充要条件区域解析的充要条件和和 在区域在区域 D 内可微，内可微，且且),(yxu),(yxv函数函数 在区域在区域 D 内解析的内解析的),(),()(yxviyxuzfw 定理定理充要条件是：充要条件是：满足满足 C R 方程。方程。推论推论在区域在区域 D 内存在且连续，并满足内存在且连续，并满足 C R 方程，方程，),(),()(yxviyxuzfw 在区域在区域 D 内解析。内解析。和和 的四个偏导数的四
15、个偏导数若函数若函数),(yxu),(yxvyxyxvvuu ,则函数则函数 P26定理定理 2.4 可知不满足可知不满足 C R 方程，方程，解解 由由zw ,yix 有有,yvxu ,1 yv,0 xv,1 xu,0 yu所以所以 在复平面内处处不可导，在复平面内处处不可导，处处不解析。处处不解析。zw 讨论函数讨论函数 的可导性与解析性。的可导性与解析性。例例zw ,)()(3223yyxiyxx ,3223yyxvyxxu 有有,322yxyv ,2 yxxv ,322yxxu ,2 yxyu ,0 yx由由 C R 方程，方程，所以所以 仅在仅在 点可导，点可导，处处不解析处处不解析
16、。zw 2z)0,0(解解 由由zw 2zzz2|讨论函数讨论函数 的可导性与解析性。的可导性与解析性。例例2zzw ,2yyv ,0 xv,2xxu ,0 yu讨论函数讨论函数 的可导性与解析性。的可导性与解析性。例例22)(yixzf ,yx 由由 C R 方程，方程，解解 由由,22yvxu 有有处处不解析。处处不解析。所以所以 仅在直线仅在直线 上可导，上可导，yx 22)(yixzf xyyx,2yAxux ,2ByxAuy ,2yxDvy ,2yDxCvx 解解 由由有有,2222yxyDxCvByxyAxu 由由 C R 方程可得方程可得,22yxDyAx ,)2(2yDxCBy
17、xA 求解得求解得.2,1,1,2 DCBA即得即得cyxf),(常数常数)。(1)由由 解析，解析，证证viuzf )(,yxvu ,xyvu ,)(yxvu ,)(xyvu 由由 解析，解析，viuzf )(,0 yxyxvvuuvu,为常数，为常数，证证0),(yxf(常数常数)；(2)由由 解析，解析，viuzf )(,yxvu ,xyvu ,0 vu由由 在在 D 内为常数，内为常数，|)(|zfavu 22(常数常数)，两边分别对两边分别对 x,y 求偏导得：求偏导得：若若,0 uvvu 若若,0 uvvu方程组方程组(A)只有零解，只有零解，即得即得cyxf),(常数常数)。,0
18、 yxyxvvuuvu,为常数，为常数，,0 xxvvuu,0 yyvvuu ,0 yxuvuu,0 yxuuuv(A)小结与思考小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法；掌握函数解析的充要条件并能灵活运导方法；掌握函数解析的充要条件并能灵活运用用.注意注意:复变函数的导数定义与一元实变函数复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求它们的一些求导公式与求导法则也一样导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限然而
19、复变函数极限存在要求与存在要求与z 趋于零的方式无关趋于零的方式无关,这表明它在这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多一点可导的条件比实变函数严格得多.思考题思考题?)(00解析有无区别解析有无区别可导与在可导与在在点在点复变函数复变函数zzzf1、?),(),()(解解析析时时应应注注意意什什么么用用柯柯西西黎黎曼曼条条件件判判断断yxivyxuzf 2、2.2 解析函数与调和函数解析函数与调和函数一、调和函数一、调和函数二、二、共轭共轭调和函数调和函数三、三、构造解析函数构造解析函数一、调和函数一、调和函数,02222 yx 则称则称 为区域为区域 D 内的内的调和函数调和函数。),(
20、yx 若二元实函数若二元实函数 在区域在区域 D 内有内有连续二阶偏导数连续二阶偏导数，),(yx 定义定义且满足且满足拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程方程：P27定义定义 2.3 P28定理定理 2.5 二、二、共轭共轭调和函数调和函数设函数设函数 及及 均为区域均为区域 D 内的调和函数，内的调和函数，),(yxu),(yxv定义定义函数函数 在区域在区域 D 内解析的充要内解析的充要),(),()(yxviyxuzf 定理定理条件是：条件是：在区域在区域 D 内，内，v 是是 u 的共轭调和函数的共轭调和函数。则称则称 v 是是 u 的的共轭调和函数共轭调和函数。注意注意 v 是是
21、 u 的共轭调和函数的共轭调和函数 u 是是 v 的共轭调和函数的共轭调和函数。且满足且满足 C R 方程：方程：,yvxu ,xvyu P28定义定义 2.4 三、三、构造解析函数构造解析函数问题问题 已知实部已知实部 u，求虚部，求虚部 v(或者或者已知虚部已知虚部 v，求实部，求实部 u)，使使 解析，且满足指定的条件。解析，且满足指定的条件。),(),()(yxviyxuzf 注意注意 必须首先检验必须首先检验 u 或或 v 是否为调和函数是否为调和函数。方法方法 偏积分法偏积分法 全微分法全微分法构造解析函数构造解析函数 的依据：的依据：),(),()(yxviyxuzf 依据依据(
22、1)u 和和 v 本身必须都是调和函数；本身必须都是调和函数；(2)u 和和 v 之间必须满足之间必须满足 C-R 方程。方程。方法方法 偏积分法偏积分法三、三、构造解析函数构造解析函数(不妨仅考虑已知实部不妨仅考虑已知实部 u 的情形的情形)(1)由由 u 及及 C R 方程方程(2)将将(A)式的两边对变量式的两边对变量 y 进行进行(偏偏)积分得：积分得：yxuyyvyxvdd),(其中，其中，已知，而已知，而 待定待定。),(yxv)(x(3)将将(C)式代入式代入(B)式，求解即可得到函数式，求解即可得到函数.)(x 得到得到待定函数待定函数 v的两个偏导数：的两个偏导数：,xuyv
23、 .yuxv (A)(B)cyxv ),(C),)(x C方法方法三、三、构造解析函数构造解析函数 全微分法全微分法(不妨仅考虑已知实部不妨仅考虑已知实部 u 的情形的情形)(1)由由 u 及及 C R 方程方程得到待定函数得到待定函数 v 的的全微分：全微分：(2)利用第二类曲线积分利用第二类曲线积分(与路径无关与路径无关)得到原函数得到原函数：.dddddyxuxyuyyvxxvv cyyuxyuyxvyxyx ),(),(00dd),(),(yx),(00yxC0C1C2.ddcyyuxyuC 其中，其中，或或0CC .21CC 故故 是调和函数。是调和函数。),(yxu,02222 y
24、uxu,222 xu,222 yu由由解解(1)验证验证 为调和函数为调和函数),(yxu验证验证 为调和函数，并求以为调和函数，并求以),(yxu例例,)(zf的解析函数的解析函数使得使得为实部为实部xyyxu 22.1)(iif 由由,2)(2xyyuxyxv ,)(xx ,21)(2cxx .21212),(22cxyxyyxv ,)(212d)2(2xyxyyyxv ,2yvyxxu 由由解解(2)求虚部求虚部 。),(yxv方法一方法一：偏积分法偏积分法验证验证 为调和函数，并求以为调和函数，并求以),(yxu例例,)(zf的解析函数的解析函数使得使得为实部为实部xyyxu 22.1
25、)(iif ,2xyyuxv ,2yxxuyv 由由方法二方法二：全微分法全微分法(利用第二类曲线积分利用第二类曲线积分),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx ),()0,0(d)2(d)2(),(yxcyyxxxyyxv yxcyyxxx00d)2(d)(),(yxC1C2.2121222cxyxy 验证验证 为调和函数，并求以为调和函数，并求以),(yxu例例,)(zf的解析函数的解析函数使得使得为实部为实部xyyxu 22.1)(iif 解解(2)求虚部求虚部 。),(yxv,2xyyuxv ,2yxxuyv 由由方法三方法三：全微分法全微分法(利用利用“反微分反微分”法法
26、),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx .21212),(22cxyxyyxv ,)2/d(d2)2/d(d222yyxxxy ,)2/2/2d(22yxxy 验证验证 为调和函数，并求以为调和函数，并求以),(yxu例例,)(zf的解析函数的解析函数使得使得为实部为实部xyyxu 22.1)(iif 解解(2)求虚部求虚部 。),(yxv解解(3)求确定常数求确定常数 c根据条件根据条件,1)(iif 将将 代入得代入得1,0 yx,21 c.)21212()()(2222cxyxyixyyxzf ,1)21(1ici 即得即得.)2121212()()(2222 xyxyix
27、yyxzf221122.zzii验证验证 为调和函数，并求以为调和函数，并求以),(yxu例例,)(zf的解析函数的解析函数使得使得为实部为实部xyyxu 22.1)(iif 2.3 初等函数初等函数2.3.1 指数函数指数函数2.3.2 对数函数对数函数2.3.3 幂函数幂函数2.3.4 三角函数与反三角函数三角函数与反三角函数2.3.5 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数 复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们两者是一样的。两者是一样的。2.3 初等函数初等函数的定义方式尽可能保持一致。的定义方式尽可能保持一致。本节主要从
28、下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：定义定义、定义域定义域、运算法则运算法则、连续性连续性、解析性解析性、单值性单值性等等等等。特别是当自变量取实值时，特别是当自变量取实值时，特别要注意与实初等函数的区别。特别要注意与实初等函数的区别。一、指数函数一、指数函数,yixz )sin(coseyiywx 对于复数对于复数称称定义定义为为指数函数指数函数,记为记为 或或zwexp.ezw 注注(1)指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数函数都通过指数函数来定义。都通过指数函数来定义。(2)借助
29、欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：.)sin(coseeeeeyiywxyixyixz P31定义定义 2.5 ,.(cossin)zxeeyiy(3 3)没没有有幂幂的的意意义义 只只是是一一个个符符号号 代代表表一、指数函数一、指数函数性质性质(1)是是单值函数单值函数。ze事实上，对于给定的复数事实上，对于给定的复数,yixz 定义中的定义中的 均为单值函数。均为单值函数。yyxsin,cos,e事实上，在无穷远点有事实上，在无穷远点有(2)除无穷远点外，处处有定义。除无穷远点外，处处有定义。ze当当 时，时，xy,0;e z当当 时，时，xy,0.
30、0ez(3).0e z.0sincos,0e yiyx因为因为性质性质(6)是以是以 为周期的周期函数。为周期的周期函数。zeik2一、指数函数一、指数函数指数函数指数函数 的图形的图形ze二、二、对数函数对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数对数函数定义为指数函数的反函数。.Lnzw 记作记作zwLn zArgiz|ln即即zw e)(zfw 满足方程满足方程的函数的函数称为称为对数函数对数函数，定义定义计算计算 令令,|eeArg izirzz ,viuw 由由,ezw 有有,eee iviur ,|lnlnzru .Argzv 由由 z 的模得到的模得到 w 的实部的实部；由由 z 的
31、辐角得到的辐角得到 w 的虚部的虚部。,2arg|lnikziz .),2,1,0(k P32定义定义 2.6 二、二、对数函数对数函数 显然对数函数为显然对数函数为多值函数多值函数。主值主值(枝枝)zwLn 称称为为的的主值主值(枝枝)，zizwarg|ln .lnzw 记为记为故有故有,2lnLnikzz .),2,1,0(k分支分支(枝枝)特别地，当特别地，当 时时,0 xz的主值的主值 就是实对数函数。就是实对数函数。zLnxzlnln 对于任意一个固定的对于任意一个固定的 k，称，称 为为 的的ikz2ln zLn一个一个分支分支(枝枝)。,2arg|lnLnikzizzw .),2
32、,1,0(k二、二、对数函数对数函数性质性质在原点无定义，故它的定义域为在原点无定义，故它的定义域为zwLn.0 z(1)(2)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续；的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续；zLnzln在除去原点及负实轴的平面内连续。在除去原点及负实轴的平面内连续。特别地，特别地，注意到，注意到，函数函数arg z在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。注意到，注意到，函数函数在原点无定义；在原点无定义；a rg z0.we或者指数函数或者指数函数1dlnd()wwzze由反函数求导法则可得由反函数求导法则可得11.wez进一步有进一步有2dLnd(ln)ddzz
33、kizz1d ln.dzzz(在集合意义下在集合意义下)二、二、对数函数对数函数性质性质(3)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；zLnzln在除去原点及负实轴的平面内解析。在除去原点及负实轴的平面内解析。特别地，特别地，三种对数函数的联系与区别：三种对数函数的联系与区别：函函数数单单值值与与多多值值xlnzLnzln单值多值单值定定义义域域所有正实数所有非零复数所有非零复数注注解解一个单值时，0 xzxln为zln分支为对数函数对数函数Lnz的图形的图形主值主值.2)(lnii 解解ikiiii2)(arg|ln)(Ln (1)iki221ln
34、)(,22iki ikiiii2)1(arg|1|ln)1(Ln (2),242ln)(iki 主值主值.42ln)1(ln)(ii ;)12(ik 解解iki2)1(arg|1|ln)1(Ln 主值主值.)1(lni iki21ln 求对数求对数 以及它的主值。以及它的主值。)1(Ln 例例 可见，在复数域内，负实数是可以求对数的可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。三、三、幂函数幂函数称为复变量称为复变量 z 的的幂函数幂函数。还还规定规定：当：当 a a 为正实数，且为正实数，且 时，时，0 z.0 a az(为复常数，为复常数，)a azw zzLnea aa a 定义定义 函数函数
35、 规定规定为为0 za a注意注意上面利用指数函数以一种上面利用指数函数以一种“规定规定”的方式定义了幂函数，的方式定义了幂函数，但不要将这种但不要将这种“规定规定”方式反过来作用于方式反过来作用于指数指数函数，函数，.eLneLneeezzz?即即 P33定义定义 2.7 讨论讨论此时，此时，处处解析，且处处解析，且.)(1 a aa aa azza az当当 为正整数时为正整数时,a a.lnLneeznznnz (单值单值)(1)此时，此时，除原点外处处解析，且除原点外处处解析，且.)(1 a aa aa azza az当当 为负整数时为负整数时,a a.1nnzz (2)(单值单值)当
36、当 时时,0 a a.10 z(3)三、三、幂函数幂函数讨论讨论其中，其中，m 与与 n 为互质的整数，且为互质的整数，且 .1 n(5)当当 为无理数或复数为无理数或复数()()时时，a a0Im a a当当 为有理数时为有理数时,a a(4).nmnmzz(值值)n此时，此时，除原点与负实轴外处处解析，除原点与负实轴外处处解析，a az一般为一般为无穷多值无穷多值。此时，此时，除原点与负实轴外处处解析。除原点与负实轴外处处解析。a az.)(1 a aa aa azz且且三、三、幂函数幂函数13z的图形的图形解解iiiiLne)(22eikii .),2,1,0(k,)(22ek 可见，可
37、见，是正实数是正实数，ii它的主值是它的主值是2.e 例例 求求 的值。的值。ii.),2,1,0(k,)22(sin)22(coskik ik22e)20(02e ki 求求 的值。的值。21例例1Ln22e1 解解 可见，不要想当然地认为可见，不要想当然地认为11.a a四、三角函数四、三角函数启示启示 由欧拉公式由欧拉公式,sincose ii 有有,sincose ii ,)(21cosee ii .)(21sinee iii 余弦函数余弦函数;)(21coseeziziz 正弦函数正弦函数.)(21sineeziziiz 定义定义 P34定义定义 2.8 其它三角函数其它三角函数四、
38、三角函数四、三角函数性质性质 周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样；周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样；各种三角公式以及求导公式可以照搬；各种三角公式以及求导公式可以照搬；有界性有界性(即即 )不成立。不成立。1|cos|,1|cos|zz(略略)sinz 的图形的图形cosz 的图形的图形tanz 的图形的图形iiiiii2)21sin()21()21(ee .1cos21sin22222eeee i.cosi例例 求求2coseei ii ii 根据定义，有根据定义，有解解.2ee1 .)21sin(i 例例 求求根据定义，有根据定义，有解解iii2)1sin1(cos)1s
39、in1(cos22ee 五、反三角函数五、反三角函数记为记为.cosArczw 如果如果定义定义,coszw 则称则称 w 为复变量为复变量 z 的的反余弦函数反余弦函数，,12e zzwi,012)(ee2 wiwiz,1Ln)(2 zzwi.1LncosArc)(2 zzizw计算计算,)(21coseewiwiwz 由由 同理可得同理可得.Ln2tanArcziziiz ;1LnsinArc)(2zz iiz 反三角函数反三角函数Arctanz的图形的图形六、双曲函数与反双曲函数六、双曲函数与反双曲函数;chshthzzz 双曲正切函数双曲正切函数.shchcothzzz 双曲余切函数双
40、曲余切函数;)(21sheezzz 双曲正弦函数双曲正弦函数定义定义双曲余弦函数双曲余弦函数;)(21cheezzz P36定义定义 2.9 双曲函数双曲函数sinhz（或（或shz）六、双曲函数与反双曲函数六、双曲函数与反双曲函数反双曲正切函数反双曲正切函数;11Ln21Arthzzz 反双曲余弦函数反双曲余弦函数;1LnArch)(2 zzz反双曲正弦函数反双曲正弦函数定义定义;1LnArsh)(2 zzz反双曲余切函数反双曲余切函数.11Ln21Arcoth zzzP36 小结与思考小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内
41、的自然推广,它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性质本性质,又有一些与后者不同的特性又有一些与后者不同的特性.如如:1.指数函数具有周期性指数函数具有周期性)2 (i周期为周期为2.三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性3.双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数思考题思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同哪些异同?本章总结本章总结1、复变函数导数与解析函数的概念、复变函数导数与解析函数的概念2、函数可导与解析的判别方法：、函数可导与解析的判别方法：1）利用定义；）利用定义；2）利用充（分）要条件）利用充
42、（分）要条件3、解析函数与调和函数的关系、解析函数与调和函数的关系4、复变初等函数、复变初等函数复复变变函函数数连续连续初等解析函数初等解析函数判判别别方方法法可导可导解析解析指数函数指数函数对数函数对数函数三角函数三角函数双曲函数双曲函数幂幂 函函 数数本章内容总结本章内容总结解析函数与调和解析函数与调和函数的关系函数的关系第二章第二章 完完附：附：知识广角知识广角 解析函数的由来解析函数的由来 解析函数的名称是解析函数的名称是康道尔西康道尔西(Condorcet)首先使用的。他的首先使用的。他的研究报告没有公开出版，但有很多人知道他的工作。研究报告没有公开出版，但有很多人知道他的工作。在康
43、道尔西使用该名称在康道尔西使用该名称 20 年之后，年之后，拉格朗日拉格朗日(Lagrange)也也使用了解析这个术语，他在使用了解析这个术语，他在解析函数论解析函数论中将能展开成中将能展开成级数的函数说成是解析函数。级数的函数说成是解析函数。现在所使用的解析函数的概念，则基本上是在现在所使用的解析函数的概念，则基本上是在魏尔斯特拉魏尔斯特拉斯斯(Weierstrass)的著作中形成的。的著作中形成的。(返回返回)1755年，年，欧拉欧拉(Euler)也提到了上述关系式。也提到了上述关系式。附：附：知识广角知识广角 关于关于 C-R 条件条件,yvxu .xvyu 1746年，年，达朗贝尔达朗
44、贝尔(DAlemert)在研究流体力学时首先提到在研究流体力学时首先提到了如下的关系式：了如下的关系式：若函数若函数 是解析函数，则上述关系式成立。是解析函数，则上述关系式成立。ivuzf )(1777年，年，欧拉欧拉的的两篇研究报告两篇研究报告(1793年与年与1794年才发表年才发表)中中,证明了条件的必要性，即证明了条件的必要性，即附：附：知识广角知识广角 关于关于 C-R 条件条件 1851年，上述关系式在黎曼的第一篇重要论文年，上述关系式在黎曼的第一篇重要论文(博士论文博士论文)“复变函数论的基础复变函数论的基础”中再次出现。黎曼把它当作了解析中再次出现。黎曼把它当作了解析函数定义的
45、基础，并且在它上面建立了相应的理论。函数定义的基础，并且在它上面建立了相应的理论。上述关系式在柯西的著作中也多次出现。柯西在很长时期上述关系式在柯西的著作中也多次出现。柯西在很长时期内没能解决所研究的函数应当满足什么样的条件才能成为内没能解决所研究的函数应当满足什么样的条件才能成为解析函数，直到晚年他才区分出解析函数类。解析函数，直到晚年他才区分出解析函数类。后来人们就以柯西和曼黎的名字来命名上述关系式，不过后来人们就以柯西和曼黎的名字来命名上述关系式，不过也有些著作把该上述关系式称为欧拉达朗贝尔条件。也有些著作把该上述关系式称为欧拉达朗贝尔条件。附：附：人物介绍人物介绍 柯西柯西 数学史上最
46、多产的数学家之一数学史上最多产的数学家之一。复变函数论的奠基人之一复变函数论的奠基人之一。数理弹性理论的奠基人之一数理弹性理论的奠基人之一。法国数学家(17891857)柯 西A.L.Cauchy 在纯数学和应用数学方面的功力相当深厚。很多数学定理在纯数学和应用数学方面的功力相当深厚。很多数学定理和公式都是以他的名字命名的，如柯西不等式、柯西积分和公式都是以他的名字命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等等。公式等等。在论文写作数量上，柯西仅次于欧拉。他一生中总共发表在论文写作数量上，柯西仅次于欧拉。他一生中总共发表了了 789 篇论文和几本书。他的全集从篇论文和几本书。他的全集从 1882 年开
47、始出版，直年开始出版，直到到 1974 年才出齐最后一卷，总计年才出齐最后一卷，总计 28 卷。卷。附：附：人物介绍人物介绍 柯西柯西附：附：人物介绍人物介绍 黎曼黎曼德国数学家(18261866)黎 曼B.Riemann 是世界数学史上最具独创精神的数学家之一是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。复变函数论的奠基人之一复变函数论的奠基人之一。黎曼几何的创始人黎曼几何的创始人。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极具创造与想象力。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极具创造与想象力。附：附：人物介绍人物介绍 黎曼黎曼 柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，但在处理复变函数理论的方法上，黎曼的方法奠基人，但在处理复变函数理论的方法上，黎曼的方法被认为是本质的。被认为是本质的。在其短暂的一生中，黎曼为数学的众多领域作出了许多在其短暂的一生中，黎曼为数学的众多领域作出了许多奠基性、创造性的工作。奠基性、创造性的工作。复变函数中许多术语，如复变函数中许多术语，如单值函数单值函数、多值函数多值函数、分支分支、单叶曲面单叶曲面以及以及单连通区域单连通区域等，都是黎曼首先使用的。等，都是黎曼首先使用的。(返回返回)
