1、2 复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人,没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫不夸张地说,谁不懂得复合微分法,谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行.二、复合函数的全微分 一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则 设函数设函数(,)(,)xs tys t 与与(1)定义在定义在st 平面的区域平面的区域 D 上上,函数函数 (,)zf x y(2)定义在定义在 xy 平面的区域平面的区域 _D上上.若若_(,)(,),(,),(,),x yxs tys ts tDD 则可构成则可构成复合函数复合函数:(,)(,),(,),(,).zF s tfs ts ts tD (3)其中其
2、中(1)为内函数为内函数,(2)为外函数为外函数,(x,y)为中间变量为中间变量,(s,t)为自变量为自变量.下面将讨论复合函数下面将讨论复合函数 F 的可微性的可微性,并导出并导出 F 的偏导的偏导 数与全微分的复合运算法则数与全微分的复合运算法则.(,),(,)xs tys t (,)s tD 定理定理17.5 若若在点在点可可(,)zf x y(,)(,),(,)x ys ts t 微，微，在点在点可微可微,则则 关于关于 s 与与 t 的偏导数分别为的偏导数分别为 (,),(,)zfs ts t (,)s t复合函数复合函数在点在点可微，且可微，且(,)(,)(,)(,)(,)(,)(
3、,)(,)(,)(,),.s tx ys tx ys ts tx ys tx ys tzzxzysxsyszzxzytxtyt(4)是是22,yyyststst (6)(,),(,)xs tys t (,)s t证证 由假设由假设 在点在点 可微可微,于于 11,xxxststst (5),zzzxyxyxy (7)现把现把(5),(6)两式代入两式代入(7)式，得到式，得到 11zxxzststxst (,)(0,0)st 1122(,)(0,0,0,0).其中其中 时时(,)zf x y(,)x y又由又由在点在点可微可微,故有故有 (,)(0,0)xy (,)(0,0),其中其中 时，时
4、，并可补充并可补充 0 xy 0.定义定义:当当时时,22.zyyststyst 整理后又得整理后又得 其中其中,zxzyzsxsyszxzytstxtyt (8)1122(,)(0,0,0,0).并求得并求得 z 关于关于 s 和和 t 的偏导数公式的偏导数公式(4)(0,0),(,)(0,0),从而也有从而也有 以及以及 于是在于是在(9),(10)两式中两式中,当当(,)(0,0)st 时时,有有 公式公式(4)也称为也称为链式法则链式法则 能轻易省略的能轻易省略的,否则上述复合求导公式就不一定成否则上述复合求导公式就不一定成 立例如立例如 注注 如果只是求复合函数如果只是求复合函数(,
5、),(,)fs ts t 关于关于 s 或或 t 的偏导数的偏导数,则上述定理中则上述定理中(,),(,)xs tys t 只只s 须具有关于须具有关于 s 或或 t 的偏导数就够了的偏导数就够了.因为以因为以 或或t 0s 0,t 除除(7)式两边式两边,然后让然后让或或也能得也能得 到相应的结果到相应的结果.但是对外函数但是对外函数 f的可微性假设是不的可微性假设是不 2222222,0,(,)0,0.x yxyxyf x yxy ()(,),2tzF tf t td1.(4),d2zt有若形式地使用法则将得出错误结论:有若形式地使用法则将得出错误结论:为内函数，则得到以为内函数，则得到以
6、 t 为自变量的复合函数为自变量的复合函数 (0,0)(0,0)0,xyff(,)f x y由由 1 习题习题 6 已知已知 但但(,)f x y,xt yt 在点在点(0,0)不可微不可微.若以若以为外函数为外函数,000(0,0)(0,0)dddddd0 10 10.tttzzxzytxtyt 这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微 这个条件这个条件.则复合函数则复合函数11,(,)(,)mmf uuuu一般地 若在点可微,函数组一般地 若在点可微,函数组1(,)(1,2,)kknugxxkm1(,)(1,2,),nixxxin在点具有对于
7、的偏导数在点具有对于的偏导数11211(,),(,),(,)nnmnf gxxgxxgxx1(1,2,).mkkikiuffinxux .zzxy求与求与解解 所讨论的复合函数以所讨论的复合函数以(u,v)为中间变量为中间变量,(x,y)为为 自变量自变量,并满足定理并满足定理 17.5 的条件的条件.故由故由 关于自变量关于自变量 (1,2,)ixin 的偏导数为的偏导数为 222ln(),e,1,xyzuvuvxy 而而例例设设试试2221,zuzuvuvuv22e,2 e,2,1,xyxyuuvvyxxyxy根据公式根据公式(4)得到得到 22221e2xyuxuvuv zzuzvxux
8、vx222(e),xyuxuv 例例2(,),cos,uu x yxr 设设可可微微 在在极极坐坐标标变变换换222221.uuuurxyr 因此有因此有 221(4e1).xyuyuv zzuzvyuyvysin,yr 之下 证明:之下 证明:cossin,uuxuyuurxryrxy(sin)cos.uuxuyuurrxyxy于是于是 22221cossinuuuurxyr 221sincosuurrxyr22.uuxy解解 复合后仅是自变量复合后仅是自变量 t 的一元函数于是的一元函数于是ddddddddzzuzvzttutvttt例例3 dsin,e,cos,.dtzzuvtuvtt设
9、其中求设其中求e(sin)costvutte(cossin)cos.tttt的复合函数对的复合函数对 t 求导数求导数(这种导数又称为这种导数又称为“全导数全导数”);求偏导数二者所用的符号必须有所区别求偏导数二者所用的符号必须有所区别 例例4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:2(1)ln(1);(2).sincosxxxxyxyxx 注注 上面第一个等式中，左边的上面第一个等式中，左边的 ddzt是作为一元函数是作为一元函数右边的右边的 zt 是外函数是外函数(作为作为 u,v,t 的三元函数的三元函数)对对 t ddddddyyuyvwvxux
10、vwxx11lnlnxxxxxxxxxxx x xxx2(2),sincos,1,ln,vwyuxx vxwxu 令令则有则有 21ln(ln).xxxxxxxx11lnlnvvxxvuuuxwwwddddddddyyuyvywxuxvxwx221(sincos)(1)ln(sincos)xxxxxx 由此可见，以前用由此可见，以前用“对数求导法对数求导法”求一元函数导数求一元函数导数 的问题的问题,如今可用多元复合函数的链式法则来计算如今可用多元复合函数的链式法则来计算.21(cossin)2vwwvxxxuuxu 21(sincos)(2 ln).xxxxxx (1,1),()(,(,(,
11、),(1).yfbxf x f x f x x 试试求求解解 令令()(,),(,),(,),xf x yyf x zzf x uux dd()ddxyxyxzyzxffffffxx 则有则有 由于由于 d1,(1,1),(1,1)(1,1)(1,1),dxyzuufa fffbxd.dxyxzxuuffffffx而实用的写法而实用的写法(省去了引入中间变量省去了引入中间变量):23(1)().ab ab abaababb 因因此此说明说明 上面的解法是通过引进中间变量上面的解法是通过引进中间变量,y z u后后,借借 助链式法则而求得的助链式法则而求得的;上述过程还有一种比较简洁上述过程还有
12、一种比较简洁 121212()(1),xffffff ().ab ab ab121(1)(1,1)(1,1)(1,1)fff 212(1,1)(1,1)(1,1)fff(,)(,).xyy fx yx fx y 0.f uuxuyxyrf证明证明:在极坐标系里在极坐标系里 只是只是的函数的函数为此设为此设 (,),cos,sin,uf x yxry 则则得得证证 本题即是要证明本题即是要证明:经经极坐标变换后，极坐标变换后，f满足满足 2Rf例例6 设在设在 上的可微函数上的可微函数 满足方程满足方程 (sin)(cos)uurrxy uuyxxy 是是 r的函数的函数 f2R f从而从而 在
13、在上的上的极坐标系里与极坐标系里与无关无关,于是于是 只只 0.ffyxxy 二、复合函数的全微分 分为分为(,),(,),xs tys t ddd.zzzxyxy(11),x y,s t如果如果 作为中间变量作为中间变量,又是自变量又是自变量 的可微函数的可微函数 则由定理则由定理17.5 知道知道,复合函数复合函数(,),(,)fs ts t 是是 可微的可微的,其全微分为其全微分为 ddzxzyzxzystxsysxtytdddzzzstst将将(13)式代入式代入(12)式式,得到与得到与(11)式完全相同的结式完全相同的结 果果,这就是多元函数的这就是多元函数的一阶一阶(全全)微分形
14、式不变性微分形式不变性.利用微分形式不变性利用微分形式不变性,能更有条理地计算复合函数能更有条理地计算复合函数 的全微分的全微分d,z算算并并由由此此导导出出.zzxy与与ddde sin de cos d,uuuvzzuzvv uv v ddd,ddd,uyxx yvxy因此因此 de sin(dd)e cos(dd)uuzv y xxyvxy并由此得到并由此得到 esin()cos()dxyyxyxyxesin()cos()d,xyxxyxyye sin()cos(),xyzyxyxyx esin()cos().xyzxxyxyy 复习思考题1.在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一在
15、一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一 个结果个结果:1()(1ln)ln.xxxxxxxx xxx 数与指数函数求导数而得到的数与指数函数求导数而得到的.有人认为这是偶然有人认为这是偶然 的巧合，也有人认为这是必然的结果试问哪一的巧合，也有人认为这是必然的结果试问哪一 种看法是正确的？请说出依据种看法是正确的？请说出依据 的复合函数的复合函数.考察下面计算复合函数偏导数的一种考察下面计算复合函数偏导数的一种 写法写法:,uuxuyutxtytt试问这个写法有何不妥？怎样纠正？试问这个写法有何不妥？怎样纠正？2.设由可微的设由可微的 (,),(,),(,)uu x y txx s tyy s t 得得
