1、傅立叶积分变换傅立叶积分变换 （傅氏变换）（傅氏变换）拉普拉斯积分变换拉普拉斯积分变换 （拉氏变换）（拉氏变换）1、何为积分变换：、何为积分变换：的的积积分分变变换换为为一一般般地地，称称记记为为)()()(),(tfwFdttfwtkba所谓积分变换，实际上建立了从一类函数所谓积分变换，实际上建立了从一类函数f(t)到另一到另一类函数类函数F(w)的一种映射。的一种映射。变换（映射）前的变换（映射）前的f(t)称为称为原象函数原象函数变换（映射）后的变换（映射）后的F(w)称为称为象函数象函数K(t,w)称为变换的称为变换的核核2、积分变换的产生及作用：、积分变换的产生及作用：数学中经常利用
2、某种运算先把复杂问题变为比较简数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解！的解！原原 问问 题题原问题的解原问题的解直接求解困难直接求解困难变换变换较简单问题较简单问题变换后问题的解变换后问题的解求求 解解逆变换逆变换如：初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商如：初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；运算化为较简单的和、差运算；再如：高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标再如：高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的变换，复变函数中的保角变换（？）保角变换（
3、？），其解决问题，其解决问题的思路都属于这种情况。的思路都属于这种情况。基于这种思想，为解决某些问题的需要，便产生基于这种思想，为解决某些问题的需要，便产生了积分变换。了积分变换。其主要作用体现在：其主要作用体现在：数学上：求解常微分、偏微分方程的重要工具；数学上：求解常微分、偏微分方程的重要工具；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化能实现卷积与普通乘积之间的互相转化 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析 的重要工具的重要工具3、积分变换的任务：、积分变换的任务：1）建立正变换）建立正变换T和逆变换和逆变换T-1的表达式（定义）的表达式（定义）2）
4、变换）变换 T和和T-1的性质的性质3）基本运算）基本运算Tf(t),T-1F(w)4)积分变换的应用积分变换的应用4、常见积分变换：、常见积分变换：dtetfjwt)(0dtetfst)(拉普拉斯变换拉普拉斯变换dtsttf)(希尔伯特变换希尔伯特变换cadttftz)()(欧拉变换欧拉变换傅立叶变换傅立叶变换本课程讨论前两种：本课程讨论前两种：傅立叶变换是由傅立叶积分公式引出的傅立叶变换是由傅立叶积分公式引出的1 傅立叶积分公式傅立叶积分公式一、周期函数的傅立叶展开式（指数形式）：一、周期函数的傅立叶展开式（指数形式）：()1;2.TTft 设周期为 的函数满足狄里克莱条件，即在一个周期之
5、内：）连续或只有有限个第一类间断点）有有限个极值点则在连续点处定可展成傅立叶级数：则在连续点处定可展成傅立叶级数：102nnnTtnbtnaatf)sincos()(（间断点收敛情况如何？）（间断点收敛情况如何？）其中：其中：2222TTTntdtntfTaTcos)(,sin)(210222ntdtntfTbTTTn由欧拉公式：由欧拉公式：sin,2jn tjn teen tjcos2jntjnteent代入代入fT(t)表达式中，得表达式中，得10)22(2)(ntjnnntjnnnTejbaejbaatf00,222nnnnnnaab jab jccc若记：则22221()cossin1
6、 ()TTnTTjn tTTcftn tjn t dtTft edtT221()Tjn tTnTcft edtT2021()TTTcft dtT至此我们得到了傅立叶展式的指数表达式：至此我们得到了傅立叶展式的指数表达式：ntjnnTectf)(,)(210122ndtetfTcTTtjnTn频率）频率）(T2将它们合写成一个式子，即将它们合写成一个式子，即nn若令，则()njtTnnftc e二、非周期函数的傅立叶积分公式：二、非周期函数的傅立叶积分公式：任何一个非周期函数任何一个非周期函数f(t),都可看成是有某个周都可看成是有某个周期函数期函数fT(t)当当T+时转化而来的。于是有时转化而
7、来的。于是有n()lim()limjtTnTTnf tftc e221lim()nnTjjtTTnfedeT 注意到注意到2,nnnT11111()222nnnT就有就有nT+0.当时，有所以前面式子可以写为221()lim()2nnnTjjtTTnnf tfede 0lim()nTnnn记为根据定积分的定义，可得()1 ()2jjtf tdfeded（）01 ()()()2nnnjjtTnnTfede 显然，当，即时，这个公式称为函数这个公式称为函数f(t)的傅立叶积分公式（简称的傅立叶积分公式（简称傅氏积分公式）。傅氏积分公式）。傅立叶积分定理：傅立叶积分定理：上上，且且满满足足：定定义义
8、在在若若),()(tf1）在任一有限区间上满足狄里克莱条件）在任一有限区间上满足狄里克莱条件2）在（）在（-，+）上绝对可积，即）上绝对可积，即dttf)(则有：则有：dedeftftjj)()(21同傅立叶级数展开一样，上面公式也仅在同傅立叶级数展开一样，上面公式也仅在f(t)的连续点处成立！间断点处，左端应换为的连续点处成立！间断点处，左端应换为f(t)的左、右极限的平均值的左、右极限的平均值由欧拉公式，上式也可用三角函数表示：由欧拉公式，上式也可用三角函数表示：()1()()21 ()cos()2 ()sin()jtf tfeddftdjftdd01ddtf)(cos)(奇奇偶偶性性2
9、傅立叶积分变换傅立叶积分变换一、定义：一、定义：上一节介绍了：当上一节介绍了：当f(t)满足一定条件（满足一定条件（？）时，）时，在在f(t)的连续点处有傅立叶积分公式成立：的连续点处有傅立叶积分公式成立：dedeftftjj)()(21这就引出了傅立叶变换的概念：这就引出了傅立叶变换的概念：()f t 若定义在（，）上，则其傅立叶变换为：()()()j tF f tf t edtF记为Ff tf tF 其中：是实变量，()叫做()的象函数，()叫做()的象原函数。若是已知象函数，求象原函数，则称为若是已知象函数，求象原函数，则称为逆变换逆变换。记为记为根据傅立叶积分公式，付氏逆变换的表达式为
10、：根据傅立叶积分公式，付氏逆变换的表达式为：1()()2j tf tFed象函数和象原函数构成了一个傅氏变换对。象函数和象原函数构成了一个傅氏变换对。1()()f tFF注：注：1、象函数象函数F()为一为一实变量复值函数实变量复值函数2、傅氏逆变换的表达式傅氏逆变换的表达式deFtftj)()(21也被称为函数也被称为函数f(t)的（付氏）的（付氏）积分表达式！积分表达式！0()000tetf tt例：求函数，其中的傅立叶积分变换及其积分表达式：()()j tF f tf t edt0dteetjt代代入入()()001jtjtedtej 221jj首先求首先求f(t)的傅氏变换的傅氏变换
11、下面再来求下面再来求f(t)的积分表达式：的积分表达式：deFtftj)()(212212j tjed下面化简下面化简整理！整理！dtjtj)sin(cos22212201cossinttd奇、偶性如何得出如何得出由此得到由此得到220t0,t0costsint,t02e,t0它的它的n次谐波次谐波()为为二、非周期函数的频谱二、非周期函数的频谱1.周期函数的频谱：周期函数的频谱：考虑以考虑以T T为周期的非正弦函数为周期的非正弦函数f(tf(t)，其傅氏展式为，其傅氏展式为nncossinsin()nnnnnnnatbtAt其其振幅振幅为为22nnnAab在复指数形式中，在复指数形式中，n
12、n次谐波为次谐波为01()(cossin)2njtnnnnnaf tan tbn tc e2211|=2|22nnnnnnnccabAAc显然，即 我们通常称我们通常称An为为f(t)的振幅频谱（简称为频谱）的振幅频谱（简称为频谱），所谓频谱图，是指频率和振幅的关系图。由于，所谓频谱图，是指频率和振幅的关系图。由于频率不是连续的，所以称之为离散频谱。频率不是连续的，所以称之为离散频谱。频谱图能够清楚地表明周期函数包含了那些频谱图能够清楚地表明周期函数包含了那些频率分量及各分量所占的比重（振幅大小）。频率分量及各分量所占的比重（振幅大小）。,22nnnnnnajbajbcc其中,nnjtjtnn
13、c ec e2.非周期函数的频谱：非周期函数的频谱：当当f(tf(t)满足傅氏积分条满足傅氏积分条件时，在件时，在f(tf(t)的连续点处的连续点处deFtftj)()(21由此引出以下术语：由此引出以下术语：()()j tFf t edt其中其中()nFc 对照周期函数傅氏级数的复指数形式，由于积分本质上也是一种求和，所以相当于 的作用。只不过这里频率 是连续变化的而已。()()()()()()f tFf tFf tF 在频谱分析中，称的傅立叶变换为的频谱函数。频谱函数的模称为的振幅频谱（简称频谱）。的图形称为频谱图。由于此时频率是连续变化的，所以我们又称之为由于此时频率是连续变化的，所以我
14、们又称之为连续频谱。频谱图直观反映了各频率成分所占比重连续频谱。频谱图直观反映了各频率成分所占比重的大、小。的大、小。注注1|F()|振幅频谱是频率 的偶函数。()()()cosj()sinj tFf t edtf ttdtf ttdt事实上，22()|()cos()sin()|()|Ff ttdtf ttdtFF所以|显然有|2()02aEtf tat例题 做出单个矩形脉冲的频谱图。22 ()2 sin2j taj taFEedtEaEedt解：频谱函数注注2()sin()arctanf(t)()cos f ttdtf ttdt 我们定义为的相角频谱，显然它是 的奇函数。因此其频谱图为：因此其频谱图为：)(FEao显然，显然，频率频率越大，分解式中该成分的比例越小。越大，分解式中该成分的比例越小。以上术语初步揭示了付氏变换在频谱分析中以上术语初步揭示了付氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！细介绍！22aEFsin)(频谱为频谱为2a4a6a
