1、1111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax 齐次线性方程组：齐次线性方程组：其矩阵形式为其矩阵形式为 AX0。(1)(,0)BA ABrr 显然，由于显然，由于，因而恒有，因而恒有，故，故(1)一定一定有解，有解，如如(0,0,0)就是它的一个解，称为就是它的一个解，称为零解零解(或或平凡解平凡解)。2ABrrnABrrnArn当当只有零解，只有零解，时，时，特别的，对于特别的，对于n个方程个方程n个未知量的齐次线性方程组，个未知量的齐次线性方程组，有非零解有非零解 系数行列式系数行列式|A|0，也即，也即齐次线性方程组的解法
2、：齐次线性方程组的解法：由于齐次方程组由于齐次方程组(,0)BA，最后一列在进行求解，最后一列在进行求解时时不起作用不起作用，故我们求解时，可故我们求解时，可直接对系数矩阵直接对系数矩阵A做做初等行变换，将之化成阶梯型矩阵初等行变换，将之化成阶梯型矩阵A1，然后再解以，然后再解以A1为系数矩阵的阶梯型齐次线性方程组为系数矩阵的阶梯型齐次线性方程组.时时当当3.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解:341122121221A 463046301221施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A 00003/42101221 00003/42103/
3、520121312rrrr r12r2322/(3)rrr 4求得与原方程组同解的方程组求得与原方程组同解的方程组:.03420352432431 xxxxxx由此即得由此即得 432431342352xxxxxxx3,x4可任意取值可任意取值.112212314252,342,3,xccxccxcxc 形式形式，把它写成通常的参数，把它写成通常的参数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx5()()nBRAR ()()nBRAR 有无穷多解有无穷多解.Ax 非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax()nAR;0只只有有零零解解
4、Ax()nAR.0有有非非零零解解 Ax有唯一解;有唯一解;Ax()()BRARAx 无无解解;6本章习题本章习题17，2017.设线性方程组设线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 的系数矩阵的秩与矩阵的系数矩阵的秩与矩阵(1)11121121222212120nnnnnnnnaaabaaabMaaabbbb 的秩相等的秩相等.证明这个方程组有解证明这个方程组有解.7证：对于任何一个矩阵证：对于任何一个矩阵Amn和向量和向量bm1有有R(A)R(A,b)设方程组设方程组(1)的系数矩阵为的系数矩阵为A
5、，增广矩阵为，增广矩阵为B，常，常数列向量为数列向量为b，则有，则有0TAbMb 于是有于是有()(,)0TAbR AR A bRb 而而()()0TAbR AR MRb 故故()(,)0TAbR AR A bRb 因此方程组有解因此方程组有解.8xbyczduevycydzeuavzdyezaubvueyazbucvvaybzcudv (1)在下面任何一个条件下必有非零解：在下面任何一个条件下必有非零解：1)系数系数a,b,c,d,e中有两个等于中有两个等于-1;2)任何一个系数都不等于任何一个系数都不等于-1，但有，但有1.11111abcdeabcde 9证：方程组证：方程组(1)的系数
6、矩阵为的系数矩阵为11111bcdeacdeAabdeabcdabcd 1)系数系数a,b,c,d,e中有两个等于中有两个等于-1，则，则|A|中有两行相等，中有两行相等，故故|A|=0，因此有非零解，因此有非零解.2)由由1.11111abcdeabcde 得得111111bcdeabcde 10111100011010011001010001bcdeabcade 1111110100010010010001000001bcdebcdeabcdebcade 11|111bcdeacdeAabdeabcdabcd 111000101001001010001bcdeabacadae 110010
7、0010010010001000001bcdebcade 0 因此方程组有非零解因此方程组有非零解.12第三节第三节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 13解集合解集合：一个线性方程组的全体解向量构成的集合：一个线性方程组的全体解向量构成的集合.3.3.1齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系 矩阵形式矩阵形式Ax0(1)111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax 14（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解.证明证明()1212000AAA0021 A,A.
8、Axx的解的解也是也是故故021 15（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax证明证明()().kkAkA0011 证毕证毕.齐次线性方程组若干个解的齐次线性方程组若干个解的任意线性组合仍是任意线性组合仍是Ax0的解的解.即：即：设设 X1,X2,Xs为解，则为解，则1sjjjX 12,s (为任意数为任意数)也为原方程组的解也为原方程组的解.16Arn12,sXXX当当时，齐次线性方程组的解集合有无穷时，齐次线性方程组的解集合有无穷个解向量个解向量.但此集合一定存在但此集合一定存在极大线性无关子组极大线性无关子组.例如例如
9、 设设是其一个极大线性无关子组是其一个极大线性无关子组.则有：则有：(1)解集合中任一个向量必可用解集合中任一个向量必可用12,sXXX线性表出线性表出.(2)的的任意线性组合任意线性组合都是都是Ax0的解的解.因此，因此，方程组的解集合方程组的解集合.12,sXXX12,sXXX的的一切线性组合一切线性组合构成线性构成线性17Arn12,sXXX1122ssk Xk Xk X 12,sk kk注注：1)仅当仅当时，时，才有才有基础解系。基础解系。2)基础解析不只一个，但每个基础解系所含向基础解析不只一个，但每个基础解系所含向 量的个数相同量的个数相同.(3)若若是一个基础解系，是一个基础解系
10、，任意任意取值取值)则通解可则通解可可表示为：可表示为：定义定义 齐次线性方程组解集合的极大线性无关子组齐次线性方程组解集合的极大线性无关子组 称为该齐次线性方程组的一个称为该齐次线性方程组的一个基础解系基础解系.18Arrn12,rrnxxx 0111121(,1,0,0)rXccc 0221222(,0,1,0)rXccc 0,1,2,(,0,0,1)n rn rn rn r rXccc 对于对于 AX0，设，设，由上一节的讨论知道，由上一节的讨论知道，它的解依赖于它的解依赖于nr个参数个参数.不失一般性，可设这不失一般性，可设这nr个个参数为参数为.现给它们现给它们nr 组值：组值：(1
11、,0,0),(0,1,0),(0,0,1)代入方程组可得对应的代入方程组可得对应的nr 个解向量：个解向量：显然它们显然它们线线性无关性无关.1901212(,)rrrnXk kk kkk 12,rrnkkk 12,rk kk它由后它由后nr个参数个参数确定，确定，即当即当12,rrnkkk 取定时，取定时，是唯一的是唯一的.0001122rrnn rkXkXk X 1212(,)rrrnkkk 1212(,)(,)rrk kk 而线性组合而线性组合既是一个解，既是一个解，后后nr 个分量也是个分量也是12,rrnkkk ，故有，故有1111221111121122222112112211rr
12、rrnnrrrrnnrrrrrrrrrnna xa xa xaxa xa xa xa xaxa xa xa xa xaxa x 00001122rrnn rXkXkXk X且且20Arrn时，齐次线性方程组的基础解系时，齐次线性方程组的基础解系含有含有nr 个向量个向量.同时，上述过程也给出了一个求解基础解系的同时，上述过程也给出了一个求解基础解系的一个方法一个方法.00012,n rXXX 因此因此是解集合的一个极大线性无关组，是解集合的一个极大线性无关组，从而是一个从而是一个基础解系基础解系.它含有它含有nr 个向量个向量.21 0377,02352,0432143214321xxxxxx
13、xxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.解解1111102 73 72532015 74 7,77310000A对系数矩阵对系数矩阵 A 作初等行变换，变为行最简作初等行变换，变为行最简矩阵，有矩阵，有2213423423,7754.77xxxxxx ,100143 及及令令xx,7473757221 及及对应有对应有xx,107473,01757221 即得基础解系即得基础解系 基础解系应有基础解系应有422个线性无关的解向量，同解个线性无关的解向量，同解线性方程组为线性方程组为 23121212342 73 75 74 7,(,).1001xxccc cRxx1122Xkk 12,k
14、 k因而方程组的全部解向量为因而方程组的全部解向量为任意取值任意取值)(或者写成或者写成2412(,)sB 1212(,)(,)ssABAAAA 12(,)(,)sAAAOO OO 12,sAOAOAO 12,s 证证 设设A为为mn矩阵，矩阵，B为为ns 矩阵矩阵.分块为分块为，则，则于是于是 ABO都是齐次线性方程组都是齐次线性方程组AXO的解的解.把把B按列向量按列向量25ABrrn Arn12,n Brr Arnr Arn 1BA OO 0Br 证证 当当则由上例知则由上例知时，设时，设B的列向量为的列向量为12,n 都是齐次线性方程组都是齐次线性方程组AXO的解的解.再设再设AXO的
15、基础解系所含向量的的基础解系所含向量的个数为个数为r，则则12,n 的秩的秩不超过不超过r，从而从而由于由于，于是，于是ABrrn 当当.，A为可逆矩阵为可逆矩阵.则则，故，故，也有，也有ABrrn 【注：上面结论对注：上面结论对B为为ns矩阵也成立矩阵也成立】26TAA Arr 证证.,维列向量维列向量为为矩阵矩阵为为设设nxnmA;0)(,0)(,0 xAAAxAAxxTT即即则有则有满足满足若若 .0,0)()(,0)(,0)(AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知从而推知即即则则满足满足若若 ,0)(0同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组 xAAAxT .TAA Arr 因因
16、此此2712,XX3X123,AXbAXbAXO 1212()A XXAXAXbbO 1313()A XXAXAXbOb 设非齐次线性方程组为设非齐次线性方程组为 AXb (1)如果将常数项如果将常数项b换成零向量，则得到的齐次线性方程组换成零向量，则得到的齐次线性方程组 AXO (2)称为称为AXb的的导出组导出组.设设为为(1)的两个解，的两个解，为为(1)的导出组的导出组(2)的一的一个解个解.则则从而从而28非齐次线性方程组非齐次线性方程组(1)的两个解的差是对应的两个解的差是对应导出组导出组(2)的解；的解；非齐次线性方程组非齐次线性方程组(1)的解与导出组的解与导出组(2)的解的解
17、的和仍是的和仍是(1)的解。的解。29ABrrrn12,n rXXX 0X*0XXX12,n rk kk*1122n rn rXk Xk XkX01122n rn rXXk Xk XkX 当当时，导出组时，导出组(2)有基础解系：有基础解系：设设为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组(1)的一个特解的一个特解.再设再设X为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组(1)的任一个解向量的任一个解向量.导出组的基础解系线性表出，导出组的基础解系线性表出，使得使得成立成立.于是于是由上面分析可得由上面分析可得是导出组的解，是导出组的解，故可以用故可以用即存在一组数即存在一组数(3)这说明，任何齐次线性方程组这
18、说明，任何齐次线性方程组(1)的任何一个解都的任何一个解都可表成可表成(3)的形式的形式.3012,n rk kk 而所有具有而所有具有(3)形式的向量，即当形式的向量，即当任意取值时，显然都是非齐次线性方程组的任意取值时，显然都是非齐次线性方程组的(1)解解.0X01122n rn rXXk Xk XkX 12,n rk kk 加到它的加到它的导出组的每个解向量上，就得到非齐次线性导出组的每个解向量上，就得到非齐次线性方程组的全部解向量，并可表示为方程组的全部解向量，并可表示为其中其中是任意常数是任意常数.31例例4 4 求解方程组求解方程组 .2132,13,0432143214321xx
19、xxxxxxxxxx:B解解 对对增增广广矩矩阵阵 施施行行初初等等行行变变换换 2132111311101111B1101 1 200121 2,0000032 .212,2143421xxxxx ,042 xx取取,2131 xx则则即即得得方方程程组组的的一一个个解解01 20.1 20X 12434,2xxxxx 在在对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程组组中中 取取可见可见R(A)=R(B)=2,故方程组有解，并且故方程组有解，并且,100142 及及xx,210131 及及则则xx33程组的基础解系程组的基础解系即得对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方121110,0201XX 于
20、是所求通解为于是所求通解为121212341 211010,(,).1 202001Rxxkkk kxx 01122XXk Xk X 12,k k（任任意意取取值值）或者或者3412,r ,(0)AXb b 12,r 个特解，证明个特解，证明线性无关线性无关.0,(1,2,),iAirAb 012,rk k kk01122()()()0rrkkkk 011122()0rrrkkkkkk 0,(1,2,)iAir 证证由条件知由条件知设有一组数设有一组数使得使得成立，成立，(1)上式两端同左乘矩阵上式两端同左乘矩阵A，并将，并将代入得，代入得，0101()()0rrkkkAkkk b 即即Ab
21、350b 010rkkk 11220rrkkk 12,r 120rkkk 00k 12,r 由于由于，故应有，故应有从而从而(1)化为化为再由再由线性无关得线性无关得代入代入(1)得得因此因此线性无关线性无关.36齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法 000010011111rn,rrrn,bbbbA（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形A37 nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令令.,xxxnrr 10001000121（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基
22、础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量()rAR rn 38,bbr 0011111,bbr 0102122.bb,rn,rrn,rn 1001 故故,bb,bb,bbxxrn,rrn,rrr 12121111得得为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.39AX 有有解解()()个解向量个解向量此时基础解系中含有此时基础解系中含有ARn()()nBRAR ()()nBRAR AX 有有无无穷穷解解()()BRAR AX 无无解解AX 有有唯唯一一解解4 线性方程组解的情况线性方程组解的情况()R An 2.齐次线性方程组通解齐次线性方程组通解1122n rn rkkk 12,n rk kk 其中其中是任意常数是任意常数.01122n rn rXkkk 12,n rk kk 其中其中是任意常数是任意常数.3.非非齐次线性方程组通解齐次线性方程组通解0X是一特解是一特解.404021.(1)23.24.25.29.31.(2)第二章习题第二章习题
