1、 1.4 1.4 无穷级数无穷级数1.4.1 数项级数1.4.2 幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.4.3 傅立叶级数求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。11.4.11.4.1数项级数数项级数给定一个数列,321nuuuu将各项依,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数，其中第 n 项nu叫做级数的一般项,级数的前 n 项和nkknuS1称为级数的部分和.nuuuu321次相加,简记为,lim存在若SSnn收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和和。1.1.数项级数定义数项级数定义22.2.基本性质基本性质 ,1nnuS1nnv)(1nnnvu 性
2、质性质1.1.若级数1nnu收敛于 S,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛,即其和为 c S.性质性质2.2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为.S3说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu 必发散.但若二级数都发散,)(1nnnvu 不一定发散.(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)4性质性质3.3.,1nnuS在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数的敛散性.性质性质4.4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质性质
3、5 5：设收敛级数则必有.0limnnu可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,0,则级数必发散则级数必发散 .5等比级数时当1qpppn131211(又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn(q 称为公比).级数收敛,;1 qa,1时当q级数发散.其和为3.3.几个重要级数的收敛性几个重要级数的收敛性调和级数发散(常数 p 0)p-级数发散。收敛，当11pp6*例例1.1.判断级数的敛散性:.,21211收敛收敛的等比级数的等比级数是是 qnn)3121()3121()3121()3121(3322nn解解:该级数是下列两级数之差故原级数收敛.,31311收敛收敛的等比级数
4、的等比级数是是 qnn7(比较审敛法比较审敛法)设,1nnu1nnv且存在,ZN对一切,Nn 有(1)若强级数1nnv则弱级数1nnu(2)若弱级数1nnu则强级数1nnv则有收敛,也收敛;发散,也发散.nnvku 是两个正项级数,(常数 k 0),4.4.审敛法审敛法正项级数：8的敛散性。判别级数例1)1(12nnn9(比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3)当 l=,1发散时且nnv.1也发散nnu设两正项级数满足(1)当 0 l 时,10的敛散性.n1例例3.3.判别级数1211lnn
5、n解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nn)1ln(21n21n2n211lnn221)11ln(nnnlim11比值审敛法(Dalembert 判别法)设 nu为正项级数,且,lim1nnnuu则(1)当1(2)当1时,级数收敛;或时,级数发散.根值审敛法(Cauchy判别法)设 1nnu为正项,limnnnu;,1)1(级数收敛时当.,1)2(级数发散时当 级数,且则时上述定理失效。注：112nnnuu1lim limn12)1(nennen2211limnnen11e因此级数12nnen收敛.412的敛散性判别级数例nnen解解:13交错级数交错
6、级数则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321)1(称为交错级数交错级数 .(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数;),2,1()11nuunn,0lim)2nnunnnu11)1(收敛。,2,1,0nun设14绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数,1nnu若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级1nnu收敛,1nnu数1nnu绝对收敛；则称原级数条件收敛.绝对收敛的级数一定收敛.15例例5.5.证明下列级数绝对收敛:证证:,1sin44nnn而141nn收敛,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛.16判断数项级数敛散的方法判断数
7、项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛17ox发 散发 散收 敛收敛 发散 1.Abel1.Abel定理定理 若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之,若当0 xx 0 xx 的一切 x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式1.4.2 1.4.2 幂级数幂级数18*
8、例例6 6.已知幂级数0nnnxa在3x处收敛，则该级数在1x处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理，该幂级数在3x处绝对收敛，故在1x绝对收敛。19例例7.7.已知nnnxa00 xx 在处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答答:根据Abel 定理可知,级数在0 xx 收敛,0 xx 时发散.故收敛半径为.0 xR 20若0nnnxa0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,则 的收敛半径为1limnnnaaR2.2.求收敛半径求收敛半径21对端点 x=1,1limnnnaaRnxxxxnn 132)1
9、(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x=1,级数为交错级数,1)1(11nnn收敛;级数为,11nn发散.1,1(故收敛域为例例8.8.求幂级数 limn 221.什么是传统机械按键设计？传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。传统机械按键设计要点：1.合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留0.050.1mm，以防按键死键。3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防按键手感不良。传统机械按键结构层图：按键开关键PCBA3.3.求函数的幂级数展开式求函数的幂级数展开式1、对函数作
10、恒等变形（如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围(P34例1-37)x11nxxx321)1,1(xe!212nxxxn),(xsin)!12()1(!5!3121253nxxxxnn),()1ln(x1)1(32132nxxxxnn 1,1(241.求傅立叶级数展开式2.求某个傅立叶系数3.求和函数在某些点的值1.4.3 1.4.3 傅立叶级数的有关问题傅立叶级数的有关问题25例例9.9.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(3)将 f(x)展成傅里里叶级数.oyx11的值。求)(),23(),2(
11、),0()1(SSSS.)2(3b求解解:1)23(,1)2(),()(,)1(SSxfxSkx当0)()0(,02)1(1)(,SSxSkx当26(3)(3)先求傅里里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos)1(1xnxxnx),2,1,0(0nxxxfbd3sin)(1)2(300d3sin11d3sin)1(1xxxx3427xnxxfbndsin)(100dsin11dsin)1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn)1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk)12sin(121),2,0,
12、(xx281.5 1.5 微分方程微分方程1.5.1 1.5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念1.5.2 1.5.2 解微分方程解微分方程1.5.3 1.5.3 微分方程应用微分方程应用291.5.1 1.5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念,)(2xyyyx一阶微分方程yxyx 2)1(2二阶微分方程1.判定微分方程的阶2.判定函数是否微分方程的解，通解或特解30例例1.1.验证函数是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解.解解:22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2tkCtkCxsincos21是方程的解.),(21为
13、常数CCt kkCcos2102xk311.5.2 1.5.2 解微分方程解微分方程1.一阶微分方程可分离变量，一阶线性2.高阶微分方程二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。32*例例2.2.求微分方程yxxy23dd的通解.解解:分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得Cxylnln3即3xeCy(C 为任意常数)因此可能增、减解.33.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解*例例3.3.利用一阶线性方程的通解公式得
14、：利用一阶线性方程的通解公式得：34例例4.4.曲线族cxy22所满足的一阶微分方程是_.解解:对cxy22两边求导，得cyy22代入上式，得将xyc22xyyy2222yyxy即为所求一阶微分方程35),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解二阶线性常系数齐次微分方程求解36例例5.5.032 yyy求方程的通解.解解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例6.6.求解初值问题0
15、dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解:特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C37*例例7.7.052 yyy求方程的通解.解解:特征方程,0522rr特征根:ir212,1因此原方程通解为)2sin2cos(43xCxCeyx38例例8.8.32线性方程数齐次为一个特解的二阶常系写出以xxey 解：因xxey23是一个特解，所以2是特征方程的重根，故特征方程为：0440)2(22rrr所对应微分方程为044 yyy39(2)若 是特征方程的单根 特解形式为xmexQxy)(
16、*(3)若 是特征方程的重根 特解形式为xmexQxy)(*2(1)若 不是特征方程的根特解形式为.)(*xQeymx式时，非齐次方程特解形)()(xPexfmx401332 xyyy写出方程的特解形式.解解:本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根.特解形式为,*10bxby0,0例例9.9.xexyyy265 写出方程例例10.10.的特解形式.解解:本题,2而特征方程为,0652 rr3,221rr其根为特解形式为xebxbxy210)(*411.5.3 1.5.3 微分方程应用微分方程应用1.利用导数几何意义列方程2.利用导数物理意义列方程3.利用牛顿第二定律42求所满足的微分方
17、程.*例例11.11.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 QPQxyox解解:如图所示,yYy1)(xX 令 Y=0,得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x,y)处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,43例例12.12.成正比,求解解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分:得Cmtvkgmk)(ln1)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)1(tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.kmgv t 足够大时44
