1、薛定谔方程PPT课件2.1 2.1 薛定谔方薛定谔方程程2.1 2.1 薛定谔方程薛定谔方程一.薛定谔方薛定谔方程程),(),(2),(22trtrUmtrti 式中式中 m m粒子的质量粒子的质量 U U粒子在外力场中粒子在外力场中 的势能函数（所处条件）的势能函数（所处条件）2 2拉普拉斯算符拉普拉斯算符 2222222zyx 奥地利物理学家奥地利物理学家 薛定谔薛定谔 （Schrodinger 1887-1961Schrodinger 1887-1961）19331933年薛定谔获年薛定谔获 诺贝尔物理奖。诺贝尔物理奖。（3 3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验）它并非推导所得，
2、最初是假设，后来通过实验 检验了它的正确性，地位相当检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律牛顿定律”。（1 1）它是一个）它是一个复数偏微分复数偏微分方程；方程；其解波函数其解波函数 是一个是一个复函数复函数。tr,说明：说明：（2 2）它的解满足态的叠加原理）它的解满足态的叠加原理若若 和和 是薛定谔方程的解，是薛定谔方程的解，),(2tr),(1tr则则 也是薛定谔方程的解。也是薛定谔方程的解。),(),(2211trctrc 因为薛定谔方程是因为薛定谔方程是线性线性偏微分方程。偏微分方程。（4 4）它是非相对论形式的方程。）它是非相对论形式的方程。二二.定态薛定谔方程定态薛定谔方程常常遇到
3、微观粒子的势能函数常常遇到微观粒子的势能函数 U U 与时间与时间 t t无关的稳定的势场问题，这称为定态问题。无关的稳定的势场问题，这称为定态问题。自由运动粒子自由运动粒子U U=0=0 氢原子中的电子氢原子中的电子 rerU2041 这时波函数这时波函数 可以用可以用分离变量法分离变量法分离为分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。乘积。例如：例如：以一维运动的情况为例，波函数可写成以一维运动的情况为例，波函数可写成 )t(f)x()t,x(将其代入薛定谔方程将其代入薛定谔方程,得得fUxmtfi 222dd2dd两边除以两边除以 ，得，得 Uxmt
4、ffi222dd21dd1=E E(常数常数)可得只含变量可得只含变量 t t 和和只含只含变量变量 x x 的的两个方程：两个方程：一个是变量为一个是变量为t t 的方程的方程 tEffidd 其解为其解为 EtiAf e （A A 是待定复常数；是待定复常数；E E 有能量量纲有能量量纲,以后可知是以后可知是 粒子的能量：动能粒子的能量：动能+势能，不包括静能）势能，不包括静能）EUxm 222dd2（）（）（）（）一个是变量为一个是变量为x x 的方程的方程可以把它先解出来：可以把它先解出来：其解其解 (x x)与粒子所处的条件（外力场与粒子所处的条件（外力场U U）有关。有关。222)
5、(e)(),(xxtxti 即定态时，概率密度可以用即定态时，概率密度可以用 (x)2 2来表示，来表示，(x)称为称为定态波函数定态波函数，小结：对势能函数小结：对势能函数 U U 与时间与时间t t 无关的定态问题，无关的定态问题，只须解定态薛定谔方程（）式，再乘上（）式只须解定态薛定谔方程（）式，再乘上（）式 即可得总波函数即可得总波函数 (x,t x,t)。由上面可以看出由上面可以看出:上面上面（）（）式是式是 (x)满足的方程，满足的方程，称为称为定态薛定谔方程定态薛定谔方程。例例.一维自由运动微观粒子的波函数。一维自由运动微观粒子的波函数。其定态薛定谔方程为其定态薛定谔方程为02d
6、d222 Emx二阶常系数二阶常系数 常微分方程常微分方程E E 是能量（动能）是能量（动能）22pmE 令令 ，P 是动量。是动量。EUxm 222dd2自由运动区自由运动区 U =0=0电子枪电子枪KA它有两个特解它有两个特解:xpie1 xpi e2 所以，有一定能量和一定动量的所以，有一定能量和一定动量的一维自由运动一维自由运动 微观粒子的波函数有如下两个解微观粒子的波函数有如下两个解:0dd2222 px得得02dd222 Emx)(eeeeexktitixkitEixpiAAA 沿沿+x x 方向的方向的单色单色平面波平面波)(eeeeexktitixkitEixpiAAA 沿沿-
7、x x 方向的方向的单色单色平面波平面波动量有最小的不确定度，坐标就有最大的不确定度。动量有最小的不确定度，坐标就有最大的不确定度。)()(),(11tfxtx )()(),(22tfxtx 在自由运动区域，各点粒子出现的概率都相等。在自由运动区域，各点粒子出现的概率都相等。2.2 2.2 无限深方势阱无限深方势阱中的粒子中的粒子2.2 2.2 无限深方势阱中粒子无限深方势阱中粒子一一.一维无限深方势阱中粒子的一维无限深方势阱中粒子的 波函数与能量波函数与能量金属中自由电子的运动金属中自由电子的运动,是被限制在一个是被限制在一个有限的范围有限的范围 称为束缚态。称为束缚态。作为粗略的近似，我们
8、认为这些电子在一维作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深方势阱中运动：无限深方势阱中运动：简简化化U=0UUU(x)x 无限深方势阱无限深方势阱2a 2aa金属金属U=U0U=U0U=0 x我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。按照一维定态薛定谔方程按照一维定态薛定谔方程（）（）这种势场表示粒子可以在这种势场表示粒子可以在势阱中运动，但不能越出势阱，势阱中运动，但不能越出势阱，（因为（因为 ,区域的势能为无穷大）。区域的势能为无穷大）。2/ax EUxm 222dd2 2/,2/,0)(axaxxU它的势能函数为它的势能函数为U=0UUU
9、(x)x 无限深方势阱无限深方势阱2a 2a由于在由于在 I I、III III 两区的两区的 U U(x x)，显然应显然应 =0;0;=0 0，否则方程就无意义，否则方程就无意义了。了。由于由于 区的区的 U U(x x)=0)=0，因此该区薛定谔方程为因此该区薛定谔方程为 Exm 222dd2Emk222 令令则有则有 222ddkx 这也说明粒子不可能在这两个区域出现，这也说明粒子不可能在这两个区域出现，和经典概念相符。和经典概念相符。（）（）EUxm 222dd2 A A、k k 可由波函数应满足的条件来决定：可由波函数应满足的条件来决定：有限、单值有限、单值自然满足。自然满足。连续
10、连续？这一方程的通解为波动解这一方程的通解为波动解 kxAsin0dd222 kx(可将此通解代入上面方程证明之可将此通解代入上面方程证明之)由于由于处必须连续，处必须连续，和和在在2/2/)(axaxx 而在而在I I、III III 两区，两区，所以有，所以有0)(x,0)2sin(,0)2sin(kaAkaA kxAsin可得可得22lka ,21lka 式中式中 是整数。是整数。21,ll上两式相加得上两式相加得)(221lll 记作记作式中式中 也是整数。也是整数。lkxAlosin0 时，有时，有kxAlecos1 时，有时，有-偶函数偶函数-奇函数奇函数 的其他数值所对应的解都不
11、是独立的，的其他数值所对应的解都不是独立的，因为它们和因为它们和 、的形式一样，只可能有正负的形式一样，只可能有正负的区别，这并不影响的区别，这并不影响 ,即概率密度的分布不变。即概率密度的分布不变。l0 e 2 2l 所以有所以有22lka ,21lka ，处处必必须须连连续续来来决决定定在在kaxx2/)(仍利用仍利用即即 kaka=(2=(2n n+1)+1)，n n=0,1,2,3,=0,1,2,3,（2 2）02/sin2 kaAao 有有 02/cos2 kaAae 此外有此外有即即 ka=n，n=0,2,4,6,（1）将（将（1 1）（）（2 2）写成一个式子，为）写成一个式子，
12、为 kaka=n n，n n=1,2,3,4,5,6,=1,2,3,4,5,6,kxAosin kxAecos 所以有所以有,6,4,2,sin nxanAo,5,3,1,cos nxanAe 为了求出为了求出 A A，我们用波函数的归一化条件，例如我们用波函数的归一化条件，例如22/2/2222/2/2d)(sind1AaxxanAxaaaao 可得可得aA2 Emk222 因为因为,22222manEn n 称为称为量子数量子数)(E E 称为称为能量本征值能量本征值,kaka=n n，n n=1,2,3,4,5,6,=1,2,3,4,5,6,于是对每一个于是对每一个 n n 值，波函数的
13、空间部分为值，波函数的空间部分为,6,4,2,sin2 nxanaon,5,3,1,cos2 nxanaen,0 n 2ax 2ax 这些波函数也称为能量本征函数。这些波函数也称为能量本征函数。每个能量有确定值的状态称为粒子的能量本征态。每个能量有确定值的状态称为粒子的能量本征态。与与 n=1,2,3.4 相应的波函数相应的波函数 n 及概率密度及概率密度 图图形如下，除两个端点外，驻波的节点数形如下，除两个端点外，驻波的节点数=n-1.2n E En nxE1E2E3E4a,n211 ,22an 32,33an 2,44an na,nn2 束缚态束缚态2a 2a0 0n 呈驻波状呈驻波状n
14、2n 1.1.能量只能取分立值能量只能取分立值 是解薛定谔方程自然而然得到的结论。是解薛定谔方程自然而然得到的结论。2.2.当当 m m 很大（宏观粒子）时，很大（宏观粒子）时，讨论讨论:按经典理论按经典理论粒子的粒子的“能量连续能量连续”；但量子力学但量子力学束缚态能量只能取分立值（能级）束缚态能量只能取分立值（能级）,22222manEn 能量连续，能量连续，量子量子 经典。经典。3.3.最低能量不为零（称零点能）最低能量不为零（称零点能）符合不确定关系。符合不确定关系。022221 maE 4.4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
15、与经典粒子不同。2n En但是，当但是，当 n n 很大时，势阱内各处粒子出现的很大时，势阱内各处粒子出现的概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点）点）。在大量子数的极限情况下，量子体系行为将在大量子数的极限情况下，量子体系行为将趋于与经典行为一致，这称为趋于与经典行为一致，这称为“对应原理对应原理”。,22222manEn 5.由由还可以得到势阱中粒子的动量和波长。还可以得到势阱中粒子的动量和波长。ahnanmEPnn22 naPhnn2 正说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于正说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻
16、波。德布罗意波的一个特定波长的驻波。n n=1,2,3,4,5,6,=1,2,3,4,5,6,2,32,2aaaa 宇称的概念宇称的概念:,6,4,2,sin2 nxanaon,5,3,1,cos2 nxanaen-奇函数奇函数 ,xxoo 有有-偶函数偶函数 ,xxee 有有即波函数即波函数“反演变换反演变换”变号，称为具有奇宇称，变号，称为具有奇宇称，并以宇称量子数为并以宇称量子数为-1-1作为标记。作为标记。即波函数即波函数“反演变换反演变换”不变号，称为具有偶宇称，不变号，称为具有偶宇称，并以宇称量子数为并以宇称量子数为+1+1作为标记。作为标记。2.3 2.3 势垒穿透势垒穿透2.3
17、 2.3 势垒穿透势垒穿透 )0()0(0)(0 xUxxU设微观粒子有一定设微观粒子有一定能量能量 E E (设设0 0 E E U U0 0 )，我们也应分区求解其波函数：我们也应分区求解其波函数：金属中自由电子逸出金属表面时，实际上遇到的金属中自由电子逸出金属表面时，实际上遇到的是一个高度有限的势垒。是一个高度有限的势垒。下面考虑这样的势场：下面考虑这样的势场：UU=U00 xEU=0区区区区区：区：02dd222 EmxxkixkiBA11ee111 （E E U U,是波动解）是波动解）Em2k221 令令 Exm 222dd2入射波入射波 反射波反射波 +x方向方向 -x方向方向第
18、二项是第二项是 x x=0=0 势垒处反射的波。势垒处反射的波。区：区：0)(2dd0222 UEmxxkxkDC22ee2 令令 02222UEmk “有限有限”要求要求 D D=0=0，xkC2e2 （E E U U,是衰减解）是衰减解）按经典力学按经典力学粒子不可能在粒子不可能在 区出现！区出现！按量子力学按量子力学粒子仍有可能在粒子仍有可能在 区出现！区出现！xkxkDC22ee2 区区区区UxU=U00U=0)(x E可以想见，原来在可以想见，原来在区的粒子也可以在势垒区的粒子也可以在势垒的另一边的另一边 区出现！这在经典物理是不可想象的！区出现！这在经典物理是不可想象的！若势能曲线
19、若势能曲线 如图所示：如图所示：有一个有限有一个有限宽度的宽度的“势垒势垒”。这称为这称为“量子隧道效应量子隧道效应”。区是波动解，区是波动解，区是指数解，区是指数解，区也是波动解，但是只有向区也是波动解，但是只有向+x x方向的波；方向的波；没有向没有向-x x方向的反射波了。方向的反射波了。区区区区区区U=U00UU=0aU=0)(x Ex例如，例如，放射性核的放射性核的 粒子衰变粒子衰变 隧道二极管隧道二极管 扫描隧穿显微镜扫描隧穿显微镜若若 m m、a a、(U(U0 0 E)E)越小，则穿透率越小，则穿透率 T T 越大。越大。实验完全证实了实验完全证实了“量子隧道效应量子隧道效应”
20、现象的存在。现象的存在。)(220eEUmaT 计算结果表明（不证），计算结果表明（不证），粒子的穿透率为粒子的穿透率为扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。的表面电子云就可能重叠。若在样品与针尖之间加一微小电压若在样品与针尖之间加一微小电压U Ub b，电子就会穿电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。过电极间的势垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧隧道电流对针尖与样品间的
21、距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1 1nmnm。05090307010(n
22、m)硅晶体表面的硅晶体表面的STM扫描图象扫描图象神经细胞的神经细胞的STM扫描图像扫描图像搬运单个原子搬运单个原子用原子操纵写出用原子操纵写出“100100”、“中国中国”1993 1993年年 用用STM STM 技术镶嵌了技术镶嵌了4848个个 Fe Fe 原子的原子的 Cu Cu 表表面的扫描隧道显微镜照片。面的扫描隧道显微镜照片。Fe Fe 原子形成原子形成“电子围栏电子围栏”（半径（半径7.137.13nmnm），），可看到围栏中的同心圆状驻波，可看到围栏中的同心圆状驻波，直观地证实了电子的波动性。直观地证实了电子的波动性。由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡由于这一贡献，宾尼、罗赫
23、尔和鲁斯卡三人分享了三人分享了 1986 1986年度的诺贝尔物理奖。年度的诺贝尔物理奖。前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，第三人是第三人是 1932 1932年电子显微镜的发明者，年电子显微镜的发明者，这里是为了追朔他的功劳。这里是为了追朔他的功劳。罗赫尔罗赫尔宾尼宾尼鲁斯卡鲁斯卡 2.4 2.4 谐振子谐振子2.4 2.4 谐振子谐振子 如果微观粒子的势能函数是如果微观粒子的势能函数是221kx)x(U 就应该解一维定态薛定谔方程就应该解一维定态薛定谔方程0)21(2dd2222 kxEmx求解超出本课程的范围。结论：求解超出本课程的范围。结论：x0U
24、(x)E 二阶变系数二阶变系数 常微分方程常微分方程 Ekxxm 22221dd2可用级数展开法解上述方程。可用级数展开法解上述方程。波函数应满足标准条件波函数应满足标准条件（连续、有限、单值、归一）（连续、有限、单值、归一）一一.能量能量),2,1,0()21(nnEn 能量量子化、能量量子化、能级等间距。能级等间距。能量间隔能量间隔 h h （与黑体辐射理论同）与黑体辐射理论同）但有零点能。但有零点能。E0E4E3E1E2 E0 0二二.波函数波函数，2221212xnnxHnnx e)()!()(/m，2221212xnnxHnnx e)()!()(/H Hn n是厄密（是厄密（Herm
25、iteHermite）多项式，多项式，最高阶是最高阶是 ，nx)(2221210 xx e)()(/222121122xxx e)()()(/22212212428xxx e)()()(/谐振子的波函数谐振子的波函数 谐振子的概率密度分布谐振子的概率密度分布量子量子:概率密度呈波动状概率密度呈波动状,在在 E E U U 的区域也有的区域也有 出现概率，从上图看到在基态出现概率，从上图看到在基态n n=0=0时，时，x x=0=0处处 粒子出现概率最大。（这与经典情况完全不同）粒子出现概率最大。（这与经典情况完全不同）经典经典:E E U U 的区域的区域 不可能出现，不可能出现，当当 n n 时：时：量子概率分布量子概率分布 经典分布经典分布 11(x)2量量子子经经典典n=11时的概率密度分布时的概率密度分布EU量子量子经典经典211)(x x x=0=0处粒子速度处粒子速度最大，最大，“出现概率出现概率”最小。最小。感谢下感谢下载载
