1、人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 要要设计一座设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？【思考】【思考】上述上述所列的所列的方程与我们以前学习的方程方程与我们以前学习的方程一样吗一样吗？这种？这种方程方程与以前学习的方程有哪些联系？与以前学习的方程有哪些联系？ABC2m设雕像下部高设雕像下部高x m，依题意得方程，依题意得方程x2=2(2-x)整理，得整理，
2、得 x2+2x-4=0导入新知导入新知3.理解理解一元二次方程解（根）一元二次方程解（根）的概念，并能的概念，并能解决相关问题解决相关问题.1.理解理解一元二次方程一元二次方程的概念，根据一元二的概念，根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数次方程的一般形式，确定各项系数.2.灵活应用灵活应用一元二次方程一元二次方程概念解决有关问题概念解决有关问题.素养目标素养目标 有一块矩形铁皮有一块矩形铁皮,长长100cm,宽宽50cm,在它的四角各切去一在它的四角各切去一个正方形个正方形,然后将四周突出部分折起然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为如
3、果要制作的方盒的底面积为3600平平方厘米方厘米,那么铁皮各角应切去多大的那么铁皮各角应切去多大的正方形正方形?一元二次方程的概念一元二次方程的概念知识点 1探究新知探究新知100cm50cm3600cm2 【分析】【分析】设切去的正方形的边长为设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为则盒底的长为(100-2x)cm,宽为宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为根据方盒的底面积为3600cm2,得得整理，得整理，得（100-2x）（）（50-2x）=3600 x2-75x+350=0 x100cm50cm3600cm2探究新知探究新知 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要要组织一
4、次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，天，每天安排每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】【分析】设应邀请设应邀请x个队参赛，每个队要与其他个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队个队各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比赛比赛 x（x-1）场。场。可列方程可列方程 整理，得整理，得 x2-x=56121(1)742xx 探究新知探究新知【思考【思考】x2-75x+350=0和和x2-x
5、-56=0这两个方程都不这两个方程都不是一元一次方程是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？区区别别特特点点（1）这两个方程的两边都是）这两个方程的两边都是整式整式；（2）都只含）都只含一个一个未知数未知数x；（3）它们的未知数的最高次数都是）它们的未知数的最高次数都是 2 次的次的.未 知 数 最未 知 数 最高次数为高次数为2探究新知探究新知 像像上述两个方程式这上述两个方程式这样的样的等号两边都是整式等号两边都是整式,只含有一个未知数只含有一个未知数(一元一元)，并且，并且未知数的最高
6、次未知数的最高次数是数是2(2(二次二次)的方程，的方程，叫做一元二次方程（必须满叫做一元二次方程（必须满足三个特征）足三个特征）.一元二次方程的概念一元二次方程的概念 探究新知探究新知 【想一想想一想】是是一元二次方程吗？一元二次方程吗？21109000 xx答：答：不是不是。等号左边含有分式；化简整理后，。等号左边含有分式；化简整理后，未知数的最高次数为未知数的最高次数为3次。次。探究新知探究新知 例例1 1 下列选项中，关于下列选项中，关于x的一元二次方程的是（的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数整理x2-3x+2=0a0A.B.3x2-5xy+y2=0C.（x-1）（）（x
7、-2）=0 D.ax2+bx+c=0221=0 xx素养考点素养考点 1一元二次方程的识别一元二次方程的识别探究新知探究新知方法总结：方法总结：判断判断一个方程是不是一元二次方程一个方程是不是一元二次方程，必须，必须将方程化简后将方程化简后再进行判断再进行判断三三个条件个条件：方程：方程两边都是整式两边都是整式；只；只含有一个未知含有一个未知数数；未知数；未知数的最高的最高次数是次数是2.2.必须必须同时满足，缺一不可同时满足，缺一不可 1.判断下列方程是否为一元二次方程？判断下列方程是否为一元二次方程？2120 xx (2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0263x2241
8、(23)xx 2()260 xx(1)x2+x=36(4)(6)(7)(8)巩固练习巩固练习 例例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2-x=2x2(2)(a1)x|a|+1 2x7=0.解解：(1)将方程转化为一般形式，得将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当当a-20，即即a2时，原方程是一元二次方程；时，原方程是一元二次方程；(2)由由 a +1=2，且，且a-1 0知，当知，当a=-1时，原方程是一元时，原方程是一元二次方程二次方程.利用一元二次方程的定义求字母的值利用一元二次方程的定义求字母的值素养考点素养考点 2探究新知探
9、究新知方法总结：方法总结：根据未知数根据未知数最高次数最高次数为为2，构造方程，解构造方程，解出字母出字母取值取值，并，并利用利用二次项系数不二次项系数不为为0排除排除使二次项系数使二次项系数为为0的的字母取值字母取值，从而，从而确定字母确定字母取值取值 2.方方程程(2a-4)x22bx+a=0.（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程）在什么条件下此方程为一元一次方程？解：解：（1）当）当 2a-40，即，即a 2 时是一元二次时是一元二次方程方程.（2）当）当a=2 且且 b 0 时是一元一次方程时是一元一次方程.
10、巩固练习巩固练习一般地一般地,任何一个关于任何一个关于x 的一元二次方程，经的一元二次方程，经过整理，都可以化为过整理，都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式的形式,我们把我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，为常数，a0）称为一元二次方称为一元二次方程的一般形式程的一般形式.其中其中ax2是二次项，是二次项，a是二次项系是二次项系数；数；bx是一次项，是一次项，b是一次项系数；是一次项系数；c是常数项是常数项.探究新知探究新知一元二次方程一元二次方程的一般形式的一般形式知识点 2一元二次方程的一元二次方程的一般形式一般形式 a x 2+b x+c=0(a 0)二次项系数二次项系数一
11、次项系数一次项系数常数项常数项二次项二次项一次项一次项探究新知探究新知【思考】【思考】为什么要限制为什么要限制a0，b,c可以为零吗？可以为零吗？【结论】【结论】只要满足只要满足a0，a,b,c可以为可以为任意实数任意实数.探究新知探究新知当当a=0时，时，ax2+bx+c=0 当当a0，b=0时，时，ax2+bx+c=0 当当a0，c=0时，时，ax2+bx+c=0 当当a0，b=0,c=0时，时，ax2+bx+c=0 一一元元二次二次方程方程bx+c=0（一元一次一元一次方程）方程）ax2+c=0ax2+bx=0ax2=0一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程一般式一般式相同点相
12、同点不同点不同点【思考思考】一元一次方程与一元二次方程有什么区一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？别与联系？Ax+b=0(a0)ax2+bx+c=0(a0)整式方程，只含有整式方程，只含有一个一个未知数未知数未知数最高次数是未知数最高次数是1未知数最高次数是未知数最高次数是2探究新知探究新知 例例3 3 将方程将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项项系数和常数项.一元二次方程一般形式的有关概念一元二次方程一般形式的有关概念 解：解：去去括号，得括号，得 3x2-
13、3x=5x+10 整理，得整理，得 3x2-8x-10=0 其其中中二次项系数是二次项系数是3，一次项系数是，一次项系数是-8，常数项是，常数项是-10.二次项、二二次项、二次项系数、一次次项系数、一次项、一次项系数、项、一次项系数、常数项都是常数项都是包括包括符号符号的的.素养考点素养考点 3探究新知探究新知 方法点拨 （1）一元二次方程的一般形式不是唯一）一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上都把的，但习惯上都把二次项的系数二次项的系数化为正整数化为正整数.（2）一元二次方程的二次项、二次项系一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针数、一次项、一次项系数、常
14、数项等都是针对对一般形式一般形式而言的而言的.（3）指出一元二次方程各项系数时，不）指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的要漏掉前面的符号符号.探究新知探究新知3.将将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：项系数、一次项系数、常数项：（1）5x2-1=4x;(2)4 x2=81 解：解：(1)把把5x2-1=4x化为一般形式化为一般形式5x2-4x-1=0，二次项系数为二次项系数为5，一次项系数为，一次项系数为-4，常数项为，常数项为-1.(2)把把4 x2=81化为一般形式化为一般形式4x2-81=0，二次，二次项系数为项
15、系数为4，一次项系数为，一次项系数为0，常数项为，常数项为-81巩固练习巩固练习（3）4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=8x-3 解解：(3)把把4x(x+2)=25 化为一般形式化为一般形式4x2+8x-25=0，二次项系数为二次项系数为4，一次项系数为，一次项系数为8，常数项为，常数项为-25 (4)把把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式化为一般形式3x2-7x+1=0，二次项系数为二次项系数为3，一次项系数为，一次项系数为-7，常数项为，常数项为1巩固练习巩固练习一元二次方程解的概念一元二次方程解的概念知识点 3 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值使一元二
16、次方程等号两边相等的未知数的值叫做叫做一元二次方程的解一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根做一元二次方程的根.探究新知探究新知 例例4 4 已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程(m-1)x23x-5m4=0有一个根为有一个根为2，求，求m.分析分析:一个根为一个根为2，即，即x=2,只需把只需把x=2代入原方程代入原方程.解：解：依题意把依题意把x2代入原方程，得代入原方程，得 4（m-1）+6-5m+4=0,整理，整理，得得 -m+6=0,解解，得，得 m=6.素养考点素养考点 4利用一元二次方程的解确定字母的值利用一元二次方程的解确定字母
17、的值探究新知探究新知方法总结：方法总结：方程方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中程根的题目中，我们，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来数的方程来解决问题解决问题.4.已知已知关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+ax+a=0的一个的一个根是根是3，求，求a的值的值.解：解：依题意把依题意把x=3代入原方程，得代入原方程，得 32+3a+a=0 9+4a=0，94a 巩固练习巩固练习整理，整理，即即 1.下列哪些是一元二次方程？下列哪些是一元二次方
18、程？3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-1课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2.填空填空：课堂检测课堂检测方程方程一般形式一般形式二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数常数项常数项2320 xx23123yy245x(2)(34)3xx2320 xx232310yy-21313-540-53-22450 x23250 xx基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2(k1)x 2k 20,当当k 时，是一元一次方程当时，是一元一次方程当k 时，是一元二次方
19、程时，是一元二次方程11课堂检测课堂检测 4.已知方程已知方程5x+mx-6=0的一个根为的一个根为4，则则m的的值为值为_基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 (1)如图，已知一矩形的长为如图，已知一矩形的长为200cm,宽宽150cm.现在矩形现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三三.求挖去的圆的半径求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中应满足的方程（其中取取3）.150cm200cm 解：解：设由于圆的半径为设由于圆的半径为x cm，则它，则它的面积为的面积为 3x2 cm2.整理，得整理，得 x2-2500=0
20、课堂检测课堂检测根据题意，得根据题意，得 200150-3x2=20015043能 力 提 升 题能 力 提 升 题 (2)如图如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为有量为75万辆，两年后增加到万辆，两年后增加到108万辆万辆.求该市两年来汽求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率车拥有量的年平均增长率x应满足的方程应满足的方程.解：解：该市该市两年来汽车拥有量的年两年来汽车拥有量的年平均增长率为平均增长率为x.整理，得整理，得 25x2+50 x-11=0.根据题意有根据题意有 75（1+x）2=108课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升
21、题 已知已知关于关于x的一元二次方程的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)一一个根为个根为1,求求a+b+c的值的值.解解：依题意把依题意把x=1代入原方程，得代入原方程，得 a12+b1+c=0,即即 a+b+c=0.拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测【思考思考】1.若若 a+b+c=0,你能通过观察你能通过观察,求出方程求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗的一个根吗?解：解：a+b+c=0可转化为可转化为 a12+b1+c=0因此，因此，方程方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根是的一个根是1.课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 2.若
22、若 a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通过观察，你能通过观察,求出求出方程方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗的一个根吗?课堂检测课堂检测解：解：a-b+c=0可转化为可转化为 a（-1）2+b（-1）+c=0因此，因此，方程方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根是的一个根是-1.4a+2b+c=0可转化为可转化为 a22+b2+c=0因此，方程因此，方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根是的一个根是2.拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂小结课堂小结一元二次一元二次方程方程概念概念 是整式方程；是整式方程；含一个未知数；（一元）含一个未知数；（一元）最高次数是最高次数是2.（二次）（二次）一般形式一般形式ax2+bx+c=0 (a 0)其中其中(a0)是一元二次方程的必要是一元二次方程的必要条件；条件；解（根）解（根）使方程左右两边相等的未知数的值使方程左右两边相等的未知数的值.定义定义判断判断等号两边都是整式，只含一个未知等号两边都是整式，只含一个未知数且未知数的最高次数是数且未知数的最高次数是2 2的方程的方程
