1、44.1.2圆的一般方程一、导学提示，自主学习一、导学提示，自主学习二、课堂设问，任务驱动二、课堂设问，任务驱动三、新知建构，交流展示三、新知建构，交流展示四、当堂训练，针对点评四、当堂训练，针对点评五、课堂总结，布置作业五、课堂总结，布置作业一、导学提示，自主学习1.本节学习目标本节学习目标（1）正确理解圆的一般方程及其特点；）正确理解圆的一般方程及其特点；（2）能进行圆的一般方程和标准方程的互化；）能进行圆的一般方程和标准方程的互化；（3）会求）会求圆的一般方程及简单的轨迹方程。圆的一般方程及简单的轨迹方程。学习重点学习重点:圆的一般方程及应用圆的一般方程及应用学习难点：正确理解圆的一般方
2、程及其特点学习难点：正确理解圆的一般方程及其特点一、导学提示，自主学习2.本节主要题型本节主要题型题型一题型一 圆的一般方程的概念辨析圆的一般方程的概念辨析题型二题型二 求圆的一般方程求圆的一般方程题型三题型三 求轨迹方程求轨迹方程3.自主学习教材自主学习教材P121-P123 4.1.2圆的一般方程圆的一般方程xyOCM(x,y)222)()(rbyax圆心圆心C(a,b),),半径半径r特况：若圆心为特况：若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为：222ryx圆的标准方程圆的标准方程二、课堂设问，任务驱动二、课堂设问，任务驱动1.通过本节课的学习你能归纳出圆的通过本节课的学习你能
3、归纳出圆的一般方程吗？一般方程吗？三、新知建构，交流展示 1.新知建构新知建构一一.圆的一般方程圆的一般方程二.二.圆的一般方程的应用圆的一般方程的应用三.三.求与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题 思考思考:下列方程表示什么图下列方程表示什么图形形?222241 0、xyxy 223246 0、xyxy 22(1)(2)4xy 22(1)(2)1xy 以以(1,-2)为圆心为圆心,2为半径的圆为半径的圆.不表示任何图形不表示任何图形.42)-(y)1-(122x、以以(1,2)为圆心为圆心,2为半径的圆为半径的圆.圆的标准方程探究探究:方程方程 在什么条件下表在什么条件下表示圆示圆?220
4、 xyDx Ey F 220 xyDx Ey F 22224()()224DEDEFxy 2240DEF 1)当当 时时,方程表示以点方程表示以点 为圆心，为圆心，为半径的圆为半径的圆.(,)22DE 22142DEF 2)当当 时时,3)当当 时时,2240DEF 方程表示点方程表示点2240DEF (,).22D E 方程不表示任何图形方程不表示任何图形.圆的一般方程圆的一般方程:220 xyDx Ey F 22(40)DEF 圆心圆心:半径半径:(,)22DE 22142DEF 22224()()224DEDEFxy 三、新知建构，交流展示 圆的一般方程：圆的一般方程：x2 y 2DxE
5、yF0圆的圆的一般方程一般方程与与标准方程标准方程的关系：的关系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r=FED42122 没有没有xy这样的二次项这样的二次项（2）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点：x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0；1.A C 0 圆的一般方程：圆的一般方程：与二元二次方程：与二元二次方程：A x2+BxyCy 2DxEyF0的关系的关系:x2 y 2DxEyF0(D2+E2-4F0)2.B=03.D2E24F0 二元二次方程表二元二次方程表示圆的一般方程示圆的一般方程
6、圆的一般方程与二元二次方程的关系圆的一般方程与二元二次方程的关系练习练习:判别下列方程表示什么图形判别下列方程表示什么图形,如果是圆如果是圆,就找就找出圆心和半径出圆心和半径.221)241 0 xyxy 222)60 xyx 22436DEF 6,0DE F 半径半径:圆心圆心:(3,0)3r 2,4,1DEF 22416DEF 半径半径:圆心圆心:(1,2)2r 223)20 (0)xybyb 0,2D FEb 22244DEFb 圆心圆心:(0,)b 半径半径:|rb 练习：练习：将下列圆的一般方程化成标准方程将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出并找出圆心坐标及半径圆心坐标及半径221
7、)2420 xyxy 222)21 0 xyx y 223)40 xyy 22(2)4xy 2219(1)()24xy 22(1)(2)3xy P122例例4：求过三点求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法几何方法方法一：yxM1(1,1)M2(4,2)0三、新知建构，交流展示 因为因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-
8、b）2=r2待定系数法待定系数法方法二：所求圆的方程为：所求圆的方程为：即（即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得解得例例4：求过三点求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.三、新知建构，交流展示 例例4：求过三点求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的一般方程为解：设所求圆的一般方程为：因为因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上，则都在圆上，则222240)0(DEFxyDx
9、 Ey FF=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0 即（即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法待定系数法方法三：F=0D=-8E=6解得解得三、新知建构，交流展示 求圆方程的步骤求圆方程的步骤:1.根据题意根据题意,选择标准方程或一般方程选择标准方程或一般方程.若已知条件与圆心或半径有关若已知条件与圆心或半径有关,通常设为通常设为标准方程标准方程;若已知圆经过两点或三点若已知圆经过两点或三点,通常设为通常设为一般方程一般方程;2.根据条件列出有关根据条件列出有关 a,b,r,或或 D,E,F的方程组的方程组.3.解出解出 a
10、,b,r 或或 D,E,F 代入标准方程或代入标准方程或一般方程一般方程.(待定系数法待定系数法)三、新知建构，交流展示 练习练习:如图如图,等腰梯形等腰梯形ABCD的底边长分别为的底边长分别为6和和4,高为高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个并求这个圆的圆心坐标和半径长圆的圆心坐标和半径长.3(2,3)(2,3)(3,0)(3,0)解解:设圆的方程为设圆的方程为:220 xyDx Ey F 因为因为A,B,C都在圆上都在圆上,所以其坐标所以其坐标都满足圆的方程都满足圆的方程,即即9 309 3013 430D FD FDE F 40,93DEF 圆的方程
11、圆的方程:2249 03xyy 即即:22285()39xy 圆心圆心:半径半径:8532(0,)3xyaP(x,y)P(x,y)是直线是直线a a上任意一点上任意一点0AxByC点点P的坐标的坐标(x,y)满足的关系式满足的关系式CM(x,y)222)()(rbyaxM(x,y)是圆是圆C C上任意一点上任意一点点点M的坐标的坐标(x,y)满足的关系式满足的关系式求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x，y所满足的关系所满足的关系.P122P122例例5 5已知线段已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是（的坐标是（4 4，3 3）,端点端点A A在圆在圆(x
12、+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程.yABMxo解决办法：主被动点法即代入法（相关点法）解决办法：主被动点法即代入法（相关点法）三、新知建构，交流展示 22(1)4xy2200(1)4xy4321-1-2-3-4-224BMA 解解.设设M的坐标为的坐标为(x,y)A的坐标为的坐标为(x0,y0)0043,22xyxy因为因为M M是是ABAB的中点的中点即即0024,23xxyy又点又点A A在圆在圆上上代入得代入得2233()()122xy即即主动点主动点被动点被动点设主动点为设主动点为(x0,y0)被动点
13、为被动点为(x,y)所以所以M M的轨迹是以点的轨迹是以点 为圆心，为圆心，1 1为半径的圆为半径的圆3 3,2 2x0=f(x),y0=g(y)代入主动点方程代入主动点方程整理得轨迹方程整理得轨迹方程主被动点法主被动点法22(24 1)(23)4xy求动点轨迹的步骤求动点轨迹的步骤:1.建立坐标系建立坐标系,设动点坐标设动点坐标M(x,y);（建系设点）（建系设点）2.列出动点列出动点M满足的条件并列出等式满足的条件并列出等式;（条件立式）（条件立式）3.列方程化简，并说明轨迹的形状列方程化简，并说明轨迹的形状.（列方程化简）（列方程化简）三、新知建构，交流展示 三、新知建构，交流展示2.典
14、例分析：典例分析：题型一题型一 圆的一般方程的概念辨析圆的一般方程的概念辨析题型二题型二 求圆的一般方程求圆的一般方程题型三题型三 求轨迹方程求轨迹方程三、新知建构，交流展示三、新知建构，交流展示三、新知建构，交流展示三、新知建构，交流展示三、新知建构，交流展示四、当堂训练，针对点评四、当堂训练，针对点评五、课堂总结，布置作业1课堂总结：课堂总结：（1）涉及知识点：）涉及知识点：圆的标准方程与一般方程；圆的标准方程与一般方程；求圆方程的常用方法及解题步骤。求圆方程的常用方法及解题步骤。（2）涉及数学思想方法：）涉及数学思想方法：转化与化归思想；数形结合思想；待定系数转化与化归思想；数形结合思想
15、；待定系数法；配方法。法；配方法。1.本节课的主要内容是圆的一般方程本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为其表达式为(用配方法求解用配方法求解)3.给出圆的一般方程给出圆的一般方程,如何求圆心和半径如何求圆心和半径?0402222FEDFEyDxyx 配方展开2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程一般方程标准方程标准方程(圆心圆心,半径半径)五、课堂总结，布置作业求圆的方程常用方法及解题步骤：几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交点）（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线）求半径求半径 （圆心到圆上一点的距离圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系数法22222()()0)xaybrxyDxEyF设方程为(或列关于列关于a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F）的方程组的方程组解出解出a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）五、课堂总结，布置作业五、课堂总结，布置作业2.作业设计：教材作业设计：教材124：习题：习题4.1A组组第第1、4、5、6题题3.预习任务：自主学习预习任务：自主学习121-1234.2.1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系
