1、二元一次方程组 “今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?”这是我国古代数学著作孙子算经中记载的数学名题.你能用哪些方法解决这个问题呢?如果设两个未知数,能解决这个问题吗?想一想学学 习习 新新 知知一、二元一次方程 定义:上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.例：(补充)下列方程中,是二元一次方程的是()A.7x+3y=2 B.xy=9 C.x+2y2=11 D.4=22x-y 解析解析:本题考查二元一次方程的定义,B选项的次数为2,C选项的 最高次数为2,D选项不是整式方程,故都不是二元一次方程.
2、解题策略解题策略从以下三个方面整体理解二元一次方程从以下三个方面整体理解二元一次方程的定义的定义:(1)有两个未知数有两个未知数;(2)含有未知数的项的次数为含有未知数的项的次数为1;(3)是整式方程是整式方程.A 知识拓展知识拓展 1.二元一次方程还可以定义为:在方程中有两个未知数,未知数与未知数之间没有乘法、除法运算,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.2.理解二元一次方程的概念要特别注意对次数的要求是“含有未知数的项的次数为1”,不能理解为“每个未知数的次数都是1”,如xy+2=0就不是一个二元一次方程.算法展示:(1)算数方法:把兔子和鸡的脚数看成“相等”,则多出94
3、-352=24只脚,每只兔子比鸡多出两只脚,由此可先求出兔子有242=12(只),随后可算出鸡有35-12=23(只).类似地也可以先求鸡的数量:354-94=46(只),462=23(只).(2)列一元一次方程:设有x只鸡,则有(35-x)只兔子.根据题意,得2x+4(35-x)=94.解方程可求出x=23.35-23=12(只).所以有23只鸡,12只兔子.解：设有x只鸡,有y只兔子.x+y=35,2x+4y=94.比较这两个方程与前面学过的一元一次方程,有什么不同呢?含有两个未知数含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数并且含有未知数的项的次数都是都是1 1的方程的方程,叫做叫做二元一次
4、方程二元一次方程.上面的问题中包含两个必须同时满足的条件,也就是未知数x,y必须同时满足方程:x+y=10,2x+y=16.把这两个方程合在一起,写成 就组成了一个方程组.这个方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.=10=16x+y2x+y，知识拓展知识拓展 二元一次方程组的概念是一个描述性二元一次方程组的概念是一个描述性定义定义,两个未知数不是两个方程中每个方程两个未知数不是两个方程中每个方程都含有两个未知数都含有两个未知数,可以是一个方程中含有可以是一个方程中含有一个未知数一个未知数,也可以是两个方程中含有不同也可以是两
5、个方程中含有不同的两个未知数的两个未知数.例：(补充)下列方程组中,是二元一次方程组的为()A.B.C.D.C=5=3x+3y2x-3z=5=6m+nnm+n=1=163m+3nm2n+=101=62x-3y-5yx解析解析:本题主要考查二元一次方程组的定义.A选项共含有三个未知数;B选项中的未知数的最高次数是2;D选项中不全是整式方程,故都不是二元一次方程组.故选C.问题1 下面哪些解既适合方程x+y=10,又符合问题的实际意义?解析由上表可知x=0,y=10;x=1,y=9;x=10,y=0使方程x+y=10两边的值相等,它们都是方程x+y=10的解.如果不考虑方程x+y=10与上面实际问
6、题的联系,那么x=-1,y=11;x=0.5,y=9.5;也都是这个方程的解.这说明二元一次方程除非有实际意义的限制或者特别的限制,否则这种方程有无数个解.x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0问题2 写出方程2x+y=16的几个解?解析解析例如x=0,y=16;x=1,y=14;x=5,y=6都是2x+y=16的解.问题3 上述表格中的解,哪些或哪个是方程2x+y=16的解?解析解析x=6,y=4.x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0问题4 什么是二元一次方程组的解?解析解析
7、一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.我们还发现,x=6,y=4既满足方程,又满足方程,也就是说,x=6,y=4是方程与方程的公共解,我们把x=6,y=4叫做二元一次方程组 的解.这个解通常记作 一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.10,216xyxy6,4.xy 知识拓展知识拓展 二元一次方程组的解是一对数二元一次方程组的解是一对数,要将要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检这对数代入方程组中的每一个方程进行检验验,这对数只有满足方程组中的每一个方这对数只有满足方程组中的每一个方程程,才能是这个方程组的解才能是这个方程组的解
8、,而一元一次方而一元一次方程的解是一个数程的解是一个数,这是它们之间的区别这是它们之间的区别.课堂小结课堂小结 1.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.2.一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.3.一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.1.下列方程中,是二元一次方程的是()A.3x-2y=1 B.xy+y=9 C.x-3=4y2 D.x+x=2解析解析:本题考查二元一次方程的定义.B选项的未知数的最高次数为2,C选项的未知数的最高次数为2,D选项不含有两个未知数,因此它们都不是二元一次方程.故选
9、A.A45 检测反馈检测反馈2.下列各组数中,不是方程x+y=7的解的是()A.B.C.D.解析解析:将四个选项分别代入方程,能使方程成立的即是方程的解.反之,则不是方程的解.A.3+4=7,C.1+6=7,D.10+(-3)=7,均是方程的解,不符合选择要求;B.12+(-1)=117,不是方程的解,符合选择要求.=3=4xy=12=-1xy=1=6xy=10=-3xyB3.方程ax-y=3的解是 则a的值是()A.5B.-5C.2D.1解析解析:把 代入方程ax-y=3,得a-2=3,解得a=5.故选A.A=1=2,xy，=1=2xy，4.请判断下列各组数是不是二元一次方程组 的解:=3,123=4,=-5=3,=-5=2,2=0=2,=0 xxyyxyxyxy解：把代入方程组，发现不满足所以不是原方程组的解.把代入方程组，发现适合每一个方程，所以是原方程组的解.5=10,23=4x+yx-y =3,=2,12=-5;=0.xxyy
