1、2.3 用公式法求解一元二次方程【义务教育教科书北师版九年级上册义务教育教科书北师版九年级上册】学校：学校：_教师：教师：_ 导入新课导入新课说说下列关于说说下列关于x的方程中各项系数的方程中各项系数.02932 xx02cbxax1、知识回顾知识回顾3a-9b2c 导入新课导入新课按配方法按配方法步骤步骤解下列方程解下列方程.02932 xx02cbxax03232 xx02acxabx22222abacabxabx3232xx222)23(32)23(3xx22222abacabxabx22442aacbabx121923x探究探究1aacbbx242把把 进一步计算你发现了什么进一步计算
2、你发现了什么？22442aacbabx 关于关于x的方程的解是由方程的方程的解是由方程 各项的系数的代数式组成的。各项的系数的代数式组成的。20axbxc探究探究1aacbbx242如果把如果把 中的中的a,b,c 用用3，-9，2来代替，你会发现什么呢？来代替，你会发现什么呢？与用配方法求的方程的结果是一样！与用配方法求的方程的结果是一样！02932 xx试一试试一试65791x或65792x公式法w 一般地一般地,对于一元二次方程对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0).04.2422acbaacbbx 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用
3、求用求根公式解一元二次方程的方法称为根公式解一元二次方程的方法称为公式法。公式法。:,042它的根是时当 acbw老师提示老师提示:w用用公式法公式法解一元二次方程的解一元二次方程的前提前提是是:w1.1.必需是一般形式的一元二次方程必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0);w2.2.b2 2-4-4ac0.0.探究探究1你能用配方法解方程你能用配方法解方程 3 3x2 2+2+2x+1=0+1=0吗吗?031322xx03191)31(3222xx092)31(2x92)31(2x092原方程无解原方程无解【解析解析】探究探究1aacbbx242当当b b2 2-4ac-4
4、ac0 0时，原方程无解时，原方程无解用求根公式法解一元二次方程用求根公式法解一元二次方程01872 xx1 1、xx41422 2、解：解：0121)18(14)7(422 acb121217x2117 x，2117 x2117 x，91x22x18,71cba，例题精讲例题精讲xx41422 2、解：解：0144)4(422 acb4204x804x把原方程化成一般形式，得：把原方程化成一般形式，得：01442xx2121 xx1,4,4cba2184x例题精讲例题精讲【例例3 3】解方程：（解方程：（x-2)(1-3-2)(1-3x)=6)=6这里这里 a=3,=3,b=-7,=-7,c
5、=8.=8.b2-4ac=(-7)2-438=49-96=-470,原方程没有实数根原方程没有实数根.【解析解析】去括号：去括号：x-2-3x2+6x=6化简为一般式：化简为一般式：-3-3x2 2+7+7x-8=0-8=03 3x2 2-7-7x+8=0+8=0例题精讲例题精讲用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：24,2bbacxa 3、代入求根公式、代入求根公式:2、求出、求出 的值，的值，24bac 1、把方程化成一般形式，并写出、把方程化成一般形式，并写出 的值的值.a b、c c4、写出方程的解：、写出方程的解：12.xx、特别注意特别注意:当当 时无
6、解时无解;240bac 总结总结（）对于一元二次方程：对于一元二次方程：02cbxax0a当当 时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；042 acb042 acb当当 时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；042 acb当当 时，方程没有实数根。时，方程没有实数根。所以所以 叫做一元二次方程叫做一元二次方程 acb42)0(02acbxax的根的判别式，通常用希腊字母的根的判别式，通常用希腊字母“”来表示来表示.即：即：acb42总结总结1、x2-7x-18=0解：这里解：这里 a=1,b=-7,c=-18.a=1,b=-7,c=-18.b b2 2-4
7、ac=(-7)-4ac=(-7)2 2-4-41 1(-18)=121(-18)=1210,0,11712172 21 12 2x x即：即：x1=9,=9,x2 2=-2=-2用公式法解下列方程用公式法解下列方程牛刀小试牛刀小试2 2、解：化简为一般式得解：化简为一般式得,104-2 24 42 2x x）（x2 24 4x x1 14041 14 4x x2 2x这里这里 a=4,b=-4,c=1.a=4,b=-4,c=1.b2 2-4-4ac=-4-44 41=0,1=0,24即：即：x1 1=x2 2=21用公式法解下列方程用公式法解下列方程牛刀小试牛刀小试探究探究2 在一块长在一块长
8、16m,16m,宽宽12m12m的矩形荒地上的矩形荒地上,要建造一个花园要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半并使花园所占面积为荒地面积的一半.你能给出设计方案吗你能给出设计方案吗?16m12m探究探究2我我小明小明,我的设计我做主！我的设计我做主！我的设计方案如图所示我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都其中花园四周小路的宽都相等相等.通过解方程通过解方程,我得到小路的宽为我得到小路的宽为2m2m或或12m.12m.你认为小明的结果对吗你认为小明的结果对吗?为什么为什么?16m12m你能将小明解答的过程重现吗你能将小明解答的过程重现吗?根据题意得设小路的宽为解,:xm).,(
9、12,221舍去不合题意xx.2:m小路的宽为答.21216212216xx得解这个方程,.024142xx即老师提示老师提示:在检验时在检验时,方方程的根一定要符合问题程的根一定要符合问题的实际意义的实际意义.否则否则,舍去舍去.探究探究2 我的设计方案如图所示我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都其中花园每个角上的扇形都相同你能通过解方程相同你能通过解方程,帮我得到扇形的半径帮我得到扇形的半径x是多少吗是多少吗?我我小亮小亮,我的设计我做主！我的设计我做主！16m12mxm根据题意得设扇形的半径为解,:xm.,5.5.5.59621舍去不合题意其中xxx.5.5:m扇形的半径约为答
10、.212162x得解这个方程,.962x即探究探究2 我的设计方案如图所示我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直其中花园是两条互相垂直的小路的小路,且它的宽都相等且它的宽都相等.我我小颖小颖 ,我的设计我做主！我的设计我做主！你能通过解方程你能通过解方程,帮我得到小路帮我得到小路的宽的宽x是多少吗是多少吗?16m12mxmxm根据题意得设小路的宽为解,:xm).,(24,421舍去不合题意xx.4:m小路的宽为答.212161216xx得解这个方程,.096282xx即典题精讲典题精讲如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一
11、个矩形花园面墙，围成一个矩形花园ABCDABCD（围墙（围墙MNMN最长可利用最长可利用25m25m），现在已备足可以砌），现在已备足可以砌50m50m长的墙的材料，试设计一种长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为砌法，使矩形花园的面积为300m300m2 2.典题精讲典题精讲解：设解：设AB为为xm，则，则BC为（为（50-2x）m，根据题意得方程：根据题意得方程：x（50-2x）=300，2x2-50 x+300=0，解得；解得；x1=10，x2=15，当当x1=10时时50-2x=3025（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），当当x2=15时时50-2x=2025（符合题意）
12、（符合题意）答：当砌墙宽为答：当砌墙宽为15米，长为米，长为20米时，花园面积为米时，花园面积为300平方米平方米 在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？课堂课堂小结小结1 1、一元二次方程一元二次方程当时了当时了 方程的根为方程的根为:bbacx.bac.a 2244023 3、根的判别式、根的判别式acb422 2、用公式法解一元二次方程的一般步骤；、用公式法解一元二次方程的一般步骤；bac2404 4、一元二次方程的在生活中应用、一元二次方程的在生活中应用-方案设计问题。方案设计问题。课堂拓展课堂拓展如图，某市近郊有一块长为如图，
13、某市近郊有一块长为6060米，宽为米，宽为5050米的矩形荒地，地米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为一边长均为a a米）区域将铺设塑米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地胶地面作为运动场地课堂拓展课堂拓展（1 1）设通道的宽度为）设通道的宽度为x x米，米，则则a=.（用含（用含x的代数式表示）；的代数式表示）；（2 2）若塑胶运动场地总占）若塑胶运动场地总占地面积为地面积为24302430平方米请问
14、平方米请问通道的宽度为多少米？通道的宽度为多少米？6032x解：设通道的宽度为解：设通道的宽度为x米，则米，则a=6032x根据题意得，根据题意得，603502603.24302xxxx（）（）解得解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）答：中间通道的宽度为答：中间通道的宽度为2 2米米1 1、已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2 2+2+2x+m=0=0（1 1）当）当m=8=8时，判断方程的根的情况；时，判断方程的根的情况；（2 2）当）当m=-8=-8时，求方程的根时，求方程的根解：（解：（1）当）当m=8时，时，b2-4ac=22-418=4-32=-
15、280，原方程没有实数根原方程没有实数根达标测评达标测评（2）当）当m=-8时，原方程为时，原方程为x2+2x-8=0，即（即（x-2）（）（x+4）=0，x1=2，x2=-42 2、解下列方程、解下列方程:(1)(1)x2 2-2-2x8 80 0；(2)9(2)9x2 26 6x8 8；(3)(2(3)(2x-1)(-1)(x-2)=-1;-2)=-1;.4;2.121xx.34;32.221xx.23;1.321xx3 3、不解不解方程方程判断下列方程根的情况判断下列方程根的情况:（1 1）2 2x2 2+5=7+5=7x （2 2）4 4x（x-1)+3=0-1)+3=0 (3)(3)
16、(x+1)(3+1)(3x-5)=1 (4)25-5)=1 (4)25x2 2+20+20 x+4=0+4=0两个不相等的实数根两个不相等的实数根无实数根无实数根两个不相等的实数根两个不相等的实数根两个相等的实数根两个相等的实数根达标测评达标测评4 4、在一块长为、在一块长为16m16m，宽为，宽为12m12m的矩形荒地上建造一个花的矩形荒地上建造一个花园，要求花园的占地面积是荒地面积的一半如图是园，要求花园的占地面积是荒地面积的一半如图是甲、乙两位同学的设计方案，请分别求出两种方案中甲、乙两位同学的设计方案，请分别求出两种方案中小路的宽度小路的宽度（甲方案）在荒地四周修建等宽的小路；（甲方案
17、）在荒地四周修建等宽的小路；（乙方案）在荒地中间修建等宽的（乙方案）在荒地中间修建等宽的“十字型十字型”小路。小路。达标测评达标测评达标测评达标测评解：解：（甲方案）设小路宽（甲方案）设小路宽xm，则得方程，则得方程（16-2x）（）（12-2x）=1612，解得：解得：x1=2，x2=12，而矩形的宽为而矩形的宽为12m，若小路宽为，若小路宽为12m，不符合实际情况，不符合实际情况，故，故x2=12m不合题意；不合题意；故甲方案设计图中的道路的宽为故甲方案设计图中的道路的宽为2米米达标测评达标测评（乙方案）设小路宽（乙方案）设小路宽y ym m，则得方程，则得方程（16-y16-y）（）（12-y12-y）=16161212，解得：解得：y y1 1=4=4，y y2 2=24=24，而矩形的宽为而矩形的宽为12m12m，所以小路宽为，所以小路宽为24m24m不合题意；故乙不合题意；故乙方案设计图中的道路的宽为方案设计图中的道路的宽为4 4米米 教材教材43页习题页习题2.5第第1、2题。题。布置作业布置作业
