1、第六章第六章 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用 在第五章，我们建立了流体力学微分形式的基本方程组，并通过在第五章，我们建立了流体力学微分形式的基本方程组，并通过引入了无粘流假设，完全气体假设，建立了理想流体（或理想气体）引入了无粘流假设，完全气体假设，建立了理想流体（或理想气体）的动力学基本方程组，这一方程组虽解决了封闭性问题，并使未知数的动力学基本方程组，这一方程组虽解决了封闭性问题，并使未知数数量及方程的复杂程度得到了很大简化，但由于方程组仍是非线性的，数量及方程的复杂程度得到了很大简化，但由于方程组仍是非线性的，以至于还是无法得到一般形式的解，或精确积分求解的一般方法。以至于还是无法
2、得到一般形式的解，或精确积分求解的一般方法。在第四章，我们通过对一段流管的能量方程进行分析，在引入五在第四章，我们通过对一段流管的能量方程进行分析，在引入五项假设以后已经获得了柏努利方程。实际上，通过对上一章中的欧拉项假设以后已经获得了柏努利方程。实际上，通过对上一章中的欧拉方程进行积分，同样可以得到著名的伯努利方程，不过在积分过程中方程进行积分，同样可以得到著名的伯努利方程，不过在积分过程中同样要引入相应的假设和限制条件。柏努利方程的获得对流体力学的同样要引入相应的假设和限制条件。柏努利方程的获得对流体力学的发展产生了重要的影响，使得这一方程在以后的一百多年里，直到今发展产生了重要的影响，使
3、得这一方程在以后的一百多年里，直到今天，都是流体力学中应用最广（不论在计算还是在理论分析上）的方天，都是流体力学中应用最广（不论在计算还是在理论分析上）的方程，本章将对其理论和应用进行介绍。程，本章将对其理论和应用进行介绍。第一节第一节 伯努利定理伯努利定理 在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。一、压力函数分析一、压力函数分析 在流体静力学中，对于密度仅是压力在流体静力学中，对于密度仅是压力的函数的正压流体，引入
4、了压力函数：的函数的正压流体，引入了压力函数：我们考察流场中的任意一条曲线我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点规定线上的某点o为原点，因为原点，因此曲线此曲线L上的任意一点能用该点到上的任意一点能用该点到o弧长弧长 l 表示表示,而而dl 表示曲线弧的微表示曲线弧的微元长度。元长度。显然，在曲线显然，在曲线L上，密度和压力是弧长上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不的函数，并且在不同的曲线同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：联立以上两式消去联立以上两式消去l，即可将即可将表示为表示为p的函数，注意，此时并不要求
5、流的函数，注意，此时并不要求流场是正压流场。场是正压流场。代入压力函数定义式：代入压力函数定义式：可知可知L在曲线上，压力函数沿在曲线上，压力函数沿l的变化率为：的变化率为：一般情况下，曲线一般情况下，曲线L上的函数关系上的函数关系 是未知的，但是当流是未知的，但是当流场是正压流场时，这时场是正压流场时，这时仅是仅是p的函数（根据定义），与所取曲线就无的函数（根据定义），与所取曲线就无关了。所以只要已知关了。所以只要已知 ，压力函数就可以积分。，压力函数就可以积分。(,)p L()p常见的正压场有：常见的正压场有：1 1、不可压缩流场：、不可压缩流场：2 2、完全气体等温流场：、完全气体等温流
6、场：3 3、完全气体的绝热等熵流场、完全气体的绝热等熵流场 ：在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到，就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到，也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又可以视为绝热流场。可以视为绝热流场。二、沿流线和涡线成立的伯努利积分二、沿流线和涡线成立的伯努利积分 由兰姆方程由兰姆方程(引入理想流体假设引入理想流体假设1)1)：假设流动
7、为定常假设流动为定常(2)(2)，质量力有势，质量力有势(3)(3)，兰姆方程为：，兰姆方程为：0tfU 左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方向仍然是平衡的。向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线将上式在曲线的微元弧线(切线切线)上投影，有：上投影，有：21()()2lVVpUlll 注意压力函数的微分关系注意压力函数的微分关系 ，代入上式有：，代入上式
8、有：这里曲线函数尚是任意取的，如果将该曲线取为流线或涡线，则曲线这里曲线函数尚是任意取的，如果将该曲线取为流线或涡线，则曲线上任意点的切线方向与向量上任意点的切线方向与向量 垂直，因而有：垂直，因而有：（沿流线或涡线假设（沿流线或涡线假设4 4）V 于是：于是：积分：积分：这就是欧拉方程的这就是欧拉方程的最一般形式的伯努利积分最一般形式的伯努利积分，他表明：，他表明：在理想流体、质量力有势，流动定常的条件下，沿流线或涡线流体的动在理想流体、质量力有势，流动定常的条件下，沿流线或涡线流体的动能、压力能和势能之和是一个常数。能、压力能和势能之和是一个常数。注意上式中的积分常数注意上式中的积分常数C
9、(L)C(L)与所取的流线或涡线是有关的。不同与所取的流线或涡线是有关的。不同的流线或涡线会有不同的值，的流线或涡线会有不同的值，C(L)C(L)会构成等值面。这个等值面是由相会构成等值面。这个等值面是由相交的流线或涡线决定的。交的流线或涡线决定的。如果流场是正压流场，则压力函数与所取的曲线无关，上式为：如果流场是正压流场，则压力函数与所取的曲线无关，上式为：三、不可压缩流体在重力场中的伯努利积分三、不可压缩流体在重力场中的伯努利积分 1 1、当质量力为重力时，质量力势为：、当质量力为重力时，质量力势为：2、当流体不可压时，压力函数为：当流体不可压时，压力函数为：3 3、代入伯努利积分，有代入
10、伯努利积分，有：或者或者：Ugzconstpconst 2()2VpgzC L 这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件：不可压这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件：不可压缩的理想流体，定常流动，质量力仅为重力，沿流线或涡线成立。缩的理想流体，定常流动，质量力仅为重力，沿流线或涡线成立。四、伯努利积分与所取曲线无关的情况四、伯努利积分与所取曲线无关的情况 在正压流场中，如果恒有在正压流场中，如果恒有 。则以上伯努利积分与所取曲。则以上伯努利积分与所取曲线无关。或者说在全流场中的积分为同一常数线无关。或者说在全流场中的积分为同一常数C C，等式两边的等式两边的1 1点和点和2
11、 2点点可以不必在同一流线或涡线上。可以不必在同一流线或涡线上。0V 的情况有三种：的情况有三种：1 1、流体静止，其结果为静力学基本方程，对动力学无意义。流体静止，其结果为静力学基本方程，对动力学无意义。2 2、流动无旋。流动无旋。3 3、通常不可能，只有在一些理想的特殊流动中存在。通常不可能，只有在一些理想的特殊流动中存在。0V 0V 0 V 由此我们知道，无旋流动的伯努利积分，其常数全场相等，也就由此我们知道，无旋流动的伯努利积分，其常数全场相等，也就是说，此时我们应用伯努利方程不必在意是说，此时我们应用伯努利方程不必在意1点和点和2点是不是在同一条流点是不是在同一条流线或涡线上。面对流
12、场是否无旋的判断，上一章我们在讲到弗里德曼线或涡线上。面对流场是否无旋的判断，上一章我们在讲到弗里德曼方程时有结论：理想流体，在质量力有势，流场正压时，流场如一开方程时有结论：理想流体，在质量力有势，流场正压时，流场如一开始无旋，则永远无旋，这有助于我们做出判断。始无旋，则永远无旋，这有助于我们做出判断。五、总结五、总结1、伯努利方程的形式、伯努利方程的形式221112221122pVgzpVgzI、物理意义：单位体积流体的能量守恒。物理意义：单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势能。压力能、动能、势能。II、物理意义：单位质量流体的能量守恒。物理意义：单位质量流体的能量守恒。（焓表示）（焓
13、表示）2211221222VpVpgzgzIII、物理意义：总水头高度的守恒。物理意义：总水头高度的守恒。（水头表示）（水头表示）其中第其中第I、II式多用于气体流动，式多用于气体流动，III式多用于液体流动分析。式多用于液体流动分析。2211221222VpVpzzgggg2、应用条件、应用条件 理想流体，定常流动，不可压缩流体（正压流体），质量力为重力理想流体，定常流动，不可压缩流体（正压流体），质量力为重力（质量力有势），沿流线或涡线成立。如为无旋流动，则全场成立。（质量力有势），沿流线或涡线成立。如为无旋流动，则全场成立。3、应用拓展、应用拓展 柏努利方程由理想流体流动分析得出，说明流
14、动过程中的机械能柏努利方程由理想流体流动分析得出，说明流动过程中的机械能守恒。如果流体不是理想流体，则流动必有旋（粘性产生旋涡），这守恒。如果流体不是理想流体，则流动必有旋（粘性产生旋涡），这时沿流线方向的总机械能将不会守恒。因为粘性效应，旋涡流动将把时沿流线方向的总机械能将不会守恒。因为粘性效应，旋涡流动将把一部分机械能耗散为热能（不可逆），这时沿流线的能量守恒应该是一部分机械能耗散为热能（不可逆），这时沿流线的能量守恒应该是机械能机械能+耗散能的守恒。耗散能的守恒。机械能的损失不会体现在动能上，因为速度的关系还要服从连续方程机械能的损失不会体现在动能上，因为速度的关系还要服从连续方程的规定
15、；一般也不会体现在势能上，因为势能的关系由位置确定。所的规定；一般也不会体现在势能上，因为势能的关系由位置确定。所以更多的是体现在压力（静压头）上。以更多的是体现在压力（静压头）上。1 2lp1 2li1 2lh其中，其中，、，分别代表流体从点流到点时，损失的分别代表流体从点流到点时，损失的总压力、总焓和总水头。总压力、总焓和总水头。很显然，上面三个方程不是独立的。很显然，上面三个方程不是独立的。4、关于不可压缩流体的判断、关于不可压缩流体的判断液体肯定是不可压缩的，气体从物性上来讲是可压缩的，但是，液体肯定是不可压缩的，气体从物性上来讲是可压缩的，但是，如果在流动过程中，忽略位置水头的变化（
16、一般所占比重小），并将如果在流动过程中，忽略位置水头的变化（一般所占比重小），并将过程看作是等温的，密度的变化量取决于压力的变化过程看作是等温的，密度的变化量取决于压力的变化量，考虑一个绕流问题，流场中速度变化量最大的两点：滞止点和远量，考虑一个绕流问题，流场中速度变化量最大的两点：滞止点和远前方，有前方，有1122pp22121211 22pVpppV设：设：534310,1/,100/1105 102aaapPkg mVm spP 此时压力的相对变化量：此时压力的相对变化量：，故密度的相对变化量：故密度的相对变化量：0.05app0.055%我们知道音速：我们知道音速：340/am s因而
17、：因而：1000.2940.3340VMa说明当说明当 0.3 时，流速的变化导至密度的变化量小于时，流速的变化导至密度的变化量小于5%，流体可看，流体可看作不可压缩的流体。有的定为作不可压缩的流体。有的定为M0.25，M0.2，要求更严。而在地要求更严。而在地面工程中，绝大多数情况面工程中，绝大多数情况M都小于都小于0.3，喷管流例外，当，喷管流例外，当M大于大于0.2或或0.3以后，我们就不能直接应用以上方程计算气体流动了。以后，我们就不能直接应用以上方程计算气体流动了。第二节伯努利方程的应用第二节伯努利方程的应用在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符在应用伯努利方程时，
18、要注意它的应用条件，在确认求解问题符合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即公式中的的公式中的的、位置，选取的一般原则：、包含未知数的截面；位置，选取的一般原则：、包含未知数的截面；、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联立，以求解两个未知数。立，以求解两个未知数。一、容器小孔出流问题一、容器小孔出流问题密闭容器，密闭容器，Dd，即小孔足够小，设即小孔足够小，设流体为理想流体，求小孔的出流速度。有流流体为理想流体，求小孔的出流速度。有流线如
19、图，知柏努利方程沿流线总焓不变，而线如图，知柏努利方程沿流线总焓不变，而每一根流线的起始点机械能相等，即可得结每一根流线的起始点机械能相等，即可得结论，柏努利方程积分全场为同一个常数，亦论，柏努利方程积分全场为同一个常数，亦可得出流动是无旋的，为此，设液面为可得出流动是无旋的，为此，设液面为1，出口为出口为2，写出方程：，写出方程：2200020022()2aaVppVgzgzppVg zz又：又：如容器不密封而与大气相通，有如容器不密封而与大气相通，有p0=pa 上式上式2Vgh（托里拆利公式（托里拆利公式）如容器内为气体，则如容器内为气体，则2gh为一般是小量，可忽略：为一般是小量，可忽略
20、：02()appV注意此时计算结果中注意此时计算结果中V最大不能超过最大不能超过100m/s，否则压缩性不能忽略。否则压缩性不能忽略。02()2appVgh如图，求点的压力，由连续方程：如图，求点的压力，由连续方程：12BVgzV,aBBBaBppgzppgz 即即P低于低于Pa，当，当Z=0时时 P=Pa上式也说明，上式也说明，B点的高度不能无限制的升高。如点的高度不能无限制的升高。如果果B点的高度过高导致点的高度过高导致 时，在时，在B点就会点就会出现负的绝对压力，对于流体这是不可能的。实出现负的绝对压力，对于流体这是不可能的。实际上，当际上，当B点压力小于该点流体在该温度下的饱点压力小于
21、该点流体在该温度下的饱和压力时，流体就会在该点发生汽化和压力时，流体就会在该点发生汽化(亦称空化亦称空化)。Bagzp理想流体柏努利方程的几何意义理想流体柏努利方程的几何意义柏努利方程第三式每一项的量纲与长度相同，都表示某一高度。如图：柏努利方程第三式每一项的量纲与长度相同，都表示某一高度。如图：表示研究点相对某一基准面的几何高度，称：表示研究点相对某一基准面的几何高度，称位置水头位置水头。：表示研究点处压强大小的高度，表示与该点相对压强相当的：表示研究点处压强大小的高度，表示与该点相对压强相当的液柱高度，称液柱高度，称压强水头压强水头。：称：称测压管水头测压管水头。：表示研究点处速度大小的高
22、度，：表示研究点处速度大小的高度，称称速度水头速度水头。：称：称总水头总水头。那么，例题中那么，例题中所示情况怎样标出他的各所示情况怎样标出他的各种水头呢？种水头呢？pg22Vgzzpg22zpgVg例题中例题中所示情况的各种水头大小的变化如图所示：所示情况的各种水头大小的变化如图所示：二、溢水道问题二、溢水道问题 今有理想不可压重力流体流过一垂直今有理想不可压重力流体流过一垂直墙，墙顶水层的厚度较水库水深为无穷小墙，墙顶水层的厚度较水库水深为无穷小量，试确定流体自由表面处的速度。量，试确定流体自由表面处的速度。假定水库的容积足够大，故可以认为远离溢水口处的水面高度是假定水库的容积足够大，故可
23、以认为远离溢水口处的水面高度是不变的，并且流动是定常的。流体自由表面上的压力等于大气压力不变的，并且流动是定常的。流体自由表面上的压力等于大气压力pa，溢口处水层厚度较水库深度为小量，故远离溢口处的流速近似为溢口处水层厚度较水库深度为小量，故远离溢口处的流速近似为V=0，自由表面是流线。可写出沿流线的伯努利方程自由表面是流线。可写出沿流线的伯努利方程:212aappVgzgz可得自由表面上可得自由表面上z处的流速关系处的流速关系:12()2Vg zzgh 上式在形式上与小孔出流公式一上式在形式上与小孔出流公式一样。由上式可见，随着样。由上式可见，随着z的减小或落差的减小或落差h的增大，速度的增
24、大，速度V增大，由连续方程知增大，由连续方程知其流管宽度应减小。同时，由于在溢其流管宽度应减小。同时，由于在溢口口B处流速处流速VB已不能忽略，故此时的已不能忽略，故此时的液面已低于远处的液面已低于远处的z1，也就是说，水库也就是说，水库水面的高度在靠近溢口处时就已开始水面的高度在靠近溢口处时就已开始降低了。降低了。三、汽油机化油器的流动三、汽油机化油器的流动1、风道进口流动问题。、风道进口流动问题。如图所示一直径为如图所示一直径为D的圆柱形通风管，假设的圆柱形通风管，假设B截面的速度分布均匀，空气密度为截面的速度分布均匀，空气密度为 air，并已知通风流量并已知通风流量Q，求，求B点点的的压
25、力压力pB。设设A点远离进口，则点远离进口，则VA=0，pA=paB点的流速为：点的流速为：写出写出A、B两点间的柏努力方程：两点间的柏努力方程：所以：所以：2、化油器的流动。、化油器的流动。化油器结构如图，已知化油器结构如图，已知D、d、pB，以及油箱油面以及油箱油面到汽化器轴线的垂直高度到汽化器轴线的垂直高度h，油面压力为油面压力为pa，求将汽油吸入汽化器的空求将汽油吸入汽化器的空气流量。设空气与汽油的密度分别为：气流量。设空气与汽油的密度分别为：,airoil欲使汽油被吸入汽化器，欲使汽油被吸入汽化器，C截面必须要有截面必须要有一定的真空度，其最小真空度所对应的一定的真空度，其最小真空度
26、所对应的油柱高度应为油柱高度应为h。即：即：截面截面C处的真空度又与流过该截面的空气处的真空度又与流过该截面的空气流量有关。写出流量有关。写出B与与C截面的伯努利方程：截面的伯努利方程：连续方程：连续方程：(a)(b)(c)由由(a)：由由(b)：222411()1()22CBairCBBairCdppVVpVD24CCQQVAd另外，由另外，由2248airBaQppD224242814()1()2airCaairQQdppDdD(d)(e)令令(d)式与式与(e)式式相等，可得：相等，可得：2242424881()airairoilQQdghDdD24282 2oiloilairairdd
27、Qghgh最终得：最终得：同样的问题，可用于喷雾器流量的计算。同样的问题，可用于喷雾器流量的计算。Caoilppgh四、皮托管四、皮托管 柏努利定理告诉我们，沿流线流体的柏努利定理告诉我们，沿流线流体的机械能是守恒的，动能、势能和压力能可机械能是守恒的，动能、势能和压力能可以相互转换。考虑在流场中，放置一如图以相互转换。考虑在流场中，放置一如图的圆柱体，其头部为光滑过渡面，如半球面，放置方向与来流一致，的圆柱体，其头部为光滑过渡面，如半球面，放置方向与来流一致，则可得如图的流场。前面讲过，迎风的前缘上是一滞止点，该点的流则可得如图的流场。前面讲过，迎风的前缘上是一滞止点，该点的流速为零。到管壁
28、侧面，离头部足够远，流速又恢复到了接近远前方的速为零。到管壁侧面，离头部足够远，流速又恢复到了接近远前方的流速流速(因为柱体足够小因为柱体足够小)，即，即V2=V。写出写出、2两点的伯努利方程：两点的伯努利方程：222222 22VpVpgzgzpp再写出再写出1、2两点的伯努利方程，设两点的伯努利方程，设g(z2-z1)很小，并有很小，并有V1=0：2122122pVpgzgz滞止点与滞止参数滞止点与滞止参数：根据柏努利方程，如：根据柏努利方程，如果忽略位置高度的影响，当流体质点沿着果忽略位置高度的影响，当流体质点沿着流线运动时，随着速度的降低其压力会增流线运动时，随着速度的降低其压力会增高
29、，而当高，而当 V=0 时，其压力会达到可能的最时，其压力会达到可能的最大值。我们将此时流体质点所处的状态叫大值。我们将此时流体质点所处的状态叫做做滞止状态滞止状态，对应的空间点叫做，对应的空间点叫做滞止点滞止点。如图由。如图由点到点到1点的这条流线，点的这条流线，写出该两点的柏努力方程，并假设写出该两点的柏努力方程，并假设z=z1，有：有：2*101()2Vpppp也就是说，在也就是说，在1点全部动能都转换成了压力能。我们将此压力称为滞止点全部动能都转换成了压力能。我们将此压力称为滞止压力，或者总压，记为压力，或者总压，记为p0或者或者p*。其实，其实，滞止压力沿流线是不变的滞止压力沿流线是
30、不变的。定义定义 为总压，有为总压，有2122122pVpgzgz1222()ppVV2122012pVpp02()ppV利用这一原理，可以做出最常用的测速仪表利用这一原理，可以做出最常用的测速仪表皮托管，皮托管的结构皮托管，皮托管的结构如上图。其总静压差可以用如上图。其总静压差可以用U型管测量：型管测量：22120()2()H OH OghVppppgh当当g(z2-z1)很小时：很小时：五、文丘利管五、文丘利管 文丘利管由一渐缩文丘利管由一渐缩+喉道喉道+渐扩的管渐扩的管道组成，也叫文氏管。一般用来进行流道组成，也叫文氏管。一般用来进行流量测量，其结构如图，测量原理同样是量测量，其结构如图
31、，测量原理同样是柏努利定理。在柏努利定理。在1、2截面写出柏努利方截面写出柏努利方程，忽略高度变化，有：程，忽略高度变化，有：22air1air21212H2O0022VVppppg h由连续方程：由连续方程：22112212 D44V AV AVVd代入柏努力方程：代入柏努力方程：222242112211()1()22airairH OdVVppVg hD由此可以求得喉部平均速度：由此可以求得喉部平均速度：由此可以求得喉部平均速度：由此可以求得喉部平均速度：22421()H OairghVdD流量：流量：22224241()H OairghdQV AdD 用文丘利管也能测量管内液体的用文丘利
32、管也能测量管内液体的流量。如图所示，特别是当文氏管非流量。如图所示，特别是当文氏管非水平放置时，测得直管段与喉部的测水平放置时，测得直管段与喉部的测压管水头，就能求得流量。有关公式压管水头，就能求得流量。有关公式请自己推导。请自己推导。六、无旋自由涡的自由表面六、无旋自由涡的自由表面 水流入一泄水孔，当流体为理想流体时，会形成一无旋自由涡。水流入一泄水孔，当流体为理想流体时，会形成一无旋自由涡。已知在距旋转轴线已知在距旋转轴线R2=1.6m处的切向速度处的切向速度V2=1m/s。求。求:(a)在距转在距转轴轴R1=0.8m处的水面比处的水面比R2处低多少？处低多少？(b)自由水面的一般表达式。
33、自由水面的一般表达式。(a)对于自由涡有：对于自由涡有：V1R1=V2R2=C222111 1.61.6/1.62/0.8CV RmsCVm sR 因为是自由表面，有因为是自由表面，有p1=p2=pa，有：有：2212122222122122210.15322 9.8VVhhggVVhhhmg 说明说明1点比点比2点低点低0.153m(b)取取R处自由面高度处自由面高度z0=0，V0=0。Z坐坐标方向向下，则在自由面上任一点写出柏标方向向下，则在自由面上任一点写出柏努力方程：努力方程：2200022VVzzggCVR 代入有：代入有：22222VCzggR令令 ：22Ccg2czR第三节第三节
34、 完全气体作可逆绝热流动时完全气体作可逆绝热流动时的柏努利积分的柏努利积分 本节的内容实际上是本节的内容实际上是“一维气体动力学基础一维气体动力学基础”这一章中的内容。这一章中的内容。在一维气体动力学中，有关的基本方程是从欧拉方程中简化得到。其在一维气体动力学中，有关的基本方程是从欧拉方程中简化得到。其实它也是柏努利方程在流体作绝热可逆的可压缩流动时的特例。所以实它也是柏努利方程在流体作绝热可逆的可压缩流动时的特例。所以我们把有关的内容放到了这一节中作一个简单的介绍。我们把有关的内容放到了这一节中作一个简单的介绍。当流场为正压流场时，已经推导建立的柏努利方程的一般形式为：当流场为正压流场时，已
35、经推导建立的柏努利方程的一般形式为：前面已经建立了压力函数的关系，当理想完全气体作绝热可逆流动时前面已经建立了压力函数的关系，当理想完全气体作绝热可逆流动时（等熵，但一般是熵沿流线相等），其压力函数为：（等熵，但一般是熵沿流线相等），其压力函数为：其中其中 为比热比，由于为比热比，由于 ，有，有 。对于完全气体。对于完全气体其状态方程有其状态方程有 ，完全气体的焓为，完全气体的焓为 ，可知：，可知：pvckcpvccR1pkcRkpRTphic T 当要考虑气体的压缩性时，速度是足够大的，当要考虑气体的压缩性时，速度是足够大的，V100m/s，使得使得U相对相对足够小，可以忽略。所以这时的柏努
36、利方程一般不再出现足够小，可以忽略。所以这时的柏努利方程一般不再出现U或或gz这样的这样的项。将压力函数代入，有如下常用可压缩流体的柏努利方程：项。将压力函数代入，有如下常用可压缩流体的柏努利方程：(1)(2)(3)11pkpkpCRTCc TCiCeCkk 一、滞止状态一、滞止状态 柏努利方程反映的是一种能量守恒。当沿着流线流动减速时，流体柏努利方程反映的是一种能量守恒。当沿着流线流动减速时，流体将经过一个绝热等熵的压缩过程，使其压力、温度和密度升高。而当减将经过一个绝热等熵的压缩过程，使其压力、温度和密度升高。而当减速到速到V0时，这时时，这时 均将达到可能的最大值，称这时流体所处的均将达
37、到可能的最大值，称这时流体所处的状态为滞止状态。由状态为滞止状态。由(2)式可知滞止状态的温度（称滞止温度）为：式可知滞止状态的温度（称滞止温度）为：pT、此时的焓值既为滞止焓此时的焓值既为滞止焓：可见，滞止焓也就是柏努利积分的积分常数。而对于滞止压力和滞止密可见，滞止焓也就是柏努利积分的积分常数。而对于滞止压力和滞止密度，我们还需要其他的关系才能得到其表达式。但有：度，我们还需要其他的关系才能得到其表达式。但有：二、最大速度二、最大速度 根据方程根据方程(1)，可知当压力降低时，即气体做绝热膨胀时，速度将，可知当压力降低时，即气体做绝热膨胀时，速度将增大。速度能够达到的最大可能值，就是当气体
38、膨胀到增大。速度能够达到的最大可能值，就是当气体膨胀到p0时所达到时所达到的值，称这一速度为最大速度，记为的值，称这一速度为最大速度，记为Vmax。所谓所谓p0是指绝对压力，这时对应的是真空状态，有是指绝对压力，这时对应的是真空状态，有 0pT由伯努利方程：由伯努利方程：可见最大速度可见最大速度Vmax取决于取决于T0。三、声速、临界状态三、声速、临界状态 空气是可压缩气体，当在空气中某处产生一微小的震动，导致该空气是可压缩气体，当在空气中某处产生一微小的震动，导致该处的空气有一个微小的压缩和膨胀，这种扰动就会以波动的形式向其处的空气有一个微小的压缩和膨胀，这种扰动就会以波动的形式向其他地方传
39、播开去，这种波就称之为声波。其速度以他地方传播开去，这种波就称之为声波。其速度以a记之。声波是一记之。声波是一种纵波，其波速为一状态参数。由于流体的剪切弹性模量为零（静止种纵波，其波速为一状态参数。由于流体的剪切弹性模量为零（静止不能承受切应力），故不能传递横波。不能承受切应力），故不能传递横波。（光波是横波，为什么能在空气中传波）（光波是横波，为什么能在空气中传波）由于声波的传递过程是小扰动传递过程，其过程可以认为是等熵由于声波的传递过程是小扰动传递过程，其过程可以认为是等熵的，声速的计算式为：的，声速的计算式为：式中，式中，Es是等熵过程的体积弹性模量。有：是等熵过程的体积弹性模量。有：所
40、以：所以：对于完全气体的等熵过程有：对于完全气体的等熵过程有：，代入上式可得：，代入上式可得：即：即：带入伯努利方程带入伯努利方程(2)：在流体流动过程中，当温度升高时，声速也相应的提高，流体滞止在流体流动过程中，当温度升高时，声速也相应的提高，流体滞止时，温度达到最大，此时的声速也达到最大值，称滞止声速时，温度达到最大，此时的声速也达到最大值，称滞止声速：00akRT这样，可压缩流的柏努利积分常数之间就有如下关系：这样，可压缩流的柏努利积分常数之间就有如下关系：下面我们引入临界状态的概念，由伯努利方程知下面我们引入临界状态的概念，由伯努利方程知道，动能与热能守恒，在绝热等熵流过程中，温度道，
41、动能与热能守恒，在绝热等熵流过程中，温度与速度之间有一种与速度之间有一种“互补互补”的关系，即速度的关系，即速度V从从0到到Vmax变化，同时温度从变化，同时温度从T0到到0变化，而声速与温度有变化，而声速与温度有关，也就是说，当速度从关，也就是说，当速度从0变化到变化到Vmax时，声速就从时，声速就从a0变化到变化到0。设想沿某一条流线气流速度从。设想沿某一条流线气流速度从0开始加速开始加速到到Vmax，这中间必然有一点，在这一点上有这中间必然有一点，在这一点上有V=a，即即当地的速度等于当地的声速，我们就称这样的状态当地的速度等于当地的声速，我们就称这样的状态为临界状态，这时的速度和声速分
42、别记为为临界状态，这时的速度和声速分别记为Vcr，acr。在临界点在临界点Vcr=acr，将此点状态参数代入柏努利方程有：将此点状态参数代入柏努利方程有：可解得：可解得：由上式可见，临界速度仅取决于滞止温度。由上式可见，临界速度仅取决于滞止温度。设我们的房间中的气体温度设我们的房间中的气体温度T=15=288K，K=1.4，V=0，p=1at。可求得：可求得：a=a0=340m/s，acr=310m/s，Vmax=756m/s。四、马赫数，滞止参数与马赫数之间的关系四、马赫数，滞止参数与马赫数之间的关系 定义：定义：流体质点的运动速度与当地声速之比，称马赫数。流体质点的运动速度与当地声速之比，
43、称马赫数。M1：超声速流动超声速流动。也常说亚音速或超音速流动。也常说亚音速或超音速流动。回到刚才的那条流线上，可知回到刚才的那条流线上，可知M数的变化范围数的变化范围0M，由空气动由空气动力学可以得到如下关系：我们不加以证明。力学可以得到如下关系：我们不加以证明。在空气动力学中，除马赫数外，还常使用速度系数在空气动力学中，除马赫数外，还常使用速度系数，他的定义是：他的定义是：流体质点速度与临界速度之比。流体质点速度与临界速度之比。速度系数：速度系数：因为在同一条流线上，因为在同一条流线上，Vcr和和Vmax都是都是只与总温有关的滞止参数，是固定不变的只与总温有关的滞止参数，是固定不变的值，而
44、当地速度可以从值，而当地速度可以从0变到变到Vmax，因而因而速度系数的变化范围是：速度系数的变化范围是：设空气的温度为设空气的温度为T=15=288K，当，当M=3时，时，可求得滞止温度：可求得滞止温度：0806.4533TKC这就是所谓的热障。在这就是所谓的热障。在1960即已有超过即已有超过热障的飞机。这就是热障的飞机。这就是SR-71和和Mig-25。第四节第四节 气体动力学气体动力学喷嘴流动喷嘴流动 上一节介绍了完全气体作绝热可逆流动时的柏努利方程。该方程上一节介绍了完全气体作绝热可逆流动时的柏努利方程。该方程的意义是解决了流体作可压缩流动时，沿一条流线流动参数计算的问的意义是解决了
45、流体作可压缩流动时，沿一条流线流动参数计算的问题。绝热是高速流动时最常见的现象。我们可以回忆例题题。绝热是高速流动时最常见的现象。我们可以回忆例题1中容器小中容器小孔出流的问题，如果容器内的气体压力为孔出流的问题，如果容器内的气体压力为p0，则出流速度为：，则出流速度为：但此公式只能用来计算不可压流动，也就是说但此公式只能用来计算不可压流动，也就是说p不能太大，当出口速度超过不能太大，当出口速度超过100m/s后，我们就会想到后，我们就会想到上一节中的柏努利方程。但是这些方程的应用条件是上一节中的柏努利方程。但是这些方程的应用条件是“绝热可逆流动绝热可逆流动”，“绝热绝热”容易满足，容易满足，
46、“可逆可逆”则则意味着在流动中不能有机械损失。因此对加速过程的意味着在流动中不能有机械损失。因此对加速过程的流道设计必须要很仔细。那么，高速气体在流动通道流道设计必须要很仔细。那么，高速气体在流动通道中的运动规律又是怎样的呢？中的运动规律又是怎样的呢？一、一维可压缩流动的基本控制方程一、一维可压缩流动的基本控制方程1、连续方程：连续方程：(1)上式就是一维流动微分形式的连续方程。也可以写为：上式就是一维流动微分形式的连续方程。也可以写为：2、动量方程：动量方程：理想流体的欧拉方程为理想流体的欧拉方程为对于一维定常流动：对于一维定常流动：(2)有：有：此式建立了在流动过程中，流管截面积变化与速度
47、此式建立了在流动过程中，流管截面积变化与速度变化之间的关系。而这种关系是与马赫数变化之间的关系。而这种关系是与马赫数M有关的，有关的，当当M1时，面积变化时，面积变化的方向与速度变化的方向相同。的方向与速度变化的方向相同。怎样理解这样一种现象呢，流动过程在亚音速和超音速时，速度与面怎样理解这样一种现象呢，流动过程在亚音速和超音速时，速度与面积变化的规律为什么会不一样？积变化的规律为什么会不一样？二、流动中的压力、密度变化二、流动中的压力、密度变化 对于一个流管，连续方程对于一个流管，连续方程VA=const是无条件成立的。对于不可压是无条件成立的。对于不可压流，因流，因=const，自然有，自
48、然有AV。但如果流动是可压缩的，此时密度。但如果流动是可压缩的，此时密度也是变量，当速度也是变量，当速度V变化时，比如变化时，比如VV，如果密度的减小量较小，即，如果密度的减小量较小，即，则需要，则需要A A也减小也减小AA，使，使VA保持不变。但如果密度的减小更大保持不变。但如果密度的减小更大 ，则需要则需要A才能维持才能维持VA不变。不变。那么，密度的变化与速度变化之间的关系又是怎样的呢。那么，密度的变化与速度变化之间的关系又是怎样的呢。由动量方程：由动量方程：音速公式：音速公式：后式代入前式：后式代入前式：上式表明：上式表明：1、密度变化的方向恒与速度变化的方向相反。、密度变化的方向恒与
49、速度变化的方向相反。2、M1时，密度的变化量时，密度的变化量大于速度的变化。因此决定了流管截面积在亚音与超音时的变化不同。大于速度的变化。因此决定了流管截面积在亚音与超音时的变化不同。我们也可以导出压力关系（自己证明）：我们也可以导出压力关系（自己证明）：即压力的变化方向也是恒与速度的变化方向相反。即压力的变化方向也是恒与速度的变化方向相反。在工程上，我们将在工程上，我们将Vp的流管称的流管称之为喷管；而将之为喷管；而将V p的流管称之为扩的流管称之为扩压管。压管。三、喷管出口速度三、喷管出口速度 回到我们一开始提出的问题，当容器内的压力很高时，求小孔出流回到我们一开始提出的问题，当容器内的压
50、力很高时，求小孔出流的速度。设气流通过如图的喷管流出，流动是绝热可逆的，进口速度的速度。设气流通过如图的喷管流出，流动是绝热可逆的，进口速度V1=V00，写出伯努利方程：，写出伯努利方程：注意：注意：，代入有：，代入有：定义定义 为喷嘴的压比，由上式可知，当进口状态不变时，即为喷嘴的压比，由上式可知，当进口状态不变时，即p1、1、T1不变时，喷嘴的出口流速仅与其压比不变时，喷嘴的出口流速仅与其压比有关。有关。21pp 在上式中，因在上式中，因p2 p1，有，有1），则在音速截面后部的喷），则在音速截面后部的喷管截面积应该是增大的，这种由渐缩渐扩段组成的喷管称为管截面积应该是增大的，这种由渐缩渐
