1、 导数的综合应用香城中学高二数学备课组香城中学高二数学备课组 唐红梅唐红梅 -利用导数研究方程根的个数问题1资料类f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数 若函数若函数y=f(x)在在 （a,b）内可导，内可导，求函数极值的一般步骤求函数极值的一般步骤（1）确定定义域）确定定义域（2）求导数）求导数f(x)（3）求）求f(x)=0的根的根（4）列表）列表（5）判断）判断(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值；内极值；(2)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b）比较比较,从而确定函数的最值。从而确定函数的最值。复习复习求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的上的最值
2、的步骤：最值的步骤：2资料类例：已知函数例：已知函数 f(x)=x3-3x2+1思考思考1：画出函数的画出函数的草图草图.思考思考2：方程方程x3-3x2+1=0在在R上有几个上有几个根根？思考思考3：方程方程 x3+1=3x2 在（在（0,2）内）内有几个根有几个根？思考思考4：讨论方程讨论方程x3-3x2-a=0(aR)的的根的个数.新课新课思考思考5：若方程若方程x3-3x2-a=0在区间在区间-1,1有一解有一解.思考思考6：若方程若方程x3-3x2-a=0在区间在区间-1,1有两解有两解.思考思考7：若方程若方程x3-3x2-a=0在区间在区间-1,1有解有解.思考思考8：若方程若方
3、程x3-3x2-a=0在区间在区间-2,3有三解有三解.3资料类例：已知函数例：已知函数 f(x)=x3-3x2+1思考思考1：画出函数的草图？画出函数的草图？7654321-1-2-3-4-5-6-6-4-224681012141618yxO新课新课4资料类例：已知函数例：已知函数 f(x)=x3-3x2+1思考思考2：方程方程x3-3x2+1=0在在R上有几个上有几个根根？7654321-1-2-3-4-5-6-6-4-224681012141618yxO新课新课5资料类例：已知函数例：已知函数 f(x)=x3-3x2+1思考思考3：方程方程 x3+1=3x2 在（在（0,2）内）内有几个
4、根有几个根？7654321-1-2-3-4-5-6-6-4-224681012141618yxO新课新课6资料类 方程方程x3-3x2-a=0的的根的个数根的个数新课新课思考思考4 4：函数函数y=x3-3x2-a的的零点个数零点个数.函数函数y=x3-3x2 与直线与直线y=a的的交点个数交点个数.)2(363)(2xxxxxfRx解：易知函数的定义域200)(200)(xxfxxxf令或令）上单调递减在（上单调递增），在（即2,0)(),2(,0)(xfxf7资料类 方程方程x3-3x2-a=0的的根的个数根的个数新课新课思考思考4 4：函数函数f(x)=x3-3x2-a的的零点个数零点个
5、数.函数函数y=x3-3x2 与直线与直线y=a的的交点个数交点个数.4)(2 0)(0极小值极大值时当时当xfxxfx个根方程有或当1,40aa个不相等的实数根时，方程有当304a个不相等的实数根，方程有或当240aa8资料类新课新课思考思考5 5：若方程若方程x3-3x2-a=0在在-1,1-1,1有有解解.9资料类思考思考5 5：新课新课若方程若方程x3-3x2=a在在-1,1有解有解.D|)()(xxfaaxf有解方程有交点的图像与即ayDxxfy),(的值域在即求函数解：由题意得：1,13)(23xxxf)1,0(,0,1)(4）在（知，又由思考xf2)1(,0)0(,4)1(fff
6、又有解时，axfa)(044)1()(0)0()(minmaxfxffxf分析：分析：10资料类若方程若方程x3-3x2=a在在-1,1.思考思考5 5：新课新课有解时，axfa)(04有一解或axfaa)(,024若方程若方程x3-3x2=a在在-1,1若方程若方程x3-3x2=a在在-1,1.有两解axfa)(,02思考思考6 6：思考思考7 7：11资料类若方程若方程x3-3x2-a=0在区间在区间-2,3有三解有三解.新课新课思考思考8 8：0)3(,4)2(,0)0(,20)2(3,22,00,2)(ffffxf）（），（）在（解：易知上有三解时，在区间3,204a12资料类)()(
7、)(3)(123xgxfaxgxxxf方程，讨论与：已知变式的图像的与：试讨论变式 3)()(223axxgxxf根的个数根的个数.交点个数交点个数.变式训练变式训练个不同的的图像有函数的图像与若函数变式31 3:323yaxxy交点交点构造函数构造函数h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x2-a方程方程x3-3x2-a-1=0有有3个不同的根个不同的根13资料类练习练习1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不同的公共点，求实数a的取值范围.2,10762.223内根的个数）在区间（判断方程 xx.2,025)(,)1ln()(:32取值范围的求实数有两个不等的实数根，在区间的
8、方程若关于已知bbxxfxxxxxf14资料类个不同的交点有与函数3)(23ayxxxxf2751)()(axfaxf极大值极小值即：1.若若函数函数f(x)=x3-x2-x与直线与直线y=a有有3 3个不同的个不同的公共点，求实数公共点，求实数a的取值范围的取值范围.练习练习1)(,1275)(,31)1)(13(123)(2极小值极大值当当xfxxfxxxxxxf15资料类.210762223内根的个数，在：方程 xx内有且只有一个实根。，在所以方程又因为上单调递减。，在所以时，当或则若则解：设210762,1)2(,3)1(21)(,0)(212,0,0)(126)(,762)(2322
9、3xxffxfxfxxxxfxxxfxxxf127Oyx练习练习16资料类bxxxbxxfxh23)1ln(25)()(2解：构造函数)1(2)1)(54()(xxxxh）在（即1,0)(,0)(),1,0(xhxhx）在（即2,1)(,0)(),2,1(xhxhx013ln)2(0212ln)1(0)0(bhbhbh由题意得212ln13lnb3：练习练习17资料类思考题思考题.m4)1(,1m)12g(ym,)0(,)(,ln)(.222的取值范围求实数个不同的交点，的图像恰有与使得是否存在实数已知xfyxaaxaxgxxf1 1.已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交
10、点，求实数a的取值范围.18资料类3、注意、注意分类讨论的思想分类讨论的思想、函数与方程的思想函数与方程的思想、数形结合的思想数形结合的思想的应用的应用.2、解这类题的关键是、解这类题的关键是利用导数对函数的单调性，利用导数对函数的单调性，函数的极值讨论函数的极值讨论.1、我们借助于导数探究、我们借助于导数探究方程根的个数方程根的个数、直线与、直线与函数图象交点、两函数图象交点问题都可以函数图象交点、两函数图象交点问题都可以转化转化为函数零点问题为函数零点问题.小结小结19资料类20资料类()yf x()0f x()yf x知识总结知识总结 方程的方程的 根根函数函数 的的零点零点函数函数 的
11、图象与的图象与x轴的轴的交点交点的横坐标的横坐标。1.21资料类函数函数 与与的图象的的图象的交点的横坐标交点的横坐标。()yf x()yg x()()f xg x方程方程 的的根根()()0f xg x方程方程的的根根 的的零点零点()()()h xf xg x2.知识总结知识总结 22资料类23资料类24资料类.m4)1(,1m)12g(ym,)0(,)(,ln)(.222的取值范围求实数个不同的交点，的图像恰有与使得是否存在实数已知xfyxaaxaxgxxf2ln2121)0()(,2ln)1()1()(),0(),0,1()1,0(),1,(1,010)(,10,10)(1)1)(1(12)(21211)(ln21211)(ln222222mgxgggxgxxxgxxxgxxxxxxxxgxxxgxxm极小值极大值）（有四个不同的交点，解：由题意：即2ln2121)0()(,2ln)1()1()(),0(),0,1()1,0(),1,(1,010)(,10,10)(1)1)(1(12)(21211)(ln21211)(ln222222mgxgggxgxxxgxxxgxxxxxxxxgxxxgxxm极小值极大值）（有四个不同的交点，解：由题意：即25资料类
