1、 文科数学（二）试题 B 第 1 页 共 6 页 秘密 启用前 试卷类型： B 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 文科数学 本试卷共 6 页，23 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：注意事项：1 答卷前， 考生务必将自己的姓名和考生号、 试室号、 座位号填写在答题卡上， 用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（B）填涂在答题 卡的相应位置上。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不 能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字
2、笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答 案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的。 1若集合20Axx，01Bxx，则AB A0,2 B0,1 C1,2 D1,2 2已知i为虚数单位，若1 i2iz，则=z A2 B2 C1 D 2 2 3已知角的顶点与坐标原点重
3、合，始边与x轴的非负半轴重合，若点2, 1P在角的 终边上，则tan= A2 B 1 2 C 1 2 D2 4若实数 x，y 满足 2, 330, 0, xy xy y 则2zxy的最小值是 A2 B 5 2 C4 D6 文科数学（二）试题 B 第 2 页 共 6 页 5已知函数 3 1+f xx，若aR，则 =f afa A0 B 3 22a C2 D 3 22a 6若函数( )sin 2f xAx 0 0 2 A ， 的部分图像如图 所示，则下列叙述正确的是 A,0 12 是函数 f x图像的一个对称中心 B函数 f x的图像关于直线 3 x 对称 C函数 f x在区间, 3 3 上单调递
4、增 D函数 f x的图像可由sin2yAx的图像向左平移 6 个单位得到 7 周髀算经中提出了 “方属地，圆属天” ，也就是人们常说的“天圆地方” 我国古代 铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思 想现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形 的边长为a0ar， 若在圆内随机取点， 得到点取自阴影部分 的概率是p，则圆周率的值为 A 2 2 1 a p r B 2 2 1 a p r C 1 a p r D 1 a p r 8在三棱柱 111 ABCABC中，E是棱AB的中点，动点F是侧面 11 ACC A（包括边界） 上一点，若EF平面 11 BCC B，则动点F
5、的轨迹是 A线段 B圆弧 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 9已知函数 2 2 log,1, 1,1, xx f x xx 则 1f xf x的解集为 A1, B1,1 C 1 , 2 D 1 ,1 2 文科数学（二）试题 B 第 3 页 共 6 页 10 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知coscos6bCcB，3c ， 2BC，则cosC的值为 A 3 5 B 3 4 C 3 3 D 3 2 11若关于x的不等式1)22(ln2 2 xaaxx恒成立，则a的最小整数值是 A0 B1 C2 D3 12过双曲线C： 22 22 1 xy ab 0,0ab右焦点 2 F作双曲线
6、一条渐近线的垂线，垂足为 P，与双曲线交于点A，若 22 3F PF A，则双曲线C的渐近线方程为 A2yx B yx C 1 2 yx D 2 5 yx 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题5分分，共，共20分分。 13已知向量, 1ka，4,2 b，若a与b共线，则实数k的值为 14 已知等比数列 n a是单调递增数列， n S为 n a的前n项和， 若 2 4a ， 13 10aa， 则 4 S 15 斜率为 3 3 的直线l过抛物线 2 2ypx0p 的焦点， 若直线l与圆 2 2 24xy 相切，则p 16正四棱锥PABCD的底面边长为2，侧棱长为22过
7、点A作一个与侧棱PC垂直 的平面，则平面被此正四棱锥所截的截面面积为 ，平面将此正四棱锥分 成的两部分体积的比值为 （第一个空（第一个空 2 分，第二个空分，第二个空 3 分）分） 文科数学（二）试题 B 第 4 页 共 6 页 三、解答题三、解答题：共：共 70 分。分。 解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须做答题，每个试题考生都必须做答。第第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。题为选考题，考生根据要求做答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17 （ （12 分）分） 记
8、数列 n a的前n项和为 n S，且2 n Sn n * nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n n n a b 4 ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （ （12 分）分） 如图， 在三棱柱 111 CBAABC 中， 侧面CCBB 11 为菱形， 1 ABAC ， 11 BCBCO （1）求证：ABCB 1 ； （2）若 60 1 CBB，BCAC，三棱锥 1 ABB C的体积为1，且点A在侧面 CCBB 11 上的投影为点O，求三棱锥 1 ABBC的表面积 O B1 C1 A1 C B A 文科数学（二）试题 B 第 5 页 共 6 页 19 （ （12 分）分） 全
9、民健身旨在全面提高国民体质和健康水平， 倡导全民做到每天参加一次以上的健身活 动，学会两种以上健身方法，每年进行一次 体质测定为响应全民健身号召，某单位在 职工体测后就某项健康指数（百分制）随机 抽取了30名职工的体测数据作为样本进行 调查，具体数据如茎叶图所示,其中有1名女 职工的健康指数的数据模糊不清（用x表示） ， 已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2 （1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数； （2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人 中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率； （3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为
10、81，女职工现有数据（即剔除x）健 康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结 果精确到0.1） 20 （ （12 分）分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点2,0A，且离心率为 1 2 （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为k0k 的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂 直平分线过点 1 ,0 8 ，求k的取值范围 21 （ （12 分）分） 已知函数 ( )lnsinf xxx ，记 ( )f x的导函数为( )fx （1）若 1 ( )( )h xaxfx x 是 0,上的单调递增函数，求实数a的取值范围； （2
11、）若 0,2x ，试判断函数 ( )f x的极值点个数，并说明理由 5 6 7 8 9 8 5 156678 0234679 2451 3 5 2 23 44x 0 6 9 男职工女职工 文科数学（二）试题 B 第 6 页 共 6 页 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生分。请考生在在第第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos , 2sin x y （为参数） 以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立
12、极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 4 1 3sin （1）写出曲线 1 C和 2 C的直角坐标方程； （2）已知P为曲线 2 C上的动点，过点P作曲线 1 C的切线，切点为A，求PA的最大 值 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数 122f xxx 的最大值为M，正实数a，b满足abM （1）求 22 2ab的最小值； （2）求证： ab a bab 文科数学（二）答案 第 1 页 共 13 页 绝密 启用前 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 文科数学试题答案及评分参考 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如
13、果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数选择题不给中间分。 一、一、选择题选择题： 二、填空二、填空题题： 132 1430 1512 16 4 3 3 ， 1 2 或或2 三、解答题：三、解答题： 17 （ （1）解：解：因为 2 n Sn n， * nN， 当
14、2n时， 1 11 n Snn 所以 1 21121 nn SSn nnnn 即21 n an（2n） 当1n时， 1 1 33S ，即 1 3a ，符合通项 所以数列 n a的通项公式为21 n an （2）解法解法 1：因为21 n an， 所以 nn n n na b 4 12 4 所以 n n n T 4 12 . 4 7 4 5 4 3 321 ， 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B B C B C A A A C D B C 文科数学（二）答案 第 2 页 共 13 页 则 1432 4 12 . 4 7 4 5 4 3 4 1 n n n
15、 T， ，得 132 4 12 ) 4 1 . 4 1 4 1 (2 4 3 ) 4 1 1 ( nn n n T 所以 1 12 4 12 4 1 1 ) 4 1 1 ( 4 1 2 4 3 4 3 n n n n T 所以 1 311611 4123 4 n n n T 所以 n n n T 49 116 9 11 所以数列 n b的前n项和 n n n T 49 116 9 11 解法解法 2：因为21 n an， 所以 nn n n na b 4 12 4 所以 n n n T 4 12 . 4 7 4 5 4 3 321 ， 则 121 5721 43 444 n n n T ， ，
16、得 121 11121 332 4444 n nn n T 所以 1 11 21 2144 33 1 4 1 4 n n n n T 所以 11611 3 33 4 n n n T 所以 n n n T 49 116 9 11 所以数列 n b的前n项和 n n n T 49 116 9 11 18 （ （1）证明：证明：连接AO， 因为侧面CCBB 11 为菱形，所以 11 BCCB，且O为 1 BC和 1 BC的中点 因为 1 ABAC ，所以 1 AOBC 文科数学（二）答案 第 3 页 共 13 页 因为OBCAO 1 ， 所以 1 BC 平面ABO 因为ABOAB平面， 所以ABCB
17、 1 （2）解：）解：因为点A在侧面CCBB 11 上的投影为点O， 所以 11 AOBBCC平面 因为 60 1 CBB，设 1 2ACBCABa， 所以3AOBOa 因为 1 1 A BB C V ，即 1 1 2331 3 2 aaa 解得1a 在 1 BBC中， 11 2BCBBBC， 所以 1 2 3 23 4 BB C S 同理 1 3 ACB S 在RtAOB中，3AOBO，所以6 22 BOAOAB 在等腰ABC中，2ACBC，6AB ， 所以AB边上的高 2 2 610 2 22 h 所以 11015 6 222 ABC S 同理 1 15 2 ABB S 则三棱锥 1 AB
18、BC的表面积为 15 2322 315 2 所以三棱锥 1 ABBC的表面积为2 315 O B1 C1 A1 C B A 文科数学（二）答案 第 4 页 共 13 页 19解： （解： （1）由茎叶图可知，样本中男职工健康指数的众数为76 中位数为81 2 8280 （2）由分层抽样知，抽取的 5 人中男职工有3 30 18 5人，设为A，B，C； 女职工有2人，设为a，b 从 5 人中随机抽取 2 人的情况有：,A B，,A C，,A a，,A b，,B C，,B a， ,B b，,C a，,C b，, a b，共 10 种 其中这 2 人都是男职工的情况有：,A B，,A C，,B C，
19、共 3 种 设“抽取的 2 人都是男职工”为事件D， 所以所求概率 3 10 P D （3）因为样本中男职工健康指数的平均数为81， 样本中女职工现有数据（即剔除x）健康指数的平均数为69， 所以样本中所有女职工健康指数的平均数为 76.2 3081 18 69 12 则被剔除的女职工的健康指数为69 1269 1169y 即9x 因为样本中女职工现有数据（即剔除x）健康指数的方差为190， 所以样本中所有女职工健康指数的方差为190 11 0 2090 174.2 1212 12 分 【说明：【说明：没有没有求出求出9x不不扣分扣分；利用方差公式计算正确给利用方差公式计算正确给 2 分，其中
20、公式正确给 分，其中公式正确给 1 分，结果给分，结果给 1 分】分】 20 （1）解：解：设椭圆C的焦距为2c， 因为椭圆过点2,0A，所以2a 因为，所以1c 因为 222 abc，所以 222 3bac 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy 文科数学（二）答案 第 5 页 共 13 页 （2） 解法解法 1： 设直线l的方程为ykxm， 直线l与椭圆C交于两点 11 ,M x y， 22 ,N xy， 由 22 1. 43 ykxm xy ， 得 222 3484120kxkmxm 因为 2 22 84 34412kmkm 22 48 430km 所以 22 43mk 因为 12 2
21、 8 43 km xx k ， 所以 1212 2 6 2 43 m yyk xxm k 设线段MN的中点为 1212 , 22 xxyy P ，则有 22 43 , 43 43 kmm P kk 所以线段MN的垂线平分线方程为 22 314 4343 mkm yx kkk 因为线段MN的垂线平分线过点 1 ,0 8 ， 所以 2 43 8 k m k 因为 22 43mk， 所以 2 22 1 4343 8 kk k ，即 2 1 20 k 解得 10 5 10 5 kk或 所以k的取值范围是 55 , 1010 解法解法 2： 设直线l与椭圆C交于两点 11 ,M x y， 22 ,N x
22、y， 它们的中点为 00, y xP， 则 12 0 2 xx x ， 12 0 2 yy y 因为 11 ,M x y， 22 ,N xy都在椭圆C上， 文科数学（二）答案 第 6 页 共 13 页 所以 22 11 1 43 xy 同理 22 22 1 43 xy ，得 12121212 0 43 xxxxyyyy 因为 12 12 yy k xx ， 所以0 3 2 4 2 00 k yx 因为线段MN的垂线平分线过点 1 ,0 8 ， 所以 8 1 1 0 0 x y k 由，解得 0 1 2 x ， 0 3 8 y k 因为 00, y xP在椭圆内，所以1 34 2 0 2 0 y
23、x 所以1 64 3 16 1 2 k 即 20 1 2 k 解得 10 5 10 5 kk或 所以k的取值范围是 55 , 1010 21解： （解： （1）因为( )lnsinf xxx，所以 1 ( )=cosfxx x 所以 11 ( )coscosh xaxxaxx xx ，( )sinh xax 因为( )h x是0 +，上的单调递增函数，所以sin0ax恒成立，即1a 所以实数a的取值范围是1, 文科数学（二）答案 第 7 页 共 13 页 （2）由（1）知 1 ( )=cosfxx x 若0,1x，则( )1 cos0fxx ， 此时函数( )f x单调递增，无极值点 解法解法
24、 1 1：当=1a时，( )cosh xxx 则 1 sin0h xx ，所以 h x在 1, 2 上单调递增， 所以 ( ) 22 h xh ，即 cos 2 xx 所以 11 ( )=cos+20 22 fxxx xx 此时函数( )f x单调递增，无极值点 解解法法 2：若 1, 2 x ，令( )( )g xfx 1 =cosx x ，则 2 1 ( )+sing xx x 设 2 1 +sinxhx x ，则 3 2 +cos0xhx x ，所以 g x在1, 2 上单调递增 【或或由由 2 1 y x 与与sinyx在在 1, 2 上分别单调递增上分别单调递增，所以所以( )g x
25、在在 1, 2 上单调递增上单调递增】 因为 11 sin10 g ， 2 4 1 0 2 g ， 所以存在唯一 0 1, 2 x ，满足 00 2 0 1 () =sin=0g xx x ，即 0 0 1 sin=x x 当 0 1,xx时，( )0g x，( )g x单调递减， 0 , 2 xx 时，( )0g x，( )g x单调递增 则 000000 0 1 ( )()=cossincossincos0g xg xxxxxx x 所以( )( )0g xfx恒成立 此时函数 xf单调递增，无极值点 解解法法 3：先证明当0, 2 x 时，sinxx 设 sinp xxx，则 cos10
26、p xx ， 所以函数 p x在0, 2 上单调递减，所以 00p xp 所以sinxx 若 1, 2 x ，则 12 x ，因为coscos1sin1 2 x 文科数学（二）答案 第 8 页 共 13 页 而 21 sin11 22x 所以 1 ( )=cos0fxx x 此时函数 xf单调递增，无极值点 若 3 , 22 x ，cos0x，则 1 ( )=cosfxx x 0， 此时函数 xf单调递增，无极值点 若 3 ,2 2 x ，令( )( )g xfx 1 =cosx x ， 则 2 1 ( )+sin 0g xx x ，则 xg单调递减 因为 32 0 23 g ， 1 210
27、2 g ， 所以存在唯一 0 3 ,2 2 x ，满足 0 ()=0g x 当 0 3 , 2 xx 时，( )( )0g xfx， xf单调递增， 当 0,2 xx时，( )( )0g xfx， xf单调递减 故 0 x是函数 xf的极大值点 综上可知，函数 xf在0,2上有且仅有 1 个极大值点，无极小值点 补充补充：文科文科 21 题第（题第（2）问将）问将合并讨论，合并讨论，解解法如下：法如下： 当 x0 2 （ ， ）时，设 1 ( )( )cosg xfxx x ， 2 1 ( )sing xx x ， 设 2 1 +sinxhx x ，则 3 2 +cos0xhx x ，所以 g
28、 x在0, 2 上单调递增 【或由【或由 2 1 y x 与与 sinyx 在在 0, 2 上分别单调递增上分别单调递增，所以所以 ( )g x 在在 0, 2 上单调递增上单调递增】 因为(1)0 g ，()0 2 g ， 所以存在 0 (1,) 2 x ，使得 0 ()=0g x，即 00 2 0 1 ()sin=0g xx x （*） 文科数学（二）答案 第 9 页 共 13 页 当 0 (0,)xx时，( )0g x，( )g x单调递减；当 0 () 2 xx ，时，( )0g x，( )g x单 调递增。 所以(0,) 2 x 时， 00 0 1 ( )()cosg xg xx x
29、 。 将（*）变形得 00 0 1 sin=xx x ，代入得 0000 ()sincosg xxxx。 因为 0 (1,) 2 x ，所以 000 sincos,1xx x，从而 0000 ()sincos0g xxxx。 所以(0,) 2 x 时，( )( )0g xfx恒成立，此时( )f x单调递增，( )f x无极值点. 22 （1）解：解：由 cos , 2sin x y ， 得 cos , 2sin . x y 所以曲线 1 C的直角坐标方程为 22 (2)1xy 由 2 2 4 1 3sin 得 2 2 3sin4 因为 222 xy，siny， 所以曲线 2 C的直角坐标方程
30、为 2 2 1 4 x y （2）解法解法 1：因为点P在曲线 2 C： 2 2 1 4 x y上， 所以可设点P的坐标为2cos ,sin 因为曲线 1 C的直角坐标方程为 22 (2)1xy， 所以圆心为 1 0 2C，半径1r 所以 222 2 1 2cossin21PAPCr 2 225 3 sin 33 文科数学（二）答案 第 10 页 共 13 页 当 2 sin 3 时，PA有最大值 5 3 3 所以PA的最大值为 5 3 3 解法解法 2：因为点P在曲线 2 C： 2 2 1 4 x y上， 所以可设点P的坐标为 00 ,xy，其中 2 2 0 0 1 4 x y 因为曲线 1
31、 C的直角坐标方程为 22 (2)1xy， 所以圆心为 1 0 2C，半径1r 所以 22 22 100 21PAPCrxy 2 0 225 3 33 y 因为 0 11y ， 所以当 0 2 3 y 时，PA有最大值 5 3 3 所以PA的最大值为 5 3 3 23 （1）解法解法 1： ( )122f xxx 3,1 31,11 3,1. xx xx xx ， ， 因为函数 f x在,1上单调递增，在1,上单调递减 所以当1x 时， f x取得最大值 2，所以2ab 因为2ab，即2ba， 所以 2 2 222 28 2223 33 abaaa 文科数学（二）答案 第 11 页 共 13
32、页 所以当 2 3 a 时， 22 2ab取得最小值 8 3 解法解法 2：因为122xx111xxx (1)(1)1xxx（当且仅当 1x或1x时取等号） 21x 2（当且仅当1x 时取等号） 所以当且仅当1x 时， f x取得最大值 2，所以2ab 由柯西不等式，得 2 2 22 12 2124 22 ababab 所以 22 8 2 3 ab，当且仅当 2 21 2 2, ab ab ， 即 2 3 4 3 a b ， 时取等号 所以 22 2ab的最小值为 8 3 （2）证明证明 1：因为2ab，0a ，0b， 要证 ab a bab，即证lnlnlnlnaabbab 即证1 ln1
33、ln0aabb 即证 2 1ln10a a 当01a时， 2 11 a ，所以 2 ln10 a ， 因为10a，所以 2 1ln10a a 当1a 时， 2 1ln10a a 当12a时， 2 011 a ，所以 2 ln10 a 文科数学（二）答案 第 12 页 共 13 页 因为10a，所以 2 1ln10a a 综上所述， 2 1ln10a a 成立，即 ab a bab 证明证明 2：因为 2ab ， 0a ， 0b ， 要证 ab a bab ，即证 11 1 ab ab ， 即证 11 (2)1 aa aa 即证 1 2 1 a a a ，即证 1 2 11 a a 当01a时，
34、 2 11 a ，所以函数 2 1 x y a 单调递增 因为10a，所以 1 2 11 a a 当1a 时， 1 2 11 a a 当12a时， 2 011 a ，所以函数 2 1 x y a 单调递减 因为10a，所以 1 2 11 a a 综上所述， 1 2 11 a a 成立，即 ab a bab 证明证明 3：因为2ab，0a ，0b， 要证 ab a bab，即证 2 a b ab a bab 即证 22 1 a ba b ab ab ，即证 22 1 a bb a ab ，即证1 a bb a ab 即证1 a b a b 当0ab时，1 a b ，所以函数 x a y b 单调递减 文科数学（二）答案 第 13 页 共 13 页 因为0ab ，所以1 a b a b 当ab时，1 a b a b 当0ba时，1 a b ，所以函数 x a y b 单调递增 因为0ab，所以1 a b a b 综上所述，1 a b a b 成立即 ab a bab
