1、 如果一非零向量垂直于一平面如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该这向量就叫做该平面的法向量平面的法向量.法向量 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.当平面当平面 上一点上一点 M0(x0,y0,z0)和它的和它的一个法线向量一个法线向量 =(=(A,B,C)为已知时为已知时,平面平面 的位置就完全确定了的位置就完全确定了.唯一确定平面的条件 1.平面的方程平面的方程n5-3 空间中平面与直线的方程空间中平面与直线的方程 设M(x,y,z)是平面上的任一点,则有 因为 n=(A,B,C),平面的点法式方程 00=MMn.),(0000zzyyx
2、xMM=,已知M0(x0,y0,z0)为平面 上一点,n=(A,B,C)为平面的一个法(线)向量.所以 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0.这就是平面 的方程,称为点法式方程点法式方程.(x 2)2(y+3)+3z=0,即即 x 2y+3z 8=0.解 根据平面的点法式方程根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为得所求平面的方程为 过点过点 且法线向量为且法线向量为的平面的方程为的平面的方程为平面的点法式方程 (0000,Mxyz(,nA B C=(0000.A x xB y yC z z+=例1 求过点求过点(2,3,0)且以且以 =(1,2,3)为法线向量的为法线向量的平面的方程
3、平面的方程.n 例2 求过三点求过三点M1(2,1,4)、M2(1,3,2)和和M3(0,2,3)的平的平面的方程面的方程.解 根据平面的点法式方程根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为得所求平面的方程为因为)6,4 ,3(21=MM,14(x 2)+9(y+1)(z 4)=0,即即14x+9y z 15=0.)6,4 ,3(21=MM,)1,3 ,2(31=MM,kjikjin+=9141326433121MMMMkjikjin+=9141326433121MMMM.过点过点 且法线向量为且法线向量为的平面的方程为的平面的方程为平面的点法式方程 (0000,Mxyz(,nA B C=(00
4、00.A x xB y yC z z+=1213nM MM M=1213M MM M n作为平面的法线向量.我们可以用提示：例3 设设P0(x0,y0,z0)是平面是平面Ax+By+Cz+D=0外一点外一点,求求P0到到这平面的距离这平面的距离.解 在平面上任取一点在平面上任取一点P1(x1,y1,z1),222101010|)()()(|CBAzzCyyBxxA+=222111000|)(|CBACzByAxCzByAx+=222000|CBADCzByAx+=),(1222CBACBAn+=e,),(10101001zzyyxxPP=.则则P0到这平面的距离为到这平面的距离为 222111
5、000|)(|CBACzByAxCzByAx+=222000|CBADCzByAx+=.设设 是平面的单位法线向量是平面的单位法线向量.ne10ndPP e=例4 求点求点(2,1,1)到平面到平面 x+y z+1=0的距离的距离.点点P0(x0,y0,z0)到平面到平面Ax+By+Cz+D=0距离距离:解 222000|CBADCzByAxd+=.222000|CBADCzByAxd+=222)1(11|11)1(1121|+=333=.由于平面的点法式方程是由于平面的点法式方程是x,y,z的一次方程的一次方程,而任一平面而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定都可以用它上面的一点
6、及它的法线向量来确定,所以任一平所以任一平面都可以用三元一次方程来表示面都可以用三元一次方程来表示.反过来反过来,可以证明可以证明任一三元一次方程任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的的图形总是一个平面图形总是一个平面.方程方程Ax+By+Cz+D=0称称为平面的一般方程为平面的一般方程,其法线向量其法线向量为为 例如,方程方程3x 4y+z 9=0表示一个平面表示一个平面,平面的一个法线平面的一个法线向量为向量为 (,)nA B C=平面的一般式方程平面的一般式方程(3,4,1)n=平面的三点式方程平面的三点式方程1112121213131310.x xy yz zxxyyzzxxyyz
7、z=已知不在同一直线上的三点已知不在同一直线上的三点(111122223333,P x y zP x y zP x y z 13P P 12PP 与与 不共线不共线,即即1 21 30,PPPP 以以 作为所求平面的法向量作为所求平面的法向量.121 3PPPP 设设 是平面上任一点是平面上任一点,显然显然 垂直于垂直于(,P x y z1PP121 3PPPP (112130.PPPPPP=此混合积的坐标此混合积的坐标形式为形式为:例5 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c),求此平面的方程(a0,b0,c0).将其代入所设方程,得 解 由此得
8、 aDA=,bDB=,cDC=.因为点P、Q、R都在这平面上,所以它们的坐标都满足所设方程,即有 aA+D=0,bB+D=0,cC+D=0,设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0.0=+DzcDybDxaD,即0=+DzcDybDxaD 即1=+czbyax.上述方程叫做平面的截距式方程平面的截距式方程,而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距截距.平面方程平面方程ByCz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0 法线向量法线向量 法线向量垂直于法线向量垂直于 平面平行于平面平行于 x轴y轴z轴xOy平面yOz平面zOx平面n=(0,B
9、,C)n=(A,0,C)n=(A,B,0)n=(0,0,C)n=(A,0,0)n=(0,B,0)x轴y轴z轴x轴和y轴y轴和z轴x轴和z轴讨论：1.填写下表:D=0,平面过原点平面过原点.2.平面平面Ax+By+Cz=0有什么特点？有什么特点？平面的一般方程为平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为其法线向量为 =(A,B,C).n方程方程缺少?坐标此面此面/?轴提示：平面通过平面通过x轴轴,表明表明A=0(它的它的法线向量垂直于法线向量垂直于x轴轴)且且D=0(它通过原点它通过原点.可设此平面的方程为可设此平面的方程为 By+Cz=0.又因为此平面通过点又因为此平面通过点(4,
10、3,1),所以有所以有 3B C=0.将将C=3B代入所设方程代入所设方程,得得 By 3Bz=0.于是所求的平面方程为于是所求的平面方程为 y 3z=0.例6 求通过求通过x轴和点轴和点(4,3,1)的平面的方程的平面的方程.解 平面的一般方程为平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为其法线向量为 =(A,B,C).n两平面的夹角 设平面设平面 1和和 2的法线向量分别为的法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),那么平面那么平面 1和和 2的夹角的夹角 应满足应满足22222221212121212121|),cos(|cosCBACBACCBB
11、AA+=nn.两平面的法向量的夹角两平面的法向量的夹角(通常指锐角通常指锐角)称为两平面的夹角称为两平面的夹角.例7 求两平面求两平面 x y+2z 6=0和和2x+y+z 5=0的夹角的夹角.平面平面A1x+B1y+C1z+D1=0和和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦夹角的余弦:n1=(1,1,2),n2=(2,1,1).因为因为 解 222222212121212121|cosCBACBACCBBAA+=.222222212121212121|cosCBACBACCBBAA+=211122)1(1|121)1(21|222222=+=,所以,所求夹角为3=.平面平面A1x+B1y
12、+C1z+D1=0和和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直互相垂直的充要条件是的充要条件是 A1A2+B1B2+C1C2=0.两平面垂直的条件 两平面平行的条件 平面平面A1x+B1y+C1z+D1=0和和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行互相平行的充要条件是的充要条件是 A1:A2=B1:B2=C1:C2.平面平面A1x+B1y+C1z+D1=0和和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦夹角的余弦:222222212121212121|cosCBACBACCBBAA+=.例8 一平面通过两点一平面通过两点M1(1,1,1)和和M2(0,1,1)且垂直于平且垂直于平面面 x+y+
13、z=0,求它的方程求它的方程.设所求平面的法线向量为设所求平面的法线向量为n=(A,B,C).因为因为M1和和M2在所求平面上在所求平面上,所以所以n n1,即即 A 2C=0,A=2C.又因为所求平面垂直于平面又因为所求平面垂直于平面x+y+z=0,所以所以n n2,即即 A+B+C=0,B=C.由点法式方程由点法式方程,所求平面为所求平面为 2C(x 1)+C(y 1)+C(z 1)=0,即即 2x y z=0.从点从点M1到点到点M2的向量为的向量为n1=(1,0,2),平面平面x+y+z=0的法线向量为的法线向量为n2=(1,1,1).解 方法一：所求平面的法线向量所求平面的法线向量n
14、可取为可取为n1 n2.因为因为所以所求平面方程为所以所求平面方程为 2(x 1)(y 1)(z 1)=0,即即 2x y z=0.例8 一平面通过两点一平面通过两点M1(1,1,1)和和M2(0,1,1)且垂直于平且垂直于平面面 x+y+z=0,求它的方程求它的方程.从点从点M1到点到点M2的向量为的向量为n1=(1,0,2),平面平面x+y+z=0的法线向量为的法线向量为n2=(1,1,1).解 方法二：kjikjinnn=2 111 201 21kjikjinnn=2 111 201 21kjikjinnn=2 111 201 21,分析：点点M在直线在直线L上上点点M同时在这两个平面上
15、同时在这两个平面上,点点M的坐标同时满足这两个平面的方程的坐标同时满足这两个平面的方程.2.直线方程 空间直线可以看作是两个平面的交线空间直线可以看作是两个平面的交线.设直线设直线L是平面是平面 1和和 2的交线的交线,平面的方程分别为平面的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0和和A2x+B2y+C2z+D2=0,这就是这就是空间直线的一般方程空间直线的一般方程.=+=+0022221111DzCyBxADzCyBxA 来表示来表示.那么直线那么直线L可以用方程组可以用方程组 如果一个非零向量平行于一条已知直线如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量这个向量就叫做这条直线的方向向量
16、就叫做这条直线的方向向量.方向向量方向向量 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.当直线当直线L上一点上一点M0(x0,y0,z0)和它的和它的一方向向量一方向向量s=(m,n,p)为已知时为已知时,直线直线L的位置就完全确定了的位置就完全确定了.确定直线的条件 若已知一条直线的一般方程若已知一条直线的一般方程111122220,0,AxB yC zDA xB yC zD+=+=(12111222,.nnnA B CABC=则此则此直线的方向向量直线的方向向量 为为n例例9 求通过点求通过点M0(x0,y0,z0),方向向量为方向向量为s=(m,n,p)
17、的直线的的直线的 (x x0,y y0,z z0)/s,从而有从而有这这就是直线的方程就是直线的方程,叫做直线的叫做直线的对称式方程对称式方程或或标准方程标准方程.pzznyymxx000=.直线的任一方向向量直线的任一方向向量s的坐标的坐标m、n、p叫做这直线的一叫做这直线的一组组方向数方向数.向量向量s的方向余弦叫做该直线的的方向余弦叫做该直线的方向余弦方向余弦.则从则从M0到到M的向量平行于方向向量的向量平行于方向向量:设设M(x,y,z)为直线上的任一点为直线上的任一点,方程方程.通过点通过点M0(x0,y0,z0),方向向量为方向向量为s=(m,n,p)的直线方程的直线方程:设pzz
18、nyymxx000=t,得方程组+=+=+=ptzzntyymtxx000.此方程组就是此方程组就是直线的参数方程直线的参数方程.pzznyymxx000=.=t,得方程组 上页下页铃结束返回首页提示：先求直线上的一点,再求这直线的方向向量s.提示：当 x=1 时,有=+=+232zyzy,此方程组的解为 y=2,z=0.提示：kjikjikjikjis34 312 111)32()(=+=.提示：令tzyx=+=31241,有 x=1+4t,y=2t,z=3t.于是于是(1,2,0)是直线上的一点是直线上的一点.在直线的一般方程中在直线的一般方程中令令x=1,解 以平面以平面x+y+z=1和
19、和2x y+3z=4的法线向量的向量积作为的法线向量的向量积作为直线的方向向量直线的方向向量 s:=4i j 3k.s=(i+j+k)(2i j+3k)可得可得y=2,z=0.所给直线的对称式方程为所给直线的对称式方程为 例10 1 用对称式方程及参数方程表示直线=+=+4321zyxzyx.31241=+=zyx.所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为 x=1+4t,y=2 t,z=3t.上页下页铃结束返回首页例11求点求点 P 到直线到直线 L的距离的距离 及及 P 在在 L上的投影上的投影Q.dLPM解解MQl=(lPMMQ=+(lPMl=+2l PMl=+2l MPl=QMrrMQ=+2Ml MPrll=+(sin,lMPl MPl MP=l d=.lMPdl=Qd0l PQ=平面束方程平面束方程111122220,0,AxB yC zDA xB yC zD+=+=:L通过直线通过直线的平面束可表为的平面束可表为(11111222220,AxB yCzDA xB yC zD+=其中其中 为不同时为零的任意常数为不同时为零的任意常数.12,P256.11
