1、 5-3 函数矩阵与矩阵微分方程函数矩阵与矩阵微分方程 定义：定义：以实变量以实变量 的函数为元素的矩阵的函数为元素的矩阵 111212122212()()()()()()()()()()nnmmmnaxaxaxaxaxaxA xaxaxaxx称为函数矩阵，其中所有的元素称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间都是定义在闭区间 上的实函数。上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。全相同。例：例：已知已知(),1,2,;1,2,ijaxim jn,a b1sin1c
2、os,11xxxxxxABexex计算计算定义：定义：设设 为一个为一个 阶函数矩阵，如果阶函数矩阵，如果存在存在 阶函数矩阵阶函数矩阵 使得对于任何使得对于任何 都有都有那么我们称那么我们称 在区间在区间 上是上是可逆的可逆的。,2()TxAB AB AABn()B x,xa bn()()()()A x B xB x A xI()A x,a b()A x称称 是是 的逆矩阵，一般记为的逆矩阵，一般记为例例：已知已知，那么，那么 在区间在区间 上是可逆的，其上是可逆的，其逆为逆为()B x()A x1()Ax11()0 xxA xe()A x1()10 xxxxeAxe3,5函数矩阵可逆的充分
3、必要条件函数矩阵可逆的充分必要条件定理定理:n 阶矩阵阶矩阵 在区间在区间 上可逆上可逆的充分必要条件是的充分必要条件是 在在 上处处不上处处不为零，并且为零，并且，其中，其中 为矩阵为矩阵 的伴随矩阵。的伴随矩阵。定义：定义：区间区间 上的上的 型矩阵函数不型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为恒等于零的子式的最高阶数称为 的的秩秩。mn()A x,a b()A x,a b1*1()()()AxA xA x*()A x()A x,a b()A x特别地，设特别地，设 为区间为区间 上的上的 阶矩阵阶矩阵函数，如果函数，如果 的秩为的秩为 ，则称，则称 一个一个满秩矩阵满秩矩阵。注意：对于注
4、意：对于n阶函数矩阵而言，满秩与可逆阶函数矩阵而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。是满秩的却不一定是可逆的。例例 ：已知已知()A x,a bn()A xn()A x201()A xxx那么那么 。于是。于是 在任何区间在任何区间 上的秩都是上的秩都是2。即。即 是满秩的。但是满秩的。但是是 在在 上是否可逆，完全依赖于上是否可逆，完全依赖于 的取值。当区间的取值。当区间 包含有原点时，包含有原点时，在在 上有零点，从而上有零点，从而 是不是不可逆的可逆的。定义：定义：如果如果 的所有各元的所有各元素素 在在 处
5、有极限，即处有极限，即()A xx()A x,a b()A x()A x,a b,a b,a b()A x,a b()A x()()ijm nA xax()ijax0 xx0lim()(1,;1,)ijijxxaxaim jn其中其中 为固定常数。则称为固定常数。则称 在在 处处有有极限极限，且记为，且记为其中其中ija0 xx0lim()xxA xA111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa()A x如果如果 的各元素的各元素 在在 处连续，处连续，即即则称则称 在在 处处连续连续，且记为，且记为其中其中()A x()ijax0 xx00lim()()(1,;1,)ijijxx
6、axaxim jn()A x0 xx00lim()()xxA xA x1101201021022020010200()()()()()()()()()()nnmmmnaxaxaxaxaxaxA xaxaxax容易验证下面的等式是成立的：容易验证下面的等式是成立的：设设则则00lim(),lim()xxxxA xAB xB0(1)lim()()xxA xB xAB00(2)lim()(3)lim()()xxxxkA xkAA x B xAB定义：定义：如果如果 的所有各元素的所有各元素 在点在点 处处(或在区间或在区间 上上)可导，便称此函数矩阵可导，便称此函数矩阵 在点在点 处处(或在区间或在
7、区间 上上)可导可导，并且记为并且记为()()ijm nA xax()(1,;1,)ijax im jn0 xx,a b()A x0 xx,a b00000110120102102202010200d()()()()limd()()()()()()()()()xx xnnmmmnA xA xxA xA xxxaxaxaxaxaxaxaxaxax 函数矩阵的导数运算有下列性质：函数矩阵的导数运算有下列性质：(1)是常数矩阵的充分必要条件是是常数矩阵的充分必要条件是(2)设设均可导，则均可导，则 ()A xd()0dA xx()(),()()ijm nijm nA xaxB xb xdd()d()
8、()()dddA xB xA xB xxxxdd()d()()()()()dddk xA xk x A xA xk xxxx(3)设设 是是 的纯量函数，的纯量函数，是函数矩是函数矩阵，阵，与与 均可导，则均可导，则特别地，当特别地，当 是常数是常数 时有时有()k xx()A x()k x()A x()k xkdd()()ddA xkA xkxx(4)设设 均可导，且均可导，且 与与 是是可乘的，则可乘的，则因为矩阵没有交换律，所以因为矩阵没有交换律，所以(),()A x B x()A x()B xdd()d()()()()()dddA xB xA x B xB xA xxxx232dd()
9、()2()dddd()()3()ddA xAxA xxxA xA xAxxx(5)如果如果 与与 均可导，则均可导，则(6)设设 为函数矩阵，为函数矩阵，是是 的纯量的纯量函数，函数，与与 均可导，则均可导，则()A x1()Ax111d()d()()()ddAxA xAxAxxx()A x()xf tt()A x()f tdd()d()()()()dddA xA xA xf tf txxx定义：定义：如果函数矩阵如果函数矩阵 的的所有各元素所有各元素 在在 上可积，则称上可积，则称 在在 上上可积可积，且且()()ijm nA xax()(1,;1,)ijax im jn,a b()A x,
10、a b111212122212()d()d()d()d()d()d()d()d()d()dbbbnaaabbbbnaaaabbbmmmnaaaaxxaxxaxxaxxaxxaxxA xxaxxaxxaxx()d()d()()d()d()dbbaabbbaaakA xxkA xxkRA xB xxA xxB xx函数矩阵的定积分具有如下性质：函数矩阵的定积分具有如下性质：例例 1：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算21()0 xA xx23231(1)(),(),()(2)()(3)()dddA xA xA xdxdxdxdA xdxdAxdx证明：证明：02()10 xdA xdx220()
11、00 xdA xdx由于由于 ，所以，所以下面求下面求 。由伴随矩阵公式可得。由伴随矩阵公式可得 3300()00dA xdx3()A xx 2()3dA xxdx 1()Ax1*23231()()()1001111AxA xA xxxxxxx 再求再求1()dAxdx213410()23dxAxdxx例例 2：已知函数矩阵已知函数矩阵23sincossin()10 xxxxxA xexxx试求试求022(1)lim()d(2)()dd(3)()dd(4)()dd(5)()dxA xA xxA xxA xxA xx例例 3：已知函数矩阵已知函数矩阵试求试求证明：证明：sincos()cossi
12、nxxA xxx200(),()xxA x dxA x dx00000sincos()cossin1cossinsin1cosxxxxxxdxxdxA x dxxdxxdxxxxx同样可以求得同样可以求得222220sincos()2cossinxxxA x dxxxx例例 4：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算22()20300 xxxxexexA xeex3100(),()xA x dxA x dx定义：定义：设有定义在区间设有定义在区间 上的上的 个连续的个连续的函数向量函数向量如果存在一组不全为零的常实数如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的使得对于所有的 等式等式成立，我们称，
13、在成立，我们称，在 上上 ,a bm12()(),(),()(1,2,)iiiinxax axaxim12,mk kk,xa b1122()()()0mmkxkxkx,a b12(),(),()mxxx线性相关线性相关。12(),(),()mxxx否则就说否则就说 线性无关。线性无关。即如果只有在即如果只有在 等式才成等式才成立，那么就说立，那么就说 线性无关线性无关。定义：定义：设设 是是 个定义个定义在区间在区间 上的连续函数向量上的连续函数向量记记120mkkk12(),(),()mxxx12(),(),()mxxxm,a b12()(),(),()(1,2,)iiiinxax axax
14、im()()d(,1,2,)bTijijagxxxi jm以以 为元素的常数矩阵为元素的常数矩阵称为称为 的的Gram矩阵矩阵，称为称为Gram行列式行列式。定理：定理：定义在区间定义在区间 上的连续函数向量上的连续函数向量 线性无关的充要条件线性无关的充要条件是它的是它的Gram矩阵为满秩矩阵。矩阵为满秩矩阵。ijg()ijm nGg12(),(),()mxxxdetG,a b12(),(),()mxxx12()(0,),()(,0)xxxx例例：设设则则于是于是 的的Gram矩阵为矩阵为233111221233221d()301d()3babagxxbagggxxba12(),()xx33
15、331()0310()3baGba所以所以故当故当 时，时，在在 上是线性无关的。上是线性无关的。33 21det()9Gba12det0,(),()Gxxab,a b定义：定义：设设 是是 个定义在区间个定义在区间 上的上的 有有 阶导数的函数向量，记阶导数的函数向量，记那么称矩阵那么称矩阵12()(),(),()iiiinxax axax(1,2,)imm1m ,a b11112122122212()()()()()()()()()()()()()nnmmmmnxaxaxaxxaxaxaxA xxaxaxax(1)111212122212(1)(1)(1)11121(1)(1)(1)212
16、22(1)(1)12()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()mm mnnnmmmnmmmnmmmnmmmmW xA x A xAxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1)()mmnx是是 的的Wronski矩阵。矩阵。12(),(),()mxxx(1)(),(),()mA xA xAx其中其中 分别是分别是 的一阶，二阶，的一阶，二阶，阶导数矩阵。阶导数矩阵。定理：定理：设设 是是 的的Wronski矩阵。如果在区间矩阵。如果在区间 上的某个点上的某个点 ，常数矩阵，常数矩阵 的秩等于的秩等于 ，则，则向量向量 在
17、在 上线性上线性无关。无关。()A x1m()W x12(),(),()mxxx0,xa b0()W xm12(),(),()mxxx,a b,a b例例：设设则则因为因为 的秩为的秩为2，所以，所以 与与 线性线性无关。无关。212()(1,),()(,1,)xxx xxex221()1012()011012()101xxxxxxA xexxA xexxxW xexe0()W x1()x2()x小结：一、一元函数矩阵的微积分小结：一、一元函数矩阵的微积分 设有设有 。称。称，如果其每个元素，如果其每个元素 都是都是可微函数，且可微函数，且为为()()m ni jA tat C C()A t(
18、)i jat()()()i jdA tA tatd t 设有函数矩阵设有函数矩阵 。称。称微分为满足下式的矩阵微分为满足下式的矩阵 ：()()m ni jA tat C C()A t()A t 联想到普通函数联想到普通函数 的微分的微分 也满足下式：也满足下式：()f t()ft()()()0(0)f thf tfthh()()()0(0)A thA tA thh(1)()()()()dddA tB tA tB td td td t 设设 和和 都是可微矩阵，则都是可微矩阵，则()A t()B t(2)()()()()()()dddA tB tA tB tA tB td td td t 111
19、(4)()()()()ddAtAtA tAtd td t 这里这里 为可微矩阵。为可微矩阵。1()At(3)(),()(),()(),()dddx ty tx ty tx ty td td td t 遗憾的是，链氏法则对矩阵值函数并不成立。遗憾的是，链氏法则对矩阵值函数并不成立。例如对矩阵多项式函数例如对矩阵多项式函数 显然显然2(),p AA 2()()()()()2()()ddddA tA tA tA tA tA tA tdtdtdtdt 上式中，要使法则成立，显然需要上式中，要使法则成立，显然需要补充条件补充条件()()()()ddA tA tA tA tdtdt 如此，对如此，对多项式
20、函数多项式函数 ，才能成立链式法，才能成立链式法则则()p a()()().ddAp AA tdtdtp 设有函数矩阵设有函数矩阵 。称。称，如果其每个元素，如果其每个元素 都是二阶可微函数，且都是二阶可微函数，且为为()()m ni jA tat C C()A t()i jat()()()i jdA tA tatd t一般地，不难给出矩阵的高阶导数。一般地，不难给出矩阵的高阶导数。()()bbi jaaA t d tat d t 设有函数矩阵设有函数矩阵 。称。称，如果其每个元素，如果其每个元素 都在都在 上可积，且上可积，且为为()()m ni jA tat C C()A t()i jat
21、,a b,a b(1)()()()()bbbaaaA tB td tA t d tB t d t 容易验证矩阵积分具有下列性质：容易验证矩阵积分具有下列性质：(2)()()bbaaP A tQdtPA t dt Q 这里这里 为常量矩阵。为常量矩阵。PQ、设设 和和 都在都在 上可积，则上可积，则()A t()B t,a b()()tadA s dsdtAt 设设 在在 上连续，则成立上连续，则成立微积分微积分基本定理基本定理：()A t,a b()()()baAt dAAbta 设设 在在 上连续，则成立牛顿上连续，则成立牛顿-莱布尼兹公式：莱布尼兹公式：()A t ,a b 矩阵矩阵 为任
22、意常量方阵，证明为任意常量方阵，证明A(1)AtAtAtdeAeeAd t (2)cos(sin)(sin)dAtAAtAt Ad t (3)sin(cos)(cos)dAtAAtAt Ad t 已知已知 (1)求矩阵求矩阵 ;(2)求求 。Asin23sin5sin2sin()sin()3sin2sin5sin2sinttttf AtAttttt ()baf At dt 2cos23cos10cos2coscos()6cos2cos10cos2costtttAAttttt 注意到注意到 时，时，因此，因此 cos()cosAtOI 0t 59cos.511AAO （1 1）两边对两边对 求导
23、，得求导，得t(sin23sin)(5sin2sin)()(3sin2sin)(5sin2sin)bbbaabbaaatt dttt dtf At dttt dttt dt （1 1）各元素分别）各元素分别对对 求定积分，得求定积分，得t(coscos)(coscos3)(coscos)(5cos5cos1)(coscos)(3cos3cos1)(coscos)(5cos5cos1)abababababababab%ex603.m syms t%函数矩阵SS=sin(2*t)+3*sin(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-sin(t)5*sin(2*t)+sin(t
24、);DS=diff(S,t)%调用内置函数diff求S对t的导数ans=2*cos(2*t)+3*cos(t),10*cos(2*t)-cos(t)6*cos(2*t)-cos(t),10*cos(2*t)+cos(t)%ex603.m（续）（续）syms t%函数矩阵SS=sin(2*t)+3*sin(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-sin(t)5*sin(2*t)+sin(t);syms a b%声明符号变量a，bIS=int(S，t，a,b)%调用内置函数int对S从a到b求定积分IS=(cos(a)-cos(b)*(cos(a)+cos(b)+3),(co
25、s(a)-cos(b)*(5*cos(a)+5*cos(b)-1)(cos(a)-cos(b)*(3*cos(a)+3*cos(b)-1),(cos(a)-cos(b)*(5*cos(a)+5*cos(b)+1)设矩阵设矩阵 ，证明，证明()()n ni jA tat C C()().trtddA tA td td tr 因为因为矩阵的迹是线性函数矩阵的迹是线性函数，即，即()(),()()().tr kAktr A tr A Btr Atr B 例例11说明对函数矩阵说明对函数矩阵A(t)而言，而言，求导和求导和A(t)的线的线性函数性函数l(A(t)可以交换运算次序可以交换运算次序，即，即
26、()().llddAtAtdtdt 二、函数对向量的微分二、函数对向量的微分12()()()()(),Txndf xf xf xf xf xdxxxx 设有多元函数设有多元函数 。定义定义为向量为向量1(,)(),nnf xxf x x C C()f xx显然，梯度的各分量给出了标量函数在该分量上显然，梯度的各分量给出了标量函数在该分量上的变化率，从而指出了此函数的的变化率，从而指出了此函数的最大增长率最大增长率。对双线性型对双线性型有有()Tdf xA ydx 11()nnijiTji jf xx yy Axa()df xAxd y 特别地，有特别地，有()()TTd a xd x aadx
27、dx 对二次型对二次型 ，有，有 11()nnTi jijijf xx Axa x x ()()Tdf xAAxdx()2df xAxdx 特别地，当特别地，当 对称对称时，有时，有A1()2TTf xx Axb xc有有()df xAxbdx当当 对称时，对对称时，对A因此求二次函数因此求二次函数 的极值问题转化为求方的极值问题转化为求方程组程组 的解，即二次函数的解，即二次函数 的稳的稳定定(Stationary)点是可能的极值点。点是可能的极值点。()f xAxb()f x%ex604.msyms x1 x2 a b c d x=x1;x2,y=y1;y2z=y1 y2;%引入z的目的是
28、简化结果，同理引入ATA=a b;c d;AT=a c;b d;f=z*A*x;R1=jacobian(f,x)%调用内置函数jacobian求f对x的导数AT*yR1=a*y1+c*y2,b*y1+d*y2 ans=a*y1+c*y2 b*y1+d*y2理论结果是列向量，理论结果是列向量，但显示为但显示为行向量行向量%ex604.m（续）（续）syms x1 x2 a b c d x=x1;x2,y=y1;y2z=y1 y2;%引入z的目的是简化结果，同理引入ATA=a b;c d;AT=a c;b df=z*A*x;R2=jacobian(f,y)%调用内置函数jacobian求f对y的导
29、数A*xR2=a*x1+b*x2,c*x1+d*x2 ans=a*x1+b*x2 c*x1+d*x2理论结果是列向量，理论结果是列向量，但显示为但显示为行向量行向量%ex604.m（续）（续）syms x1 x2 a b c d x=x1;x2；z=x1 x2;%引入z的目的是简化结果，同理引入ATA=a b;c d;AT=a c;b df=z*A*x;R3=jacobian(f,x)%调用内置函数jacobian求f对x的导数(A+AT)*xR3=2*a*x1+b*x2+c*x2,b*x1+c*x1+2*d*x2 ans=2*a*x1+x2*(b+c)2*d*x2+x1*(b+c)理论结果是
30、列向量，理论结果是列向量，但显示为但显示为行向量行向量12()()()()(),TxTndf xf xf xf xf xdxxxx 设有多元函数设有多元函数 。定义定义为为行向量行向量1(,)(),nnf xxf x x C C()f xTx1()()()(),xnTdF xF xF xF xdxxx 1111()()()()nmnmfxfxxxfxmfxnxx 为为Jacobi矩阵矩阵（行对列行对列）1()(),()mF xf xfx x将梯度推广到将梯度推广到，我们有，我们有1()()()(),TTnxdF xF xF xF xdxxx 为为Jacobi矩阵矩阵（列对行列对行）1()(),
31、()TmF xf xfx Tx1111()()()()mnnmfxfxxxfxfxmnxx 1111()()()()nnmmfxfxxxfxfxxx 特别地，当特别地，当 时，有时，有mn 1212(,)()det(,)nnffffxxxxx 对对 ，有有12(),Tnf xxxxxTdxIdx 对对 ，有有()Tf xx A().Td x AAdx 都是行对列都是行对列 推广例推广例13的结论。对的结论。对()()()Tf xy xAz x 有有()()()()()TTTdf xd y xd z xAz xA y xdxdxdx （二重积分的坐标变换二重积分的坐标变换）cos,sinxryr
32、 直角坐标系下的二重积分直角坐标系下的二重积分(,)xyDf x y dxdy 变成相应的极坐标下的二重积分变成相应的极坐标下的二重积分经过变换经过变换(,(cos,sin)(,)rDx yf rrdrrd 多元函数多元函数 为为Hessian矩阵矩阵1(,)(),nnf xxf x x C Cx22()()()TTxfxfxfxxxxx 221121221()()()()()nnnnnijnfxfxxxxxfxfxxxxfxxxx 1()2TTf xx Axb xc其其Hessian矩阵为矩阵为22()().xTf xf xAx x 当当 对称时，对对称时，对A如果矩阵如果矩阵 还是正定的，
33、并且存在还是正定的，并且存在 ，使，使得得 ，则由，则由 可知可知 是二次函数的局部极小点。是二次函数的局部极小点。A*x*()0f xAxb 2*()0 xf xA*x%ex605.msyms x1 x2 a b c d x=x1;x2,z=x1 x2;%引入z的目的是简化结果R1=jacobian(z,x)%调用内置函数jacobian求x对x的导数A=a b;c d;R2=jacobian(z*A,x)%调用内置函数jacobian求xA对x的导数R1=1,0 0,1R2=a,c b,d都是行向量对列向量，都是行向量对列向量，返回的是返回的是Jacobi矩阵矩阵%ex605.m（续）（续
34、）syms x1 x2 a b c d b1 b2 x=x1;x2;z=x1 x2;A=a b;b d;%A是对称矩阵B=b1;b2,BT=b1 b2;f=(1/2)*z*A*x-BT*x+c%二次泛函 fR3=jacobian(f,x)%R3是列向量%列向量对行向量，这里返回的Jacobi矩阵是二次泛%函的Hessian矩阵，即对称矩阵AH=jacobian(R3,z)R3=a*x1-b1+b*x2,b*x1-b2+d*x2 H=a,b b,d实际应用中经常要考虑诸如矩阵的迹、矩阵的实际应用中经常要考虑诸如矩阵的迹、矩阵的行列式行列式等矩阵标量函数与矩阵元素值变化之间等矩阵标量函数与矩阵元素
35、值变化之间的关系的关系，比如，比如扰动分析扰动分析中某个矩阵元素值的变中某个矩阵元素值的变化对矩阵的迹的影响等。化对矩阵的迹的影响等。矩阵标量函数显然可矩阵标量函数显然可理解为理解为 元的函数元的函数，即，即m n因此有必要将梯度推广到因此有必要将梯度推广到1112121()(,)nmnf Af a aaaa 三、矩阵标量函数对矩阵的微分三、矩阵标量函数对矩阵的微分 设有矩阵标量函数设有矩阵标量函数 。为为梯度梯度矩阵矩阵(),m nf A A C C()f AA1111()()()()()(inm njmfAfAaadfAdAfAffAaAaa 对双线性型对双线性型有有()Tdf Ax yd
36、A 11()nnijiTji jf Ax yx A ya 对矩阵的迹对矩阵的迹有有()df AIdA()()f Atr A 因此因此()Tdf ABdA 对矩阵乘积的迹对矩阵乘积的迹有有11()i jjimnijji jjiidf AdAa bba 11()()i jmnijjif Atr Aa bB四、矩阵对矩阵的微分四、矩阵对矩阵的微分1111()()()()()()nk lmm nFAFAaadFAFAdAaFAFAaa 设设 的元素的元素 都是矩阵标量函数。矩阵都是矩阵标量函数。矩阵指的是指的是 矩阵矩阵()(),m ni jp qF AfAA C C()F AA()i jfAmp n
37、q 其中其中1111()()()()()qklklklppqklklfAfAaaF AafAfAaa 已知已知 ，设，设 ，求，求2 3()i jAx 123(,)Ta a a ()(),.Td Ad Ad Ad A 因为因为331211(),TkkkkkkAx ax a 311321kkkkkkx aAx a 1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnnnndxa t x ta t x ta t x tf tdtdxa t x ta t x ta t x tf tdtdxa t x ta t
38、 x ta t x tf tdt 的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式向量以后可以表示成如下形式其中其中()()()()dx tA t x tf tdt1112121222121212()()()()()()()()()()()(),(),()()(),(),()nnnnnnTnTnatatatatatatA tatatatx tx tx tx tf tf tf tft上述方程组的初始条件为上述方程组的初始条件为可以表示成可以表示成定理：定理：设设 是一个是一个 阶常数矩阵，则微分阶常数矩阵，则微分方程组方程组满足初始条件满足初始条
39、件 的解为的解为1010202000(),(),()nnx txx txx tx010200(),Tnx txxxAn()()dx tAx tdt00()x tx0()0A t txex定理：定理：设设 是一个是一个 阶常数矩阵，则微分方阶常数矩阵，则微分方程组程组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为例例 1：设设An()()()dx tAx tf tdt00()x tx000()()0()tA t tA t ttxexefd126103114A 求微分方程组求微分方程组 满足初始条满足初始条件件 的解。的解。解：解：首先计算出矩阵函数首先计算出矩阵函数()()dx tAx tdt(0)1
40、1 1Tx(1 2)26(1)3(1 3)tttAtttttttt eteteetet etetetet e由前面的定理可知微分方程组由前面的定理可知微分方程组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为()()dx tAx tdt(0)1 1 1Tx(0)(1 2)(1)(1)TAttttxe xt et et e例例 2：设设126103,()0114tteAf te 求微分方程组求微分方程组 满足初始满足初始条件条件 的解。的解。解：解：由上述定理可知满足所给初始条件的微由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程组解为分方程组解为()()()dx tAx tf tdt(0)1 1 1Tx()0()(0)()tAtA tx te xefd由上面的例题可知由上面的例题可知而而(0)(1 2)(1)(1)TAtttte xt et et e()(1 2 2)2()6()()(1)3()()()(1 3 3)tttAtttttttteteteetetetetetete 所以有所以有()1 8()()4()1 4()A tttefett 0()000222 1 8()()4()1 4()422tttA tttttdefdetdtdttettt 故有故有222(14)()(12)(1 22)ttttt ex ttt ett e
