1、9.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念9.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程9.3 一阶微分方程与可降阶一阶微分方程与可降阶 的高阶微分方程的高阶微分方程9.4 二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程9.5 常微分方程的应用举例常微分方程的应用举例第第9章章 常微分方程常微分方程结束前页前页结束结束后页后页 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。微分方程。定义一定义一9.1 9.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程偏微分方程：未知函数是多元函
2、数的微分方程偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 导数的阶数叫做该微分方程的阶导数的阶数叫做该微分方程的阶定义二定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶一阶微分方程的一般形式是一阶微分方程的一般形式是 二阶微分方程的一般形式是二阶微分方程的一般形式是 0),(yyxF0),(yyyxF前页前页结束结束后页后页是是二二阶阶微微分分方方程程 d dd dd dd dxbxxyaxy 22注：在微分方程中，未知函数及自变注：在微分方程中，未知函数及自变 量可以不出现量可以不出现是是一一阶阶微微分分方方程程 d dd dbxayxy 22例：例：前页前页
3、结束结束后页后页定义定义3 3 能使微分方程成为恒等式的函数能使微分方程成为恒等式的函数)(xy 叫做微分方程的解叫做微分方程的解其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的积分曲线积分曲线例如，例如，xey2 是方程是方程的一个解的一个解02 yy我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个解解前页前页结束结束后页后页2yy 等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程例例1 1 已知直角坐标系中的一条
4、曲线通过点已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)(1,2)，),(yxp且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点处的切线斜率处的切线斜率解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为y=y(x)，根据导数的几何意义及本题给出的条件，得根据导数的几何意义及本题给出的条件，得 2yxy d dd d 即即Cyx 1 积分得积分得 又由于已知曲线过点又由于已知曲线过点(1,2)(1,2)，代入上式，得，代入上式，得23 C故所求曲线的方程为故所求曲线的方程为yx123 前页前页结束结束后页后页此解为该方程的通解（或一般解）此解为该方程的通解（或一般解）定义定义4 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程
5、若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称(,)yy x C一阶微分方程的通解是一阶微分方程的通解是二阶微分方程的通解是二阶微分方程的通解是12(,)yy x C C n阶微分方程的通解中，必须含有阶微分方程的通解中，必须含有n个任意常数个任意常数其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分曲线族曲线族 前页前页结束结束后页后页定义定义5 如果指定通解中的任意常数为某一固定常数，如果指定通解中的任意常数为某一固定常数，那么所得到的解叫做微分方程的特解那么所得到的解叫做微分方程的特解
6、xCey2如方程如方程20yy的通解是的通解是 而而xey2 就是一个特解，这里就是一个特解，这里1 C在具体问题中常数在具体问题中常数C的值总是根据的值总是根据“预先给定的预先给定的条件条件”而确定的而确定的如例如例1中的曲线通过点（中的曲线通过点（1,2），），这个这个“预先给定的条件预先给定的条件”叫初始条件叫初始条件称为初始条件当通解中的各任意常数都取称为初始条件当通解中的各任意常数都取定义定义6 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般用来确定通解中的任意常数的附加条件一般得特定值时所得到的解，称为方程的特解得特定值时所得到的解，称为方程的特解前页前页结束结束后页后页通常情况下，通常情
7、况下，00)(yxy 即即二阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是00yyxx 及及00 x xyy 即即00()y xy与与00()yxy一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题，一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题，求解其初值问题就是求方程的特解求解其初值问题就是求方程的特解00yyxx 一阶微分方程的初始条件是一阶微分方程的初始条件是前页前页结束结束后页后页xxeey 是不是方程是不是方程 例例2 2 验证函数验证函数.02的解的解 yyy解解 求求 xxeey 的导数，得的导数，得 ,xxeey xxeey yyy 及及、将将代入原方程的左边，有代入原方程的左边
8、，有022 xxxxxxeeeeee即函数即函数 xxeey 不满足原方程，不满足原方程，所以该函数不是所给二阶微分方程的解所以该函数不是所给二阶微分方程的解前页前页结束结束后页后页3Cxy 03 yxy31)1(y解解 由由 3Cxy 得得.32Cxy 代入原方程的左边代入原方程的左边yy 和和将将03323 CxxCx3Cxy 满足原方程满足原方程又因为该函数含有一个任意常数，又因为该函数含有一个任意常数，3Cxy 是一阶微分方程是一阶微分方程 03 yxy的通解的通解 并求满足初始条件并求满足初始条件 为为任意常数）任意常数）,例例3 验证验证 是不是方程是不是方程 的通解（的通解（C的
9、特解的特解将初始条件将初始条件 31)1(y代入通解，得代入通解，得 31 C故所求特解为故所求特解为 331xy 前页前页结束结束后页后页9.2 9.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形如形如 f(x)dx+g(y)dy=0 （9.2.1）定义：定义：的一阶微分方程叫做的一阶微分方程叫做变量已分离的微分方程。变量已分离的微分方程。如果微分方程如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0 (9.2.2)中左端的函数中左端的函数M(x,y)、N(x,y)都可以分解为两个因子的积，都可以分解为两个因子的积，并且这两个因子中一个只含有变量并且这两个因子中一个只含有变量x,另一个只含有变
10、量另一个只含有变量y，即上述方程可以表为即上述方程可以表为)()(12xNyM0)()()()(2121 yyNxNxyMxMd dd d去除这个方程的两边，上式就可化为去除这个方程的两边，上式就可化为 以以前页前页结束结束后页后页1212()()dd0()()M xN yxyN xM y（9.2.3）将（将（9.2.3）式两边积分后，）式两边积分后，1212()()dd()()M xN yxyCN xM y（C为任意常数）为任意常数）可验证，此结果即用隐式给出的方程（可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解）的通解 个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上。个原函数，而把积分
11、所带来的任意常数明确地写上。约定约定:在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一前页前页结束结束后页后页的通解的通解 d dd d01122 xxyy 2211xxyyd dd d例例1 求微分方程求微分方程 解解 移项、积分移项、积分 arcsinarctanyxC得得例例2 求方程求方程 21)cos(sinyxxy的通解的通解解解 分离变量，得分离变量，得 xxxyyd dd d)cos(sin12 两边积分，得通解两边积分，得通解 Cxxy)sin(cosarcsin前页前页结束结束后页后页xxxyyyd dd d2211 10 xy 例例
12、3 求微分方程求微分方程 满足初始条件满足初始条件 的特解的特解 解解 此为可分离变量的微分方程此为可分离变量的微分方程分离变量后得分离变量后得 yxyxxy)1()1(22 d dd d两端积分，得两端积分，得 Cxyln)1ln()1ln(22即即)1(122xCy故所求特解为故所求特解为 1222 xy2 C由初始条件由初始条件,10 xy得得前页前页结束结束后页后页例例4 求微分方程求微分方程 22()dd0 xyxxyy的通解的通解解解 整理得整理得 ddyxyxyx这不是可分离变量的方程，若令这不是可分离变量的方程，若令 xyu 即即 y=ux则有则有 xuuy代入方程得代入方程得
13、 uuxuu1(1)为可分离变量的微分方程为可分离变量的微分方程 d1duxxu即即(1)前页前页结束结束后页后页1ddu uxxCxuln22 22222xyueeCx 例例4所给出的方程是一种特殊类型的方程，所给出的方程是一种特殊类型的方程，其一般形式为其一般形式为()yyfx 这类方程称作齐次微分方程，这类方程可采用变换这类方程称作齐次微分方程，这类方程可采用变换xyu，将其转化为可分离变量方程，将其转化为可分离变量方程 将将(1)变形为变形为得得从而从而前页前页结束结束后页后页9.3 9.3 一阶微分方程与可降一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程阶的高阶微分方程9.3.1 一阶线性微分方
14、程一阶线性微分方程特征特征 都都是是一一次次的的和和yy)i i的的函函数数仅仅是是、xqp)i ii i0)(yxpy如果如果q(x)=0,则则(9.3.1)变为变为（9.3.2）称为一阶线性齐次方程称为一阶线性齐次方程 的微分方程，称为一阶线性微分方程的微分方程，称为一阶线性微分方程（9.3.1）定义定义 形如形如)()(xqyxpy 前页前页结束结束后页后页时时，而而0)(xq（9.3.1）式称为一阶线性非齐次方程）式称为一阶线性非齐次方程 下面介绍利用参数变易法求方程（下面介绍利用参数变易法求方程（9.3.1）的通解）的通解的通解的通解首先求方程（首先求方程（9.3.1）所对应的齐次线
15、性方程（）所对应的齐次线性方程（9.3.2）（9.3.2）是变量可分离的方程，容易求得它的通解）是变量可分离的方程，容易求得它的通解d()dyp xxy 1ln()dlnyp xxC dxxpeCy)(1即即 前页前页结束结束后页后页()d1()p xxyC x e，令令)(11xCC 于是于是()d()d11d()d()()ddp xxp xxC xyep x C x exx()d1d()()dp xxC xeq xx()d1()()dp xxC xq x exC()d()d()d111d()()()()()()p xxp xxp xxC xep x C x ep x C x eq xdx把
16、它们代入方程（把它们代入方程（9.3.1），得），得故（故（9.3.1）式的通解为）式的通解为()d()d()dp xxp xxyeq x exC（9.3.3）前页前页结束结束后页后页一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下：一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下：(i)求对应于（求对应于（9.3.1）的齐次方程（）的齐次方程（9.3.2）的通解）的通解()d1p xxyC e (ii)令令()d1()p xxyC x e，并求出，并求出 y 代入代入(i)，解出，解出(iii)将将(ii)中的中的 yy 及及()d1()()p xxC xq x edxC)(1xC(iv)将将(iii)中求出的中求
17、出的 代入代入(ii)中中y的表达式，得到的表达式，得到()d()d()dp xxp xxyeq x exC即为所求（即为所求（9.3.1）的通解）的通解前页前页结束结束后页后页 222xxexyxy d dd d例例1 求微分方程求微分方程 的通解的通解 2()2,()2xp xx q xxe解解 代入公式代入公式22 d2 d2dx xx xxyexeexC2(2 d)xexxC22()xexC则所求的通解为则所求的通解为22()xyxC e前页前页结束结束后页后页例例2 求解微分方程求解微分方程 22d(1)(1)dyxxyxxx解解 方程可变形为方程可变形为 2dd1yxyxxx这里这
18、里 2()1xp xx()q xx所以所以 22dd11dxxxxxxyexex C221d1xxxCx221(1)xxC2211xCx前页前页结束结束后页后页例例3 求微分方程求微分方程 22d(2)d0yxxxyyy的通解的通解 解解 把把x看作是看作是y的函数的函数 将原方程改写为：将原方程改写为：2d1 21dxyxyy此为关于未知函数此为关于未知函数)(yxx 的一阶线性非齐次方程，的一阶线性非齐次方程，其中其中 221)(yyyp，它们的自由项，它们的自由项 1)(yq代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有221 21 2dddyyyyyyxeey
19、CyyeyCey12121 yCeyy1221yeCy121 即所求通解为即所求通解为 yeCyx121 前页前页结束结束后页后页9.3.2 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程高阶方程：二阶或二阶以上的微分方程高阶方程：二阶或二阶以上的微分方程 下面介绍简单的、经过适当变换可降为一阶的微分方程下面介绍简单的、经过适当变换可降为一阶的微分方程型的微分方程型的微分方程()yfx1 此微分方程右端仅含自变量此微分方程右端仅含自变量x，通过两次积分可得通解通过两次积分可得通解 例例4 解微分方程解微分方程 xxey 解解 积分一次得积分一次得 1dxyxexC 1)1(Cexx 再积分一次得再积
20、分一次得 21)2(CxCexyx 前页前页结束结束后页后页2.型的微分方程型的微分方程(,)yf x y这个方程的特点是右端不显含未知函数这个方程的特点是右端不显含未知函数y，可令，可令()yp x，则，则()yp x.原方程化为原方程化为),(pxfp 的一阶方程的一阶方程如果能求出上述方程的通解如果能求出上述方程的通解 1(,)px C再由方程再由方程 1(,)yx C 则求得原方程的通解则求得原方程的通解12(,)dyx CxC前页前页结束结束后页后页例例5 求微分方程求微分方程 yyx的通解。的通解。解解 这是不显含这是不显含 y 的方程，令的方程，令 yp yp则则 于是原方程为于
21、是原方程为 ppx ppx即即 dd1dxxpexexC1(1)xxeexCxeCx1)1(1(1)xyxC e 因为因为2122CeCxxyx 所以所以前页前页结束结束后页后页3.(,)型型的的微微分分方方程程yf y y此类方程的特点是不显含此类方程的特点是不显含 x，令，令()yp y，这里的，这里的 p是是y 的函数，是的函数，是x 的复合函数。的复合函数。d()dddddddp ypypypxyxy则则 于是原方程化为型如于是原方程化为型如 d(,)dppf y py的一阶方程的一阶方程这是以这是以y为自变量为自变量,p为未知函数的一阶方程为未知函数的一阶方程如果能求出通解如果能求出
22、通解 1(,)pp y C，即，即 1d(,)dyp y Cx利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为 211d(,)yxCp y C前页前页结束结束后页后页例例6 求微分方程求微分方程 232yy 满足初始条件满足初始条件,13 xy31xy的特解的特解 解解 令令()yp y ddpypy 代入原方程得代入原方程得22 d3dppyy2d3d2ppyy或或 两边积分得两边积分得 132Cyp 由初始条件由初始条件,13 xy31xy01 C 得得(2332 ypyp 或或310 xy，所以取正号，所以取正号）前页前页结束结束后页后页即为满足所给方程及
23、初始条件的特解即为满足所给方程及初始条件的特解 32ddyyx32ddyyx即即 或或2212Cxy积分后得积分后得 再由初始条件，得再由初始条件，得 52C2)5(4xy代入上式整理后得代入上式整理后得前页前页结束结束后页后页9.4 9.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程9.4.1 二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质)()()(xfyxqyxpy 形如形如称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程.f(x)称为自由项称为自由项的二阶微分方程的二阶微分方程 定义定义0)(xf当当时，称为二阶线性非齐次微分方程；时，称为二阶线性非齐次微分方程；当当 f(x)恒为零时，称
24、为二阶线性齐次微分方程恒为零时，称为二阶线性齐次微分方程 当系数当系数p(x)、q(x)分别为常数分别为常数p、q时时，则称方程则称方程0ypyqy为二阶常系数线性齐次微分方程为二阶常系数线性齐次微分方程0()()ypyqyf xf x为二阶常系数线性非齐次微分方程为二阶常系数线性非齐次微分方程.前页前页结束结束后页后页为了寻找解二阶线性微分方程的方法，我们先讨论为了寻找解二阶线性微分方程的方法，我们先讨论二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构定理定理1 如果函数如果函数y1 与与y2 是线性齐次方程的两个解，则函数是线性齐次方程的两个解，则函数1122yC yC y（其中（其中C1
25、,C2是任意常数）是任意常数）仍是该方程的解仍是该方程的解.证证 因为因为y1与y2是方程是方程()()0yp x yq x y的两个解的两个解 0)()(222 yxqyxpy0)()(111 yxqyxpy所以所以 又因为又因为1122yC yC y1122yC yC y前页前页结束结束后页后页于是有于是有yxqyxpy)()()()()(221122112211yCyCxqyCyCxpyCyC 11112222()()()()0C yp x yq x yCyp x yq x y的解的解 0)()(yxqyxpy1122yC yC y所以所以 是是 此定理表明，齐次线性方程的解具有叠加性此
26、定理表明，齐次线性方程的解具有叠加性，但要注意：，但要注意：如果解中的如果解中的C1和和C2可以合并成一个任意常数，那么这并不可以合并成一个任意常数，那么这并不是二阶线性齐次方程的通解是二阶线性齐次方程的通解.前页前页结束结束后页后页从而能表示二阶线性齐次方程的通解呢？为此，介绍一个从而能表示二阶线性齐次方程的通解呢？为此，介绍一个1122C yC y怎样使形如怎样使形如 的解确实含有两个任意常数，的解确实含有两个任意常数，新的概念：线性相关与线性无关新的概念：线性相关与线性无关定义定义 设函数设函数)()(21xyxy和和是定义在区间上的两个函数，是定义在区间上的两个函数，如果存在两个不全为
27、零的常数如果存在两个不全为零的常数 k1 和和 k2，使，使0)(2211 ykxyk在区间上恒成立，则称函数在区间上恒成立，则称函数)()(21xyxy和和在区间上是线性相关的，否则称为线性无关在区间上是线性相关的，否则称为线性无关如函数如函数 xyxy3,21 在整个实数轴上线性相关在整个实数轴上线性相关 前页前页结束结束后页后页考察函数线性相关的简单方法：看比值是否为常数考察函数线性相关的简单方法：看比值是否为常数其中其中 21,kk)()(21xyxy和和当当线性相关时，有线性相关时，有 02211 ykyk不全为零，不全为零，01 k设设1221kkyy 则则21yy 与与即即之比为
28、常数，之比为常数，反之，若反之，若 21yy 与与之比为常数，设之比为常数，设，21yy02121 yyyy ，即，即则则所以所以 21yy 与与线性相关线性相关 因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；如果不是常数，则它们线性无关如果不是常数，则它们线性无关 前页前页结束结束后页后页定理定理2 如果函数如果函数 21yy 与与是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程()()0yp x yq x y的两个线性无关的特解，则的两个线性无关的特解，则 1122yC yC y是该方程的通解，其中是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数为任意常数 定理定
29、理3 如果函数如果函数*y是线性非齐次方程的一个特解，是线性非齐次方程的一个特解，Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则*yYy是线性非齐次的通解是线性非齐次的通解前页前页结束结束后页后页由以上定理可知由以上定理可知求二阶非齐次线性方程通解的一般步骤：求二阶非齐次线性方程通解的一般步骤：（1）求齐次线性方程）求齐次线性方程()()0yp x yq x y的线性无关的两个特解的线性无关的两个特解 21yy 与与得该方程的通解得该方程的通解 1122YC yC y（2）求非齐次线性方程）求非齐次线性方程()()()yp x yq x yf x的一个特解的一个
30、特解*y那么非齐次线性方程的通解为那么非齐次线性方程的通解为*yYy注：以上结论也适用于一阶非齐次线性方程，注：以上结论也适用于一阶非齐次线性方程，还可推广到二阶以上的非齐次线性方程还可推广到二阶以上的非齐次线性方程以上定理是求线性微分方程通解的理论基础以上定理是求线性微分方程通解的理论基础前页前页结束结束后页后页9.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的解法 欲求二阶常系数非齐次线性方程欲求二阶常系数非齐次线性方程()ypyqyf x（9.4.1）的通解，应首先研究如何求的通解，应首先研究如何求0ypyqy（9.4.2）的通解的通解例例1 解微分方程解微分方程
31、023 yyy解解 通过观察：通过观察：xxeyey221,是方程的两个特解，且是方程的两个特解，且 常数常数 eeexx12所以由定理所以由定理2，得方程的通解为，得方程的通解为 212xxyC eC e前页前页结束结束后页后页具体解方程时只靠观察法是远远不够的，因此我们具体解方程时只靠观察法是远远不够的，因此我们介绍一种不用积分仅仅用代数方法就可得到特解的解法介绍一种不用积分仅仅用代数方法就可得到特解的解法特征根法特征根法定义定义 方程方程02 qprr（9.4.3）叫做方程叫做方程 0 qyypy的特征方程的特征方程 方程（方程（9.4.3）的根叫做特征根）的根叫做特征根 这里的这里的p
32、,q 是实常数是实常数由于方程（由于方程（9.4.3）是一元二次代数方程，）是一元二次代数方程，它的根有三种可能的情形，分别叙述如下：它的根有三种可能的情形，分别叙述如下：前页前页结束结束后页后页,04)1(2 qp方程（方程（9.4.3）有两个不相等的实数根）有两个不相等的实数根,21rr 和和此时方程（此时方程（9.4.2）的通解是）的通解是 1212r xr xyC eC e,04)2(2 qp方程（方程（9.4.3）有两个相等的实数根）有两个相等的实数根,21rrr 此时方程（此时方程（9.4.2）的通解是）的通解是 12()rxyeCC x,04)3(2 qp方程（方程（9.4.3）
33、有一对共轭复数根）有一对共轭复数根,i 此时方程（此时方程（9.4.2）的通解是）的通解是 12(cossin)xyeCxCx前页前页结束结束后页后页例例2 求方程求方程 032 yyy的通解的通解 解解 该方程的特征方程为该方程的特征方程为 0322 rr它有两个不相等的实根它有两个不相等的实根 3,121 rr其对应的两个线性无关的特解为其对应的两个线性无关的特解为 xxeyey321 与与所以方程的通解为所以方程的通解为 312xxyC eC e前页前页结束结束后页后页例例3 求方程求方程 044 yyy的满足初始条件的满足初始条件(0)1,(0)4yy的特解的特解 解解 该方程的特征方
34、程为该方程的特征方程为 0442 rr它有重根它有重根2 r 其对应的两个线性无关的特解为其对应的两个线性无关的特解为 xxxeyey2221 与与所以通解为所以通解为 212()xyCC x e求得求得 222122()xxyC eCC x e 将将(0)1,(0)4yy代入上两式，得代入上两式，得 121,2CC因此，所求特解为因此，所求特解为 2(12)xyx e前页前页结束结束后页后页例例4 求方程求方程 0322 yyy的通解的通解 解解 该方程的特征方程为该方程的特征方程为 03222 rr它有共扼复根它有共扼复根ir52121424422,1 即即 521,21 对应的两个线性无
35、关的解为对应的两个线性无关的解为xeyxeyxx25sin,25cos212211 所以方程的通解为所以方程的通解为121255cossin22xyeCxCx前页前页结束结束后页后页9.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 由定理由定理3知，非齐次线性方程的通解是对应的齐知，非齐次线性方程的通解是对应的齐次线性方程的通解与其自身的一个特解之和，而求二次线性方程的通解与其自身的一个特解之和，而求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解问题已经解决，阶常系数非齐次线性微分方程的通解问题已经解决，所以求非齐次线性方程的通解关键在于求其中一个特所以求非齐次线性方程的通
36、解关键在于求其中一个特解解 以下介绍当自由项以下介绍当自由项f(x)属于两种特殊类型函数时属于两种特殊类型函数时的情况的情况前页前页结束结束后页后页我们知道，方程我们知道，方程()ypyqyf x(9.4.4)*y的特解的特解 是能使（是能使（9.4.4）成为恒等式的函数现在）成为恒等式的函数现在(9.4.4)的右端的右端 f(x)是多项式是多项式()mP x与指数函数与指数函数 xe 的乘积，而且只有多项式和指数函数的导数才能是多的乘积，而且只有多项式和指数函数的导数才能是多项式和指数函数因此可设（项式和指数函数因此可设（9.4.4）有特解）有特解*()kxmyx exQ其中其中()mxQ是
37、与是与()mP x同次的多项式同次的多项式 类型类型()()xmf xePx表示关于表示关于x的的m次多项式次多项式()mP x是常数，是常数，其中其中前页前页结束结束后页后页 当当 不是（不是（9.4.4）所对应的齐次线性方程的）所对应的齐次线性方程的特征方程特征方程02 qprr的根时，取的根时，取；0 k 当当 是其特征方程单根时，取是其特征方程单根时，取；1 k当当 是其特征方程重根时，取是其特征方程重根时，取,2 k将所设的特解代入（将所设的特解代入（9.4.4）中，比较等式两端，）中，比较等式两端，使使x同次幂的系数相等，从而确定同次幂的系数相等，从而确定()mxQ的各项系数，的各
38、项系数，得到所求之特解得到所求之特解前页前页结束结束后页后页例例5 求方程求方程 xeyyy22 的一个特解的一个特解 解解 特征方程特征方程 012 rr的特征根的特征根 23124112,1ir 2 不是特征方程的根，所以设特解为：不是特征方程的根，所以设特解为：xAey2*即即*2*2()2,()4xxyAeyAe 代入方程，得代入方程，得 27A 故原方程的特解为故原方程的特解为 xey2*72 前页前页结束结束后页后页()()cos()sin xnlf xePxxPxx 类型类型 因为指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦因为指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总
39、是余弦函数与正弦函数函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数,因此，我们可以设（因此，我们可以设（9.4.4）有特解）有特解 xxRxxRexymmxk sin)(cos)(21*其中其中 mxRxRmm是是21,次多项式，次多项式，nlm,max，而，而k 按按)(ii 或或不是特征方程的根或是特征方程不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取的单根依次取0或或1前页前页结束结束后页后页例例6 求方程求方程 22xyyy 的通解的通解 解解 特征方程特征方程 0122 rr特征根是特征根是 121 rr故对应的齐次方程的通解故对应的齐次方程的通解 12()xYeCC x22212)*(,2
40、)*(byxbbby 因因 202()xf xxe x，0不是特征根，故设不是特征根，故设2210*xbxbby 的二次多项式）的二次多项式）（注意不要设成（注意不要设成 22*xby ，一定设成一个不缺项，一定设成一个不缺项前页前页结束结束后页后页代入原方程，得代入原方程，得22212021(4)22b xbb xbbbx解解 1,4,6210 bbb得得 022041120212bbbbbb2*46xxy 故故 由定理由定理3知方程的通解知方程的通解*212()46xyYye CC xxx前页前页结束结束后页后页9.5 9.5 常微分方程的应用举例常微分方程的应用举例 在学习了几类微分方程
41、的解法基础上，本节将举例在学习了几类微分方程的解法基础上，本节将举例说明如何通过建立微分方程解决一些在几何上的实际问说明如何通过建立微分方程解决一些在几何上的实际问题，并且介绍微分方程在经济数量分析中的应用题，并且介绍微分方程在经济数量分析中的应用例例1 求过点（求过点（1，3）且切线斜率为）且切线斜率为 2x的曲线方程的曲线方程解解 设所求的曲线方程是设所求的曲线方程是y=y(x)则依题意有满足下面的关系：则依题意有满足下面的关系：213dd()yxxy（9.5.1）（9.5.2）前页前页结束结束后页后页其中其中y(1)=3 表示表示 x=1 时时y的值为的值为3 要求出满足（要求出满足（9
42、.5.1）式的函数，只需求一次不）式的函数，只需求一次不定积分即可显然，这种函数的一般形式是定积分即可显然，这种函数的一般形式是Cxy 2（C为任意常数）为任意常数）这是一簇曲线，曲线簇中每一条曲线在点这是一簇曲线，曲线簇中每一条曲线在点x处的处的斜率均为斜率均为2x如果将已知条件（如果将已知条件（9.5.2）式代入上式）式代入上式，求出求出 2C 则则22 xy就是所求过点（就是所求过点（1,3）且切线斜率为）且切线斜率为2x的曲线方程的曲线方程 前页前页结束结束后页后页例例2 某种商品的需求量某种商品的需求量Q 对价格对价格P 的弹性为的弹性为1.5P.已知已知该商品的最大需求量为该商品的
43、最大需求量为800(即即P=0时时,Q=800),求求需求量需求量Q与价格与价格P的函数关系的函数关系 解解 设所求的函数关系为设所求的函数关系为Q=Q(P)根据需求价格弹性的定义有根据需求价格弹性的定义有 01 5800d.d|PPQPQPQ(9.5.3)(9.5.4)1 5dd(.)QPPQP为求出为求出 Q=Q(P)，我们可以将（，我们可以将（9.5.3）式改写成）式改写成前页前页结束结束后页后页两边积分，得两边积分，得1ln1.5QPC 即即111.51.5()P CCPQeCeCe于是于是=800C所以所以Q与与P的函数关系为的函数关系为1.5800PQe=800Q再由（再由（9.5
44、.4）可知：）可知：当当P=0 时，时，d1.5dQPQ 即即前页前页结束结束后页后页例例3 已知某厂的纯利润已知某厂的纯利润L对广告费对广告费x的变化率的变化率 ddLx与常数与常数 A和纯利润和纯利润L之差成正比，当之差成正比，当x=0时，时，L=L0,试求纯试求纯 利润利润L与广告费与广告费x之间的函数关系之间的函数关系 解解 由题意列出方程由题意列出方程分离变量分离变量 ddLkxAL两边积分得两边积分得1ln)ln(CkxLA 00()(LLkLAkdxdLx为常数）为常数）前页前页结束结束后页后页)1(1CCCeLAkx 其中其中kxCeAL 由初始条件由初始条件 00|LLx 解得解得 0LAC 所以，纯利润与广告费的函数关系为所以，纯利润与广告费的函数关系为kxeLAAL )(0
