1、第三章第三章 一阶偏微分方程一阶偏微分方程1、特征线法、特征线法2、非线性波与追赶现象、非线性波与追赶现象第三章一阶偏微分方程特征线法1.1 一阶偏微分方程的定解问题一阶偏微分方程的定解问题偏微分方程与常微分方程求解思路的不同偏微分方程与常微分方程求解思路的不同常微分方程：求方程通解，初、边值定常数常微分方程：求方程通解，初、边值定常数一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解例，一阶例，一阶PDE 通解通解0uucxy()uf ycx第三章一阶偏微分方程特征线法初值问题（初值
2、问题（Cauchy问题）问题）初、边值问题（初、边值问题（Riemann问题）问题）()(,0)0,()Accvr cxttxtcf x ()(0,0)0,()0,()Accvrcxttxtcf xxcg t 第三章一阶偏微分方程特征线法一般的一阶拟线性偏微分方程的问题一般的一阶拟线性偏微分方程的问题000I(),(),()uuxxyy：(,)(,)(,)uuP x y uQ x y uR x y uxy第三章一阶偏微分方程特征线法1.2 特征线法的几何原理特征线法的几何原理向量向量(P,Q,R)与解曲面与解曲面u=u(x,y)的法线方向的法线方向相互垂直，与相互垂直，与(P,Q,R)共线的线
3、元共线的线元(dx,dy,du)必定必定满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征曲线的全体构成解曲面征曲线的全体构成解曲面u=u(x,y)。(,)(,)(,)uuP x y uQ x y uR x y uxy(,1)xyuu第三章一阶偏微分方程特征线法第三章一阶偏微分方程特征线法第三章一阶偏微分方程特征线法因此，特征线法的求解思路是因此，特征线法的求解思路是用特性曲线来编织解曲面用特性曲线来编织解曲面1。求出与向量场。求出与向量场(P,Q,R)共线的特征曲线；共线的特征曲线；2、让该曲线通过初始曲线、让该曲线通过初始曲线第三章一阶偏微分方程
4、特征线法特征线方程特征线方程解解x=x(s),y=y(s),u=u(s)含任意常数，由初始曲线含任意常数，由初始曲线确定确定(,)(,)(,)dxP x y udsdyQ x y udsduR x y uds000I(),(),()uuxxyy：第三章一阶偏微分方程特征线法解曲面由以下双参变量形式给出解曲面由以下双参变量形式给出参变量参变量s 沿特征曲线方向变化，沿特征曲线方向变化，参变量参变量 沿初始曲线方向变化。沿初始曲线方向变化。(,)(,)(,)xx syy suu s第三章一阶偏微分方程特征线法例例2.1 特征线方程特征线方程初始曲线初始曲线1(0,)uuuxyuyy1,1dxdyd
5、uudsdsds0:0,sxyu第三章一阶偏微分方程特征线法解出解出 消去参变量消去参变量22xssysus221xyuxx第三章一阶偏微分方程特征线法以积分常数形式给出的特征线解以积分常数形式给出的特征线解 特征方程特征方程通解通解初始曲线限制初始曲线限制解曲面解曲面(,)(,),(,)(,)dyQ x y uduR x y udxP x y udxP x y u1122(,),(,)g x y ukgx y uk12(,)0F k k12(,),(,)0F g x y u gx y u第三章一阶偏微分方程特征线法例例2.3 特征方程特征方程通解通解解曲面解曲面由初值由初值得解得解1()uu
6、xy为常数,1dydudxdx12,yxku xk()uxf yx(0,)()uyy()uxyx第三章一阶偏微分方程特征线法1.3 特征线法的物理意义特征线法的物理意义波波 动动物理量在空间的传播过程物理量在空间的传播过程特征线特征线物理量的传播轨迹，沿该轨迹的变化关系物理量的传播轨迹，沿该轨迹的变化关系例例1 1管道中的溶质输送问题管道中的溶质输送问题0()ccvxtx 000(,0)00 xc xcaxxa 第三章一阶偏微分方程特征线法特征线特征线 初始曲线初始曲线解得解得1,0dtdxdcvdsdsds0:0,stx000()00 xvtccaxvtxvta xvt 第三章一阶偏微分方程
7、特征线法图象图象矩形方波以速度矩形方波以速度v 传播传播 c0 xt=0t=t1t=t2vvv第三章一阶偏微分方程特征线法x-t 平面的特征线及图解法平面的特征线及图解法 第三章一阶偏微分方程特征线法例例2 2线性色谱问题线性色谱问题特征线特征线(1)0ccvKxt0:(),00:(),0tcf xxxcg tt1dtKdxv第三章一阶偏微分方程特征线法x轴给出的初值的解轴给出的初值的解 t 轴给出的边值的解轴给出的边值的解 0:0,()0stxcf()tx(,)(),ttc x tf xx0:0,()0sxtcg,ttxx(,)(),tc x tg txx第三章一阶偏微分方程特征线法x-t
8、平面的特征线平面的特征线第三章一阶偏微分方程特征线法斜坡输入时的图象斜坡输入时的图象 第三章一阶偏微分方程特征线法例例3 3 有化学反应时的色谱波动图象有化学反应时的色谱波动图象 浓度沿特征线传播时呈指数衰减浓度沿特征线传播时呈指数衰减线性波的特点线性波的特点波速与因变量无关波速与因变量无关保持初始间断和光滑性质不变保持初始间断和光滑性质不变特征线不相交特征线不相交第三章一阶偏微分方程追赶现象2 非线性波与追赶现象非线性波与追赶现象1。追赶问题。追赶问题稀疏波稀疏波身高曲线身高曲线初始分布初始分布0hhhtx00(,0)/000hxh xh xxx第三章一阶偏微分方程追赶现象特征线特征线解得解
9、得,0dxdhhdtdt00000 xhthhh第三章一阶偏微分方程追赶现象图象图象稀疏波稀疏波xh00hh00hxxt=0时刻的初始分布t=t1时刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0携带不同h值的特征线第三章一阶偏微分方程追赶现象2。追赶问题。追赶问题激波激波初始分布：前低后高初始分布：前低后高解得解得000(,0)(1/)00 xh xhxxhx00000(1/)(,0)01/0 xhxh xxhth thxh t第三章一阶偏微分方程追赶现象图象图象xh00hx/h0t0t/h0t=0h=h0h=0第三章一阶偏微分方程追赶现象特点特点追赶，特征线相交，不真实的多值分布，追赶，
10、特征线相交，不真实的多值分布，非线性本征属性非线性本征属性原因：形成强间断原因：形成强间断激波，微分方程失效激波，微分方程失效问题：补充间断面上的关系问题：补充间断面上的关系第三章一阶偏微分方程追赶现象3。激波间断关系。激波间断关系qrtxx0 xsxrxll,qlr,qrdxs/dt第三章一阶偏微分方程追赶现象激波间断关系激波间断关系熵条件熵条件处理含间断问题的原则：分段求解处理含间断问题的原则：分段求解slrlrdxqqqdt()()slrdxdt 第三章一阶偏微分方程追赶现象例例1 1 含有激波的追赶问题含有激波的追赶问题间断条件间断条件初值初值2211122()2lrslrlrhhdx
11、hhdthh0/thsx21,2h qh第三章一阶偏微分方程追赶现象图象图象xh00hx/h0t0t/h0t=0CSI第三章一阶偏微分方程追赶现象例例2 2 非线性吸附反应器非线性吸附反应器01(,0)0(0,)ccnvkcxttNKcnKcc xctc 第三章一阶偏微分方程追赶现象特征曲线特征曲线波速波速211(1)dxvdsdtdnNKdsdcKcdckcds 21(1)dxvNKdtKc第三章一阶偏微分方程追赶现象激波间断条件激波间断条件特征线光滑解特征线光滑解()()()1slrlrlrlrdxv ccvnndtcncnccdckcdxv 0exp()()skccxxxv第三章一阶偏微
12、分方程追赶现象将光滑解代入激波间断条件，解出激波轨迹将光滑解代入激波间断条件，解出激波轨迹00exp(/)ln1sskxvKcNKvvtxkKc第三章一阶偏微分方程追赶现象图象图象x0cxt0t=t1S第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题3 化学剂段塞的色谱运动化学剂段塞的色谱运动问题问题0ccnvxtt1NKcnKc(0,)0cx 10(,0)0ctc xt 第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题物理图象：前沿物理图象：前沿激波；激波；后缘后缘中心稀疏波中心稀疏波 激波与稀疏波相互作用激波与稀疏波相互作用第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题特征线特征线第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题解题思路解题思路1。运
13、动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解；。运动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解；2。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与激波联立求解。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与激波联立求解。第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题问题问题第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题特征线方程特征线方程初始曲线初始曲线dxvds21(1)dtNKdsKc 0dcds0:,0,0sxtc1100:0,0 0csxtcc第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题1。运动初期。运动初期激波激波稀疏波稀疏波平台区平台区21(1)NKxtKcv1/slldxvdtnc001(1)/(,)1ssNKtxvxxttKc121,01(1)NKxcctKcv
14、第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题2。运动后期。运动后期激波（浓度在变化）激波（浓度在变化）稀疏波（给出激波浓度）稀疏波（给出激波浓度）联立得到联立得到1(1)1sldtNKdxvKc21(1)NKxtKcv2(/)(/)/ssssNK txvdtxvdxxv第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题激波轨迹激波轨迹激波浓度激波浓度段塞宽度段塞宽度1/21/21/21/21/20001(/)(/)(/)(/)()sstxvNKxvtxvNKxvKc 1/2111()lsKcNxvc 21/211(1)2()sNKxNK c vxKc v 第三章一阶偏微分方程小结1 1、关于特征线法、关于特征线法几何上，一
15、阶偏微分方程可以看成几何上，一阶偏微分方程可以看成向量（向量（P,Q,R)与曲面法向与曲面法向 之间的正交关系之间的正交关系.特征线法就是特征线法就是先由向量（先由向量（P,Q,R)求出满足方程的特征线，再以此为求出满足方程的特征线，再以此为元素构造出解曲面。元素构造出解曲面。物理上，波动总是从初始曲线出发沿特征线传播，物理上，波动总是从初始曲线出发沿特征线传播，特征线方程给出了波的速度和传播中的变化关系。特征线方程给出了波的速度和传播中的变化关系。(,1)xyu u第三章一阶偏微分方程小结2 2、关于非线性波动的概念、关于非线性波动的概念线性波的波速与因变量无关，传播过程中保持初始线性波的波速与因变量无关，传播过程中保持初始间断或光滑性质不变，特征线不相交。间断或光滑性质不变，特征线不相交。非线性波容易发生追赶，形成稀疏波和激波，其类非线性波容易发生追赶，形成稀疏波和激波，其类型与通量曲线的性质和初始分布状况两方面因素有关。型与通量曲线的性质和初始分布状况两方面因素有关。处理激波问题的思路是：分段求解，联立确定。处理激波问题的思路是：分段求解，联立确定。谢 谢
