1、内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作)1.4()()()(111tfxtadtxdxadtxdnnnnn111()()0(4.2)nnnnnd xdxa xa t xdtdt齐次线性微分方程齐次线性微分方程非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程问题问题：讨论（：讨论（4.1）-（4.2）的通解？）的通解？于是有下面两个重要定理于是有下面两个重要定理回忆回忆4.2 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作)14.4()()()()(2211txtxctxctx
2、cxnn其中其中 为任意常数，而且这个通解（为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（）包括了方程（4.1）的）的所有解。所有解。nccc,21定理定理7 设设 为方程（为方程（4.2）的基本解组，而）的基本解组，而 是方程是方程 （4.1）的某一个解，则方程（）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为）的通解可表为)(,),(),(21txtxtxn()x t定理定理6 如果如果 是方程（是方程（4.2）的）的n个线性无关的解，则方个线性无关的解，则方程（程（4.2）的通解可表为：）的通解可表为：（4.11）其中其中 是任意常数。且通解（是任意常数。且通解（4.11）包括了方程（）包括
3、了方程（4.2）的所有解。）的所有解。)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnnnccc，21齐次线性微分方程通解结构定理齐次线性微分方程通解结构定理非齐次线性微分方程通解结构定理非齐次线性微分方程通解结构定理4.2 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 因此，关于线性微分方程的因此，关于线性微分方程的通解结构问题通解结构问题，从理论上说，已经解，从理论上说，已经解决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给
4、出。事实上，对于一般的线性微分方程是般的线性微分方程是没有普遍解法的没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方。但通过寻求一些特殊类型方程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求解问题能够彻底解决的一类方程解问题能够彻底解决的一类方程常系数线性微分方程及可以化常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程；为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特殊的非齐线
5、性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解。解。以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微分方以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微分方程为更深刻地理解物理现象提供有力的工具。程为更深刻地理解物理现象提供有力的工具。4.2 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作复值函数与复值解复值函数与复值解常系数齐次线性微分方程和欧拉方程常系数齐次线性微分方程和欧拉方程非齐次线性微分方程的解法：非齐次线性微分方程的解法：比较系
6、数法和拉普拉斯变换法比较系数法和拉普拉斯变换法应用分析：应用分析：质点振动质点振动内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4.2.1 引子引子:复值函数和复值解复值函数和复值解1、复数及其相等的定义；、复数及其相等的定义；2、有关定义有关定义：复值函数的连续、可导性等。：复值函数的连续、可导性等。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作)(lim)(lim)(lim000tittztttttt如果如果 ，就称，就称 在在 连续连续。)(tz)()(lim00tztztt0t如果对于区间如果对于区间 中的每一
7、实数中的每一实数t，有复数，有复数 与它对应，其中与它对应，其中 和和 是在区间是在区间 上定义的实函数，上定义的实函数，i是虚单位，就说在区间是虚单位，就说在区间 上给定了一个复值函数上给定了一个复值函数 。如果。如果实函数实函数 ，,当当t趋于趋于 时有极限，就称复值函数时有极限，就称复值函数 当当t趋于趋于 时时有极限，并且定义有极限，并且定义bta)()()(tittz)(t)(tbta)(t)(t0t)(tz0t)(tzbta内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作复值函数在区间上连续的定义：复值函数在区间上连续的定义：即表示在区间上每一即
8、表示在区间上每一点都连续。点都连续。注：注：复值函数在点连续意为着对应的两个实函数也在复值函数在点连续意为着对应的两个实函数也在该点连续。该点连续。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作如果如果 极限存在，就称极限存在，就称z(t)在在 点有导数（可微）点有导数（可微）,且记此极限为且记此极限为 或者或者 。00)()(lim0tttztztt0tdttdz)(00()z tdttdidttddttdz)()()(000显然显然 在在 处有导数相当于处有导数相当于 ,在在 处有导数，且处有导数，且)(tz0t)(t)(t0t内江师范学院数学与信息科
9、学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作1212()()()()dz tdz tdzz tz tdtdtdt11()()dz tdzc z tcdtdt121221()()()()()()dz tdz tdzz tz tz tz tdtdtdt线性性线性性乘积性乘积性内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作)sin(cos)(titeeettiKt设设 是任意一复数，这里是任意一复数，这里 是实数，而是实数，而 为实变量。为实变量。iKt,基本性质基本性质)(2121)(乘积tKtKtKKeee)(微分KtKtKedtde)(高阶
10、微分KtnnKtneKdted重要性质重要性质内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作5、复值解的定义复值解的定义)()()()()()(111tftztadttzdtadttzdnnnnn定义于定义于 区间上的实变量复值函数区间上的实变量复值函数 称为方程称为方程（4.1）的复值解。如果）的复值解。如果bta)(tzx bta对于对于 恒成立。恒成立。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作6、两个重要定理两个重要定理定理定理8 如果方程（如果方程（4.2）中所有系数）中所有系数 都是实值函数，都是实值函
11、数，而而 是方程（是方程（4.2）的复值解，则）的复值解，则 的实部的实部 、虚部虚部 和共轭复值函数和共轭复值函数 也是方程（也是方程（4.2）的解）的解.),2,1)(nitai)()()(tittzx)(tz)(t)(t)(tz定理定理9 若方程若方程有复值解有复值解 ，这里，这里 及及 都是实函数，那都是实函数，那么这个解的实部么这个解的实部 和虚部和虚部 分别是虚部对应方程分别是虚部对应方程和实部对应方程和实部对应方程的解的解.)()()()()(1111tivtuxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn)()(tiVtUx),2,1)(nitai)(),(tvtu)(tU
12、)(tV)()()()(1111tuxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn)()()()(1111tvxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作问题问题：常系数线性微分方程的求解常系数线性微分方程的求解常系数齐线性微分方程的求解常系数齐线性微分方程的求解-如果如果？常数变易法常数变易法(至少至少)比较系数法比较系数法Laplace变换法变换法有无其它方法？有无其它方法？?欧拉指数法欧拉指数法内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4.2.2 常系数
13、齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程常系数齐线性方程欧拉（欧拉（Euler）待定指数函数法待定指数函数法 特征根是单根的情形特征根是单根的情形 有复根的情形有复根的情形 特征根是重根的情形特征根是重根的情形 应用应用欧拉方程欧拉方程1、框架、框架内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作2、常系数齐线性微分方程、常系数齐线性微分方程1111 0(4.19)nnnnnnd xdxdxL xaaa xdtdtdt其中其中 是常数。此时，称（是常数。此时，称（4.19）为）为n阶阶常系数齐线性微分方程。常系数齐线性微分方程。),2,
14、1(niai 若齐线性微分方程（若齐线性微分方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方）的所有系数都是常数，即原方程可以写为如下形式：程可以写为如下形式：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、欧拉（、欧拉（Euler）待定指数函数法待定指数函数法n一阶微分方程一阶微分方程 有指数形式的解：有指数形式的解：.yay atyce 对于对于n阶齐线性方程（阶齐线性方程（4.19）是否也有类似形式的解？）是否也有类似形式的解？下下面用试探法进行讨论。面用试探法进行讨论。n提问提问引言：一阶齐次线性微分方程解的启示引言：一阶齐次线性微分方程解的启示内江师范
15、学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作假如有下面形式（假如有下面形式（4.20）是方程（）是方程（4.19）的解）的解(4.20)txettnnnntntnntnntnteFeaaaeadtdeadtedadtedeL)()(1111111于是有：于是有：111()0(4.21)nnnnFaaa要（要（4.20）是方程（）是方程（4.2）的解的）的解的充要条件充要条件为：为：称（称（4.21）是方程（）是方程（4.19）的）的特征方程特征方程，它的根称为，它的根称为特征根特征根。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制
16、作制作求解常系数线性微分方程问题求解常系数线性微分方程问题转化为转化为求解一个代数方程问题求解一个代数方程问题于是有于是有1111 0(4.19)0nnnnnnd xdxdxL xaaa xdtdtdtL x111()0(4.21)()0nnnnFaaaF内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 设设 是特征方程（是特征方程（4.17）的）的n个彼此不相等的个彼此不相等的根，则相应地方程（根，则相应地方程（4.16）有如下）有如下n个解：个解：n,2112,(4.22)nttteee 可以证明这可以证明这n个解在区间上个解在区间上线性无关（线性无关（
17、？），从而组成方程，从而组成方程（4.19）的）的基本解组基本解组。于是有。于是有 如果如果 均为实数，则均为实数，则(4.22)是方程是方程(4.19)的的n个个线性无关的实值解，而方程线性无关的实值解，而方程(4.19)的的通解通解可表示为可表示为),2,1(niitnttnecececx2121其中其中 为任意常数。为任意常数。nccc,213.1 特征根是单实根的情形特征根是单实根的情形内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例1 求方程求方程 的通解。的通解。0452244xdtxddtxd解：解：(单实根单实根)特征方程为：特征方程为：
18、425402,2,1,14321ttttexexexex242321,ttttececececx242321特征根：特征根：通解：通解：对应的对应的基本解组基本解组：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3.2 特征根是单虚根的情形特征根是单虚根的情形设有单复根设有单复根 ，此时，由定理，此时，由定理8，可以求得两个实值解：，可以求得两个实值解：i1tetettsin,cos为什么？为什么？内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例2 求方程求方程 的通解的通解(4)(3)61518100yyyyy01
19、018156234iiii2,2,1,14321xeyxeyxeyxeyxxxxsin,cos,sin,cos242321)sincos()sincos(43221xcxcexcxceyxx解：解：(复复单根单根)特征方程为：特征方程为：特征根特征根通解通解对应的基本解组对应的基本解组内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3.3 特征根是重根的情形特征根是重根的情形设特征方程有设特征方程有k重根重根 ，由代数学基本知识有：，由代数学基本知识有：10)(,0)()()(1)(1)1(11kkFFFF下面分三步来讨论基本解组的构成：下面分三步来讨论基本
20、解组的构成：01先讨论先讨论12,1kttt，此时，有线性无关的函数组，此时，有线性无关的函数组：01讨论讨论把这种情况通过变换把这种情况通过变换 化为第一种情况。化为第一种情况。tyex1再构成线性无关的函数组再构成线性无关的函数组：1111112,tttktetet ete内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作特征根特征根 的重数分别为：的重数分别为：m,321;,32imkkkk则则有线性无关的有线性无关的函数组：函数组：1111122222121212,mmmmmtttkttttkttttktetet eteetet eteetet ete
21、内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。譬如假设是譬如假设是k重特征根重特征根 ，则，则 也是也是k重特征根，重特征根，仿仿1一样处理，将得到方程（一样处理，将得到方程（15）的）的2k个实值解：个实值解：ii2121cos,cos,cos,cossin,sin,sin,sintttkttttktet tet t ettetet tet t ettet内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制
22、作例例6 求方程求方程 的通解的通解022244xdtxddtxd01224特征方程：特征方程：解：复重根的情形解：复重根的情形对应的基本解组：对应的基本解组：ttxtxttxtxsin,sin,cos,cos4321ttccttccxsin)(cos)(4321通解：通解：特征根：特征根：i21、是是2重根。重根。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4、欧拉方程、欧拉方程u定义：形如定义：形如111110(4.23)nnnnnnnnnd ydydyxaxa xa ydxdxdx的微分方程被称为的微分方程被称为欧拉方程欧拉方程。欧拉方程的求解方法
23、欧拉方程的求解方法是通过是通过变换变换变为常系数齐线性方程，变为常系数齐线性方程，因而求解问题很容易解决。引进变换：因而求解问题很容易解决。引进变换：xtextln,11110(4.24)nnnnnnd ydydybbb ydtdtdt得到得到常系数齐线性微分方程：常系数齐线性微分方程：利用齐线性方程的求解方法可求得其解，然后带回变量变换利用齐线性方程的求解方法可求得其解，然后带回变量变换即可完成欧拉方程的求解。即可完成欧拉方程的求解。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作tdydy dtdyedxdt dxdt22222()()tttd yddy
24、d ydyeeedxdtdtdtdt及及由数学归纳法，不难证明由数学归纳法，不难证明1111()kkkktkkkkd yd ydydyedxdtdtdt其中其中 都是常数。都是常数。11,k事实上，由事实上，由 ，有，有,lntxe tx注注：如果：如果 ，则用，则用 所得结果一样，为方便，所得结果一样，为方便，设设 ，但最后结果应以，但最后结果应以 代回。代回。0 x 0 x lntxtxe 内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作于是对应于欧拉方程（于是对应于欧拉方程（4.23）的齐线性方程有形如）的齐线性方程有形如 的解，的解，从欧拉方程有形如
25、从欧拉方程有形如 的解。若的解。若 以代入欧拉方程，得以代入欧拉方程，得到其对应的特征方程：到其对应的特征方程：tey xyKxy 1(1)(1)(1)(2)0(4.25)nK KKnaK KKna 方程（方程（4.25）的）的m重实根重实根0KK，对应于方程（，对应于方程（25）的）的m个解个解xxxxxxxmKKKK12ln,ln,ln,0000方程（方程（4.25）的）的m重复根重复根iK，对应于方程（，对应于方程（4.23）的）的2m个实值解个实值解)lnsin(ln,),lnsin(ln),lnsin()lncos(ln,),lncos(ln),lncos(11xxxxxxxxxxx
26、xxxxxmmu欧拉方程的解欧拉方程的解内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例5 求解方程求解方程0222ydxdyxdxydx解：分析原方程为欧拉方程，于是有：解：分析原方程为欧拉方程，于是有：得到确定的代数方程：得到确定的代数方程：01)1(KKK方程的通解为方程的通解为xxccy)ln(21其中其中 是任意常数。是任意常数。21,cc121 KK特征根为二重实根：特征根为二重实根：Kxy 寻找方程的形式解，寻找方程的形式解，法一法一：利用欧拉方程求解过程进行求解；：利用欧拉方程求解过程进行求解；法二法二：可以直接利用欧拉方程的求解方法求解
27、：可以直接利用欧拉方程的求解方法求解：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例6 求解方程求解方程02530543223456分析分析：这个方程是一个典型的常系数齐线性微分方程，于是由：这个方程是一个典型的常系数齐线性微分方程，于是由 欧拉待定指数欧拉待定指数方法求解。方法求解。6543265432234530250.d xd xd xd xd xdxxdtdtdtdtdtdt特征方程为：特征方程为：即有即有0)1(4)1(222其特征根为其特征根为1,2,3,412i 5,61（二重）（二重）（二重）（二重）内江师范学院数学与信息科学学院内江师
28、范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作于是可以给出这个方程的一个基本解组为于是可以给出这个方程的一个基本解组为cos2,cos2,sin2,sin2;,.ttttttet e ttet e tte te于是可以给出这个方程的通解于是可以给出这个方程的通解256134sin2sincos222costtttttc etc e ttc etcce ttexc te其中其中 是任意常数。是任意常数。654321,cccccc内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4.2.3 非齐次线性微分方程的解法：非齐次线性微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯
29、变换法比较系数法和拉普拉斯变换法求特解求特解考虑常系数非齐线性方程考虑常系数非齐线性方程1111()(4.26)nnnnnnd xdxdxL xaaa xf tdtdtdt其实，该方程（其实，该方程（4.26）的求解问题已经解决，因为在前面已经解决了）的求解问题已经解决，因为在前面已经解决了（4.1）的求解问题，即比（）的求解问题，即比（4.26）更一般的微分方程（）更一般的微分方程（4.1）的通解问）的通解问题是这样解决的：（题是这样解决的：（常数变易法常数变易法）用先求出对应齐线性方程（）用先求出对应齐线性方程（4.2）的）的一个基本解组，然后找出（一个基本解组，然后找出（4.1）的某一个
30、解，根据前面的定理）的某一个解，根据前面的定理7就可以就可以写出（写出（4.1）的通解。于是也就完成了（）的通解。于是也就完成了（4.26）的求解问题，只是用常）的求解问题，只是用常数变易法来求解，求解步骤比较繁琐，并且要用到积分运算。（注：数变易法来求解，求解步骤比较繁琐，并且要用到积分运算。（注：大家必须掌握常数变易法求解高阶微分方程，因为它带有普遍性。大家必须掌握常数变易法求解高阶微分方程，因为它带有普遍性。）但是，在解决实际问题时，往往要解决一些比较简单的微分方程，即但是，在解决实际问题时，往往要解决一些比较简单的微分方程，即带有特殊形式的微分方程，为此，在这里，介绍两种常用的方法：带
31、有特殊形式的微分方程，为此，在这里，介绍两种常用的方法：比比较系数法和拉普拉斯变换法较系数法和拉普拉斯变换法，它们的共同特点是不需要通过积分而用，它们的共同特点是不需要通过积分而用代数运算方法即可求得非齐线性方程的特解。代数运算方法即可求得非齐线性方程的特解。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作类型类型，设tmmmmebtbtbtbtf)()(1110(1,2,)ib im其中 及为常数那么，方程（那么，方程（4.26）有形如）有形如tmmmmkeBtBtBtBtx)(1110 如果如果0不是特征根不是特征根是特征根是特征根11101(4.27)
32、nnmnnmnnd ydydyAAA yb tbdtdtdt 如果如果0作变量变换作变量变换tyex，（，（4.26）化为）化为特征方程特征方程 的根的根 对应于（对应于（4.27）的特征方程的零根，并且）的特征方程的零根，并且重数相同。于是利用上面的结论有：重数相同。于是利用上面的结论有：0)(F的的特解特解。其中。其中k为特征方程为特征方程 的根的根 的重数，而的重数，而 是是待定系数待定系数，可以通过比较系数来确定。，可以通过比较系数来确定。0)(FmmBBBB,110一、一、求特解求特解-比较系数法比较系数法内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制
33、作制作mmmmBtBtBtBx1110 如果如果0不是特征根不是特征根,取取k=0,有如下形式的特解：有如下形式的特解：则比较则比较t的同次幂的系数，得到常数应满足的方程组为的同次幂的系数，得到常数应满足的方程组为mnmnnnnnnbaBbaBmmbaBmaBbamBaBbaB2200112110100)1()1(内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 如果0是是k重特征根，即，重特征根，即，0)0(,0)0()0()0()1(kkFFFF而方程（方程（4.26）将为）将为111()(4.28)nnkn knnkd xdxd xaaf tdtdtd
34、t111()(4.29)n kn kn kn kn kdzdzaazf tdtdt kkdtxdz 作变换：作变换：，则方程（，则方程（4.28）化为）化为对于（对于（4.29），），已不是它的特征根。因此，由已不是它的特征根。因此，由前面的讨论，有形如下列形式的特解。前面的讨论，有形如下列形式的特解。0,0knammmmBtBtBtBz1110内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作mmmmkkBtBtBtBzdtxd1110这表明这表明 是是t的的m+k次多项式，其中次多项式，其中t的幂次的幂次 的项带有任意常的项带有任意常数。但因只需要知道一个
35、特解就够了。特别地取这些任意常数均数。但因只需要知道一个特解就够了。特别地取这些任意常数均为零，于是得到方程（为零，于是得到方程（4.28）（或方程（）（或方程（4.26）的一个）的一个特解特解x1 k)(1110mmmmkttttx因而方程（因而方程（4.28）有特解）有特解 满足：满足：x内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 如果如果0作变量变换作变量变换tyex，（，（4.26）化为）化为11101(4.27)nnmnnmnnd ydydyAAA yb tbdtdtdt特征方程特征方程 的根的根 对应于（对应于（4.27）的特征方程的零根，
36、）的特征方程的零根，并且重数相同。于是利用上面的结论有：并且重数相同。于是利用上面的结论有：0)(FtmmmeBtBtBx)(110在在 不是特征方程的根的情形，（不是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：）有特解：tmmmkeBtBtBtx)(110在在 是特征方程的根的情形，（是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：）有特解：其中其中k为重数为重数.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作利用利用比较系数法比较系数法求解非齐线性常系数微分方程的求解非齐线性常系数微分方程的一般步骤一般步骤：1、求对应齐线性常系数微分方程的特征根；、求对应齐线性
37、常系数微分方程的特征根；2、分析、分析 f(t)的形式；的形式；3、判定上述、判定上述 f(t)中的指数是否为特征根？中的指数是否为特征根？4、然后利用比较系数法求得、然后利用比较系数法求得.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例7 求解方程求解方程222331d xdxxtdtdt解：对应齐线性方程的通解为解：对应齐线性方程的通解为ttececx231再求非齐线性方程的一个特解。这里再求非齐线性方程的一个特解。这里13)(ttf0并且不是特征根，故可取特解形如并且不是特征根，故可取特解形如BtAx将代入原方程，得到：将代入原方程，得到：133
38、32tBtAB比较系数得比较系数得13233ABB3121.3ttx cecet 原方程的通解为原方程的通解为内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例8 求方程通解求方程通解texdtdxdtdx3222分析分析:主要目的主要目的-求一特解求一特解。故根据比较系数法有特解形如故根据比较系数法有特解形如 ，通过代入，化简求得，通过代入，化简求得tAtexttex41tttteececx41231于是原方程的通解为：于是原方程的通解为：这里，这里，且，特征根为：且，特征根为：tetf)(1,321其中其中 正是单特征根正是单特征根:112内江师范学院
39、数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作类型类型设设 ，其中，其中 为常数，而为常数，而 是带实系数的是带实系数的t t的多项式，其中一个的的多项式，其中一个的次数为次数为m，而另一个的次数不超过而另一个的次数不超过m，那么有如下结论：方那么有如下结论：方程（程（4.224.22）有形如）有形如tettBttAtfsin)(cos)()(,)(),(tBtAtkettQttPtxsin)(cos)(的特解。的特解。这里这里k为特征根为特征根 的重数，而的重数，而P(t)，Q(t)均为待定均为待定的实系数的次数不高于的实系数的次数不高于m关于关于t的多项式，可以通
40、过比的多项式，可以通过比较系数的方法来确定。较系数的方法来确定。i内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作的解之和必为方程（的解之和必为方程（4.26)4.26)的解。的解。tietiBtAtfxL)(22)()()(与tietiBtAtfxL)(12)()()(则则根据非齐线性方程的根据非齐线性方程的叠加原理叠加原理有：有：通过分析通过分析,（4.26）有解形如：）有解形如：tktiktikettQttPtetDtetDtxsin)(cos)()()()()(titietiBtAetiBtAtf)()(2)()(2)()()(改写改写 f(t)的形
41、式如下的形式如下)(Im2)(),(Re2)(tDtQtDtP 其中其中内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作利用非齐线性方程的利用非齐线性方程的叠加原理叠加原理和和类型类型I注意：正确写出特解形式是待定系数法的关键问题。注意：正确写出特解形式是待定系数法的关键问题。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例9 9 求方程通解求方程通解txdtdxdtdx2cos4422tetccx221)(解：很容易求得原方程对应齐线性方程的通解为：解：很容易求得原方程对应齐线性方程的通解为：再求非齐线性方程的一个特
42、解。因为再求非齐线性方程的一个特解。因为 不是特征根，求形如不是特征根，求形如 的特解，将它代入原方程并化简得到的特解，将它代入原方程并化简得到i 2tBtAx2sin2costetccxt2sin81)(221ttAtB2cos2sin82cos8通过通过比较同类项比较同类项的系数，得到原方程的通解：的系数，得到原方程的通解：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作类型类型的特殊情形的特殊情形tetBtftetAtfttsin)()(cos)()(或例例10 10 用复数法求解例用复数法求解例9 9解：由例解：由例9 9已知对应齐线性方程的通解为：
43、已知对应齐线性方程的通解为：tetccx221)(为求非齐线性方程的一个特解为求非齐线性方程的一个特解,先求方程先求方程22244itd xdxxedtdt的特解。这属于类型的特解。这属于类型，而，而2 2i不是特征根，故可设特解为：不是特征根，故可设特解为：itAex2将它代入方程并消去因子将它代入方程并消去因子 得得 ，因而，因而 ，ite218iA8iA,2sin812cos882ttieixittx2sin81Re由定理由定理9，这是原方程的特解，于是原方程的通解为，这是原方程的特解，于是原方程的通解为tetccxt2sin81)(221于是：于是：复数法复数法求解求解内江师范学院数学
44、与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作二、拉普拉斯变换法二、拉普拉斯变换法定义（定义（拉普拉斯变换拉普拉斯变换）：由积分）：由积分0)()(dttfesFst 设给定微分方程设给定微分方程1111()(4.26)nnnnnnd xdxdxL xaaa xf tdtdtdt及初始条件及初始条件)1(0)1(00)0(,)0(,)0(nnxxxxxx其中其中 是常数，而是常数，而f(t)为连续函数且满足原函数的条件。为连续函数且满足原函数的条件。),2,1(niai所定义的确定于复平面所定义的确定于复平面 上的复变数上的复变数s的函数的函数F(s)，称为函数称为函数
45、的拉普拉斯变换，其中的拉普拉斯变换，其中 于于 有定义，且满足不等式有定义，且满足不等式这里这里 为某两个正常数，将称为某两个正常数，将称 为原函数，而称为原函数，而称F(s)为象函为象函数。数。sRe,M0t）（*)(tMetf)(tf)(tf)(tf内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数的代数方程（组）。通过一性微分方程（组）转换成复变数的代数方程（组）。通过一些代数运算，一般地利用拉普拉斯变换表，很容易求出微分些代数运
46、算，一般地利用拉普拉斯变换表，很容易求出微分方程（组）的解。方法十分简单，为工程技术人员所普遍采方程（组）的解。方法十分简单，为工程技术人员所普遍采用。当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微用。当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不再适用了。分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不再适用了。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作00)()()()()()(dttxetxLsXdttfetfLsFstst那么，按原函数微分性质有那么，按原函数微分性质有)1(00201)(0)()()()
47、(nnnnnxxsxssXstxLxssXtxL可以证明，如果函数可以证明，如果函数 是方程（是方程（4.22）的任意解，则）的任意解，则x(t)及其各及其各阶导数阶导数 均是原函数。记均是原函数。记),2,1)()(nktxk)(tx内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作)()()()()(01)2(0030211)1(00201sFsXaxssXaxxsxssXsaxxsxssXsnnnnnnnnnn于是，对方程（于是，对方程（4.22）两端施行拉普拉斯变换，并利用线性性质得到）两端施行拉普拉斯变换，并利用线性性质得到)1(0023120121
48、1111)()()()()(nnnnnnnnnnnxxasasxasassFsXasasas)()()()(sAsBsFsX这就是方程（这就是方程（4.22）的满足所给定初始条件的）的满足所给定初始条件的解的象函数解的象函数。即即或或内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例11 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 的解。的解。texdtdx20)0(x解：对方程两端施行拉普拉斯变换，得到方程的解的象函数解：对方程两端施行拉普拉斯变换，得到方程的解的象函数所满足的方程：所满足的方程：21)()0()(ssXxssX1121)2)(1(1)(ss
49、sssX所以，利用初始条件有：所以，利用初始条件有：直接利用直接利用拉普拉斯变换表拉普拉斯变换表，可得，可得 的原函数分别是的原函数分别是 。因此，利用拉普拉斯变换的因此，利用拉普拉斯变换的线性性质线性性质得得 的原函数为的原函数为1121ss和ttee 和2)(sXtteetx2)(即为原方程的解。即为原方程的解。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例12 求解方程求解方程0)1()1(,2xxexxxt解：由于初始条件不在零点，所以先作平移变换由于初始条件不在零点，所以先作平移变换：1t0)0()0(,2)1(xxexxx于是有于是有ess
50、XssXsXs111)()(2)(2再对新方程施行拉普拉斯变换，得到再对新方程施行拉普拉斯变换，得到tettx2)1(21)(还原变量代换得原方程的通解：还原变量代换得原方程的通解：essX1)1(1)(3有有)1(221)(ex于是于是内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数S的代数方程（组）。的代数方程（组）。优点：优点：通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程（组
